Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Заметим, однако, что потенциал нити нельзя считать с помощью интеграла (4.58), который в этом случае тожественно равен +со. Каков же смысл этого потенциала? Это легко понять, если вспомнить, что измеримой физической величиной является не потенциал, а электростатическое поле, равное с обратным знаком градиенту потенциала: Это поле можно считать по закону Кулона и задающий его интеграл уже сходится (в точках, лежащих вне нити).
Потенциал и, восстанавливаемый по Е с точностью до аддитивной постоянной, как раз и будет равен бэ(х1, хз) + С. Другим способом можно определить этот потенциал, считая вначале нить имеющей конечную длвну 21 н вычитая из потенциала конечной нити постоянную, зависящую от 1 (это не влияет на напряженность Е!)„а затем переходя к пределу при 1 -1 +со. Легко видеть, что возможен такой подбор постоянных, описанных выше, что предел при 1 -+ +со существует. Тогда этот предел будет равен бэ(х, у) + С по описанным выше причинам. Фактически мы вычли из потенциала нити вида (4.58) бесконечную постоянную, не влияющую на Е. Такая процедура называется в физике еперенормировкой зарядаэ и имеет аналоги в квантовой электродинамике.
Докажем возможность перенормировки заряда. Напишем потенциал участка нити хз Е [-1, 111 з4. ОБОБщенные Функции 84 п р~1Рре~~~- .,) -ф р р рассмотреть функцию = 'Л 1 1 п1(х1, хз, хз) = —— й, 4 Р 1~+ р~р ~ /РрР1 -1 отличающуюся от щ на постоянную, зависящую от 1, т. е. Р 41 п1 и1+ 4 ,/1+ ~ -1 Но теперь в формуле для Н1 под знаком интеграла стоит функция р рррр*- '*'р+Р+р-'*.р' '7+Р %ререн:н7рррр' 1+ 2$хз — х, — хг — хз з' э г рц+*ГФ вЂ”.Т/р,— Р(рц+'ГФ-*У+ Ур и)) ' 1 которая ведет себя при 1 -1 +со как —, так что интеграл имеет пре- 4 дел при 1 ~ +со.
Конечно, и сам интеграл, и его предел можно явно вычислить, но для нас это не важно, поскольку предел мы уже умеем с точностью до постоянной вычислять другим способом. ~ < Умножение на гладкую функцию вводится аналогично дифференцированию. А именно, если у е Ь11„(й), а Е С" (й), рр Е З(й), то ясно, что (а), 1р) = (У, а~р). (4.59) Эта же формула может служить для определения ау в случае, когда у е ЗР(й), а е СРР(й).
Легко видеть, что при этом мы снова получим обобщеннУю фУнкцию ау ~ Э'(й). Если У' е Я'(й), то НУ' е Я'(й)р причем впрр(аУ) С зпрр У. Пусть теперь 1 е 3'(К"). Тогда воспользоваться формулой (4.59) при рр е 3(К") можно в том случае, если ар е 3(К"). Более того, если мы хотим, чтобы умножение давало обобщенную функцию а1 Е Е 3'(К" ), то надо, чтобы оператор, переводящий р в арр, был непрерывным оператором из 3(К") в 3(К"). Для этого достаточно, например, чтобы для функции а ~ С '(К" ) были выполнены оценки ~д а(х)~ (С (1+ |х~) (4.60) 4.5. Диаакгкнциговлник и умножкник нл гладкую функцию 85 где С, т — некоторые постоянные. В частности, умножение на многочлен переводит 3'(К") в 3'(К").
Функцию ~ Е А~1„(й) можно умножить на любую непрерывную функцию а(х). Для обобщенной функции у также можно ослабить условия на а(х), при которых определено произведение ау. А именно, пусть, например, обобщеннан функция ~ Е З'(й) такова, что при некотором целом тп > 0 для каждого компакта К С й выполнена оценка )(~, >р)~ < С ~~~ нпр~д">р(х)~, у Е З(К). (4.61) (а(<»> В этом случае говорят, что у — обобщенная функция конечного порядка (не превосходящего ти). Обозначим через З,'„(Й) множество таких обобщенных функций. В общем случае оценка (4.61) верна лишь с постоянной ти, зависюцей от К, а мы требуем здесь, чтобы тв не зависело от К.
Ясно, что если у Е с'(й), то у имеет конечный порядок. Если ~ Е Ь~ (й), то ~ Е Зе(й). Если 7 Е З' (Й), то мы можем по непрерывности продолжить у до линейного функционала на пространстве З„,(й), состоящем нз функций класса Сю с компактным носителем, лежащим в й. А именно, ясно, что З (Й) = ()» З (К), где К вЂ” компакт в й, З (К) — подмножество в Зю(й), состоящее нз функций с носителем, лежащим в К. Вводя в З>н (К) норму, равную правой части (4.61), мы видим, что обобщенная функция 1 Е З' (Й) продолжается до линейного непрерывного функционала на Зю(К). Поэтому она определяет линейный функционал на З (й). Например, ясно, что б(х — хе) Е З>р(й) при хе Е й, так что б-функция задает линейный функционал на Зе(й). На самом деле она, конечно, задает линейный непрерывный функционал и просто на С(й). Вообще, если у Е З,'„(Й) и вирр у С К> то у продолжается до линейного непрерывного функционала на С (й), если в С (й) ввести топологию, определяемую полунормамн, имеющими вид правой части (4.61) с любым компактом К С Й.
Пусть теперь у Е З,'„(й), и а Е С (й). Тогда формула (4.59) имеет смысл при >р Е З(й), поскольку тогда а>р Е З„,(й). Таким образом, произведение аУ определено при У Е З' (й) н а Е С (Й). Пример 4.11. а(х)б(х) = а(0) б(х) при а Е С(К"). Пример 4.13. Пусть н = 1. Вычислим а(х)б'(х), где а Е С0»(К'). Имеем: (аб', >р) = (б', а>р) = -(б, (а>р)') = -а'(0) р(0) — а(0) у'(О). 54. Ововшвнныв ьункции 86 Отсюда а(х)о'(х) = а(0)о~(х) — а'(0)о(х). Заметим, в частности, что из условия а(0) = О не следует еще, что а(х)о'(х) = О.
Пример 4.13. Формула Лецбммма Пусть ~ 6 З'(й), а Е Ссо(й). Докажем, что — (ау) = — ° у+а —. д да дУ дх дх. дх ' (4.62) В самом деле, если 1о 6 'В(й), то ( — (ау), 1о) = — ((ау), — ) = — (у, а — ) = что и требовалось. пример 4.14. Фумдамемп1альмое решение обыкновенного дму1феремМиальмоео оператора рассмотрим на й1 дифференциальный оператор 4 1 4 Ь= — +а 1 — +...+а1 — +ао Нх'" "" 4х -' Их (4.63) где а — постоянные, и найдем его фундаментальное решш1ие с(х), т.е. решение уравнения Хм = б(х).
Ясно, что 6(х) определено с точностью до решения однородного уравнения Ем = О. Кроме того, при х ,-4 0 должно быть выполнено уравнение Щх) = О. Позтому естественно искать 6(х) в виде ( у1(х), х < О, с(х) = ~ уз(х), х > О. Благодаря формуле (4.62) можно дифференцировать произведение обобщенной функции на гладкую как обычное произведение. В частности, верна формула Лейбница для производных более высокого порядка. 4.5. ДНФФЕРЕНННРОВАНИН и УмножеНие нА ГЕАДКУЮ 'ФУНКЦИЮ 87 где уы уз — решения уравнения Х у = О.
Кроме того, вычитая у1(х), можно считать, что 6(х) = 9(х)у(х), (4.64) где у(х) — решение уравнения Ту = О. Теперь необходимо вычислить Т6(х). Ясно, что (В(х) у(х)) = у(0) б(х) + 9(х) у'(х), а при дальнейшем дифференцировании возникнут производные от б(х). Если мы хотим, чтобы зти производные не возникли, а б-функция появилась люль на самом последнем шаге, то нужно считать, что у(0) = у'(0) = ... = уоь ~)(0) = О, уоь П(0) = 1. (4.65) Такое решение у(х) существует и единственно.
При таком выборе мы получаем (9(х) у(х)) = д(х) у'(х), (В(х)у(х)) = 9(х) уо(х) (д(х)у(х))~ = 9(х)у( П(х), (9(х)у(х)) = у(~ П(0)б(х) +9(х)уоь)(х) = б(х) + д(х)у(оо(х). Позтому ЦВ(х) у(х)) = В(х)йу(х) + б(х) = б(х), что и требовалось. Почему при х ~ 0 фундаментальное решение должно быть обычным гладким решением? Это вытекает из следующей теоремы. Теорема 4.9. Пусть обобтценнаа функция и е З'((а, Ь)) лв ьаетса решением дифференциального уравнения и( ~+а 1(х)и~ О+...
+ао(х)и =У(х), (4.66) где ау(х), 7(х) бесконечно дифференцнруелы на (а, Ь). Тогда и 6 6 С" ((а, Ь)). з4. Ововшенные ФУнкЦии 88 Доказательство. Вычитая гладкое частное решение (4.66), которое, как известно, существует, мы видим, что дело сводится к случаю, когда 1 = О. Далее, при 1' ы О уравнение (4.66) известным приемом сводится к системе вида (4.67) е' = А(х) е, где е — вектор обобщенных функций, А(х) — матрица, элементы которой принадлежат С'"'((а, б)). Пусть Ф(х) — невырожденная матрица класса Со", удовлетворяющая уравнению Ф'(х) = А(х) Ф(х), (4.66) т.е. Ф вЂ” матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений для (4.67).
Положим е = Ф(х)ю, т.е. введем обозначение ю = Ф 1(х) е. Тогда ю — снова вектор обобщенных функции на (а, 6), причем подставляя е = Ф(х)ю в уравнение (4,67), мы получим для ю уравнение в' = О. Мы видим теперь, что остается доказать следующую лемму. Лемма 4.10. Пусть и Е З'((а, 6)) и и' = О. Тоеда и = сопз4. Доказательство. Условие и' = О означает, что (о, у') = О для любой функции у б З((а, б)). Но ясно, что функция Ф б З((а, Ь)) может быть представлена в виде Ф = у', где у 6 З((а, Э)), тогда и только тогда, когда (4.69) В самом деле, если ф = у', то (4.69) верно по формуле Ньютона— Лейбница. Обратно, если выполнено (4.69), то мы можем положить р(х) = Ф(1)41 о и ясно, что у б З((а, б)) и ф = ф.
Рассмотрим отображение 1: З((а, о)) -+ С, переводящее Ф в (1, Ф). Поскольку (и, Ф) = О при ф 6 Хег1, то ясно, что (и, Ф) зависит лишь от 1Ф, но поскольку эта зависимость линенная, то ясно, что (и, ф) = = С(1, Ф), где С вЂ” постоянная. Но это и означает, что и = С. ° 4.6. ТРАНСПОББРОВАНЕБ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННых. ОдноРОднОСть 89 4.6. Общее понятие трвнспонировмщого оператора. Замена переменных.
Однородные обобщенные функции Операции дифференцирования и умножения на гладкую функцию являются частными случаями следующей общей конструкции. Пусть йы йл — две области в К", задан какой-то оператор Х' С~(йэ) -+ -+ С (Й1) и существует такой оператор 'Х' 71(Й1) -+ З(йл), что (4.70) если Х б С'в(йл).
Оператор 'Х называется транспонированным к оператору Х. Предположим, что для любого компакта К1 с й1 найдется такой компакт Кз С йэ, что 'ХЮ(К1) С З(Кэ) и отображение 'Х' 2(К1) -+ 71(Кз) непрерывно. Тогда формула (4.70) позволяет продолжить оператор Х до оператора Х: З'(Йз) -+ З'(Й1). Если Й1 = Йл = Й" и оператор 'Х продолжается до непрерывного оператора 'Х' 3()й" ) -+ 3()я" ), то ясно, что оператор Х задаег отображение Х,: 3'(Ж") -+ 3'(И").
Отметим, что оператор Ь, построенный с помощью этой конструкции, всегда слабо непрерывен. Это очевидно из формулы (4.70), поскольку )(ХХ, ~в)) — зто полунорма общего вида для ХХ, а )(Х, 'Хлр)!— некоторая полунорма для Х. д Примеры транспвнирвванных операторов: а) если Х = —, то дх1 ' д ~Х = — —; б) если Х = а(х) (оператор умножения на функцию а(х) б дх ' б С (й)), то 'Х = Х = а(х). В частности, операторы — и а(х) дх~ непрерывны на З (й) в слабой топологии.
Оператор —, кроме того, Р д дху ' непрерывен на 3'(Й" ). Приведем новые примеры. Пусть дан диффеоморфизм Х: Й1 -Р йы Он обычным образом определяет отображение Х*: С (йз) -+ С~(Й1 ), а именно (Х'Х)(х) = Х(Х(х)). Ясно, что той же формулой можно определить отображение х'. Х ~~ел(йз) -+ Х ~~„(й~). Кроме того, х' переводит Э(йл) в 2(Й1 ). Мы хотим продолжить Х' до линейного непрерывного оператора х*: 7У(й ) -+ П'(й ). (4.71) 4.6. ТРАНСпОНЕРОЕАННН.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕНННХ. Одногодность 91 На самом деле легко проверить, что требование У с 3'(К") можно заменить включением 7' б Т'(К") (нз (4.75) тогда автоматически вытекает, что у е Я'(К")). Примеры. 1. Если у" с А~1„(К") и при любом 1 > О почти всюду по х выполнено (4.75), то у однородна порядка т как обобщйнны функция. 2. 4-функция 6(х) однородна порядка -в. Легко проверяется, что — Дсх) = 1~ — ~(сх). д ~дУ~ дху 1дх ! Поэтому, если 7 однородна порядка т, то — однородна порядка дУ т — 1. Например, д 4(х) однородна порядка — в — ~а!. Соображения однородности позволяют без вычислений понять, как устроено фундаментальное решение оператора Лапласа и его степеней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
