Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 12
Текст из файла (страница 12)
4.5. Дифференцирование ебобщенньвх функций и их умножение на гладкую фуикщцв Дифференцирование обобщенных функций должно быть естественным продолжением дифференцирования гладких функций. Для того, чтобы его определить, заметим, что если а Е 01(П), ~р Е 21(й), то — фах = — а — ах д Г д а*. / ах. (4.42) (дх~* ) ( ' аху)' (4А2') д: Э'(П) -+ Э'(П), (4.43) где св = (ав, ..., а„) — мультииндекс, как произведения операторов —, а именно д" = ( — ) ...
( — ) . Другой (эквивалентный) сподх ' Ь,1 "Ь*.у соб: надо написать формулу (д"и, <р) = ( — 1)~ ~ (и, д р), (4.44) позволяющую сразу находить производные высокого порядка. Последовательное применение (4.42') показывает, что результат, получаемый Естественно поэтому определить — для а Е З (Й) по формуле аа Ф а" (4.42') (которую мы будем записывать и в виде (4.42) в соответствии с соглашением, о котором говорилось выше).
А именно, значение функционала — на функции у Е Э(П) (т.е. левую часть (4.42)) определим дх1 с помощью правой части, имеющей смысл, поскольку — Е 'Э(П). Поар скольку оператор — непрерывно отображает 'Э(К) в Э(К) для люд дхэ бого компакта К С й, то мы видим, что — Е Э (П). Теперь можно да определить операторы высоких производнйх 4.5. ДМФФБРЕНЦИРОВАНИе И УмнОжнниЕ нА ГЛАДКУЮ ФУнкцию 77 из формулы (4А4), тот же, что и при применении д" как выписанной д выше композиции операторов —.
Поскольку д непрерывно отобрадх. жает 6(й) в 6(й) и 3(К") в 3(К"), то ясно, что оператор д отображает 6'(й) в Р(й) и 3'(К") в 3'(К"). Наконец, нз формулы (4.44) видно также, что д" является непрерывным оператором в З'(Й), с'(Й) и 3 (К" ). Поэтому можно сказать, что д является продолжением по непрерывности обычного оператора дифференцирования на обобщенные функции. Такое продолжение единственно, поскольку, как мы увидим в дальнейшем,'Э(й) плотно в З'(й). Наконец, ясно,что ацрр(д н) С вирра, и Е Э'(Й).
(4Аб) Пример 4.8. Рассмотрим функцию Хевисайда д(х) и найдем ее производную в смысле обобщенных функций: (В, у) = — (д, ~р~) = — <р~(х) <Ь = у(0), у Е З(К~), о т.е. д'(х) = 4(х). (4.46) Пример 4.9. Найдем производную д от б-функции 8(х) Е З(К"). По определению имеем (д 4(х), д(х)) = ( — 1)~"~(б(х), д" р(х)) = (-1)~ ~у~"~(0). Таким образом, функционал д 4(х) сопоставляет функции у(х) число ( — 1)~ !р< ~(0). Теорема4.6 может быть теперь сформулирована следующим образом: всякая обобщенная фумкнмя, сосредо1вочеммая в щечке О, явллешся комечмоб лммемноб конбмманнеа нромзводмьи бфункммм. Пример 4.10.
Рассмотрим оператор Лапласа Ь в К" и попробуем найти такую обобщенную функцию и Е З'(Ко), что (4.47) Ьи = о(х). Такая обобщенная функция и называется Фумдаиемшальнььн решенмем для оператора Ь и будет играть важную роль в дальнейшем. Ясно, что она определена неоднозначно (мы можем добавить к ней любое решение уравмеммя Лапласа Ьн = О). Чтобы по возможности уменьшить $4. Ововшнннык функции 78 —,л)=ттф=тт) ' (БГ...7 1 =те~.
Отсюда 2 Г1 х21 —,у(т) =1я(т)ф+у'(т)~„-'- з~. Суммируя по у от 1 до и, получаем: Ь1(т) = у (т) + — 7'(т). (4.48) Решим уравнение 7'"(т) + — 7" (т) = О. (4.49) Полагая у'(т) = д(т), мы получаем для д(т) уравнение с рззделяюшимися переменными д'(т) + — д(т) = О, из которого получается, что д(т) = Ст 1" '1, где С вЂ” постолннел. Интегрируя, находим отсюда: У(т) =С1т (" э)+С2, пи2, У(т) = С~1пт+Сз, и= 2.
Поскольку постоянные Сэ являются решениями однородного уравнения Ьн = О, то можно считать, что У(.) С 2-Я 7(т) = С1пт, и = 2. (4.50) (4.50') произвол в выборе н, воспользуемся соображениями симметрии. Оператор Ь перестановочен с поворотами И" (нли, что то же самое, не меняет вида при ортогональном преобразовании координат). Поэтому повернув решение н (можно легко понять, что это значит, но мы все равно пока рассуждаем эвристически), мы снова получим решение того же уравнения. Но тогда можно усреднить по всем поворотам и получится рыпение и, инвариантноеотносительно поворотов.
Естественно также предположить, что и не имеет особенностей при х ф О. Поэтому будем искать обобщенную функцию и(х), имеющую при х ф 0 вид у(т), где т = (х(. Вычислим ЬДт). Имеем: 24. ОБовщенные Функции 80 (4.52) (соответствующие подробности мы предоставляем читателю в качестве упражнения). Найдем теперь (Хи„ в й'(И"). Имеем: (Ьи,(р) = (и„, Ь(р) = и„(х)Ь(р(х)дх = 1пп и„(х)Ь(р(х)(1х. и ф>е Теперь применим формулу Грина (4.52) с и = и„, и = (р и П = (х: е < < 1х! < Н, где В столь велико, что (р(х) = 0 при 1х! > Н вЂ” 1. Получим, пользуясь тем, что (2)и„(х) = 0 при х 44 0: м(*)ью( )ь= (' (м= — ~ =)ю. д(() ди() 1 дй дй 1я1>в 1*1=в Ясно, что д(() ду дй дг' Отсюда получаем див )-и — = — — = — г дй дг „( )ьф )ь = -(„( ) (' — О+*' " 1 ф*)ШЯ, (454) 1.!>в (Ьи„, (р) = (2„)(р(0), Ьив = (гя-)б(х).
Полагая теперь с„(х) = г 2-в с2(х) = — 1пг, 1 2я (4.55) и>3, (4.55') мы получим, очевидно, что (лс„(х) = б(х), т.е. 5„(х) — фундаментальное решение оператора Лапласа в й". 2-а где 2 )(е) = — Е2 " при и > 3, уд(с) = 1пс при и = 2. Поскольку площадь сферы радиуса е в и" равна п„)с" ' (где (2„) — площадь сферы радиуса 1), первое слагаемое в правой части (4.54) стремится к 0 при е -+ +О, а второе слагаемое стремится к о„) р(0).
Окончательно получаем 4.5. Дифэвгвнциговоннв н умножвннв нА глодкую Функцию 81 Замечание 4.г. О плонюди единичной сферы в Ж'. Вычислим п„г Для этого рассмотрим гауссовские интегралы 1г —— ( е*йя, 1„= / е ~*~ дя = / е г*'+'"+*"~ сЬ дз и" и" Записывал 1„в полярных координатах, получим „з 1н = ~ е "гг„гг" гй. о Полагая г~ = 1, получаем: 1„=гг„г / е '1 ' г((А) = о„г ° — / Р ~е 'до = — "'Г~ — ), а о где à — Г-функция Эйлера. Отсюда он г — — — „. В то же время при г(-,") ' н = 2 имеем г,2 2 +ср 12 = 2к/ е ' гй = — ке " ~о =я, о откуда 1г = /и и 1„= я"12. Итак, 22оо1з оо-1— "(-") (4.56) Заметим, что эту формулу можно записать и без использования Г- функции, поскольку значения Гн легко вычисапотся.
В самом деле, /нее функциональное уравнение Г(о + 1) = оГ(о) позволяет выразить Г~-~ ~2/ 11ъ через Г(1) при четном н и через Г~-~ при нечетном н. Но из (4.56) ~г/ 11ъ получается при и = 1, что Г~-/ = ~/х (ясно, что го — — 2; впрочем, 82 $4. Ововшвнныв функции можно было бы использовать для этой же цели ог = 4л, взяв и = 3 и использовав соотношение Гн = -Г~ — !. При п = 2 мы получаем из Ы 2 ~гl' (4.56), что Г(1) = 1, что, конечно, легко проверить и беэ этой формулы. Поэтому при п = 25+ 2 мы получаем: 2 ~+' ага+1 = а при п = 2а + 1 имеем 2(2л) огь = (2й — цб~ где (2к — 1)И = 1 ° 3 5 °... ° (2Й вЂ” 1). Замечание 4.8. Физический смысл угуидаиеивгального решения оаерашора Лапласа При надлежащем выборе единиц измерения потенциал и(х) электростатического поля системы зарядов, распределенных с плотностью р(х) в Жг удовлетворяет уравнению Пуассона Ьи = р. (4.57) В частности, для точечного заряда в точке О имеем р(х) = 5(х) и, значит, н(х) — фундаментальное решение оператора г2.
Физический смысл имеют лишь убывающие на бесконечности потенциалы. Ниже будет доказана теорема Лиувилля, из которой, в частности, вытекает, что решение и(х) уравнения Лапласа Ьи = О, стремящееся к О при ~х~ -+ +со, тождественно равно нулю. Поэтому имеется единственное фундаментальное решение, стремящееся к О при ~х~ -+ +со, а именно 1 сг(х) = — —. Оно и задаст потенциал точечного единичного заряда, 4лг' расположенного в точке О. Кстати, потенциал произвольного распределения зарядов должен, очевидно, по принципу суперпоэиции задаваться формулой н(х) = сг(х — у) р(у) ау.
(4.58) Формально применяя оператор Лапласа, получим Ьи(х) = 5(х — у) р(у)йу = р(х), 4,5. ДВФФеРенциРОВАние и УмнОжение нА ГлАДКУю ФУнкцию 83 т.е. выполнено уравнение Пуассона (4.57). Эта выкладка может служить для вывода уравнения Пуассона„если определять потенциал сразу по формуле (4.58). Обоснование ее можно получить с помощью вводимой виже операции свертки обобщенных функций.
Укажем еще смысл фундаментального решения Яэ(х) в ж'. Рассмотрим в йз бесконечную равномерно заряженную нить (с линейной плотностью заряда, равной 1), расположенную вдоль оси хз. Из соображений симметрии ясно, что ее потенциал и(х) не зависит от хз и заВисит лишь От т = 1Я +2х1. Пусть х = (Х1, х1) Урэвне ние Пуассона для и приобретает вид ААО(х) = б(х), откуда и(х) = 1 — 1пг + С. Таким образом, в этом случае потенциал имеет вид 2я Ез(х1, хз) + С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
