Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Общее решение иь(Ф) и функшш и(Ф, х) в этом случае будут неограничены. Укажем, в заключение, что к описанной задаче сводится более общая задача, когда концы не закреплены, но задано их движение и~ = а($), и~,, =,9(1), 1> О. (2.65) А именно, если фУнкциЯ ие(1, х) — пРонзвольнаЯ фУнкциЯ, УДовлетворяющая условиям (2.65) (например, ие(1, х) = — а(1) + -11(1)), то Х б для е(1, х) = и(1, х) — ие(1, х) получается задача с закрепленными концами. Наконец, отметим, что все описанные выше задачи корректны, что видно из их явных ранений. Задачи 2-1. а) Написать граничное условие на левом конце струны, если к этому концу прикреплено колечко, которое может свободно скользить по вертикальному стержню. Массой колечка пренебречь (см.
рис. 8). б) то же, что и в 2-1 а), но колечко имеет массу т; в) то же, что и в 2-16), но колечко скользит с трением. 2-2. а) Получить закон сохранения энергии струны, если на одном или на обоих концах выполнено граничное условие задачи 2-1а). б) то же в задаче 2-1 б) (эдесь надо учесть энергию колечка); в) то же в условиях задачи 2-1 в) (с учетом потерь на трение). 2-3.
Вывести уравнение продольных упругих колебаний стержня. 2-4. Написать граничное условие на левом конце стержня, если этот конец свободен. Рис. 9 Рнс. 8 $2. ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 2.5. Написать граничное условие нз левом конце стержня, если этот конец упруго закреплен (см. рис. 9). 2-8. Получить закон сохранения энергии для стержня, у которого а) концы закреплены; б) концы свободны; в) один конец закреплен жестко, а другой упруго. 2-7. Вывести уравнение продольных колебаний конического стерж- 2-8. Доказать, что энергия участка струны, заключенного между точками с+ а1 и Π— а1, является невозрзстзющей функцией времени. Получить отсюда единственность решения задачи Коши и информацию об области зависимости для отрезка [с, д) и о его области влияния. 2-9. Сформулировзть и доказать закон сохранения энергии для бесконечной струны.
2-10. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания бесконечной струны с начальными данными и[ = О, ас[, = Ф(х), где Ф(я) = = 1 при е Е [с, 4[, ф(я) = О прн х ф [с, 4[. 2-11. Описать колебания бесконечной струны, происходящие при 1 Е Е ( — оо, +со) и такие, что некоторый участок струны (хз — я, хе + е) покоится в течение всего времени этих колебаннй. 2-12. То же, что и в предыдущей задаче, но участок струны (хс— — с, ез+е) покоится при1) О.
2-13. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограниченной струны со свободным концом (граничное условие и~ [ = О— см. эадачу2-1а) и с начальными условиями и[ = у(е), и~[ = О график у(е) имеет форму равнобедренного треугольника с основанием [1, 31]. 2-14. Нарисовать мультфильм, описывающий колебания полуограниченной струны с закрепленным концом и с начальными условиями и[ р — — О, н~[ = д(х), где ф(х) — характеристическая функция интервала (1, 31). 2-15.Получить закон сохранения энергии для полуограниченной струны с закрепленным концом.
2-16. Вдоль стержня, левый конец которого упруго закреплен, при 1 < О бежит волна зшы(1+ -). Найти отраженную волну. а ЗАДАчи 45 2-11. Вдоль бесконечной струны со скоростью о < а движется источник гармонических колебаний частоты ы, т.е. н! = вшы4,1 > О. ~м=эФ Описать колебания струны справа и слева от источника. Найти частоты индуцировзнных колебаний фиксированной точки струны справа и слева от источника и дать физическую интерпретацию результата (эффект Допплера). 2-18.
Описать и нарисовать стоячие волны в струне со свободными концами. 2-19. Доказать существование бесконечной серии стоячих волн в стержне, у которого один конец закреплен жестко, а другой упруго (см. задачу 2-5). Доказать ортогональность собственных функций. Найти коротковолновую асимптотику собственных значений. 2-28.
На правый конец стержня при Ф > О действует сила, меняющаяся по закону Р = Го эшы1. Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если левыи конец а) закреплен; б) свободен. 2-21. Правый конец стержня при 1 > О колеблется по закону А эш ьл. Написать формулу для решения и выяснить условия резонанса, если левый конец а) зэкреплен; б) свободен; в) упруго закреплен. 23, ЗАдАчА ШтУРмА — ДнУвилля $3. Задача Штурма — Лиувилла 3.1. Постановка задачи Рассмотрим уравнение (3.1) р(х) им — — (р(х) в ) — о(х) в, более общее, чем выведенное в $2 уравнение колебаний неоднородной струны.
Попробуем упростить уравнение заменой переменных и(Ф, х) = = 1(х)е(1, х), где 1(х) — известная функция. Оказывается, при этом можно получить уравнение вида (3.1) с р(х) Рл 1. В самом деле, имеем: Пм = 1си~ вь = 1сь + 1161 а11 = 1е11 + 21хел + 1,хж После подстановки в уравнение (3.1) и деления на хр получаем ен = ре1*+ ~ — — + — )и, + В(х)е. ~2р 11 р11 р р 1 р х(х) = р(х) А4ы всегда предполагаем, что р(х) ) О, так что зта подстановка возможна.
Итак, рассмотрим уравнение и = (р(х)и,), — о(х) (3.2) Решая его разделением переменных на отрезке [О, Ц мы приходим при условии, что концы закреплены, к следующей задаче на собственные значения: — (р(х)Х~(х)) + д(х)Х(х) = АХ(х), Х(О) =Х(1) =О. (3.3) (3.4) Чтобы это уравнение имею вид (3.1) с р(х) Рл 1 нужно, чтобы было выполнено условие: откуда 1ь ~И 1 2р и можно взять, например, 3.2. Совствннныв знячвння н совствннныв функции 47 оХ'(0) + )УХ(0) = О, 7Х'(1) + бХ(1) = О, (3.5) где о, )1, 7, б — вещественные числа, аз + ~бз ~ О, 7з + бз ~ О.
Такая задача называется задачей Штурма — Лиувилля. При рассмотрении зтой задачи обычно предполагают, что р ч С'([О, 1]), д ч С([0, 1]) н р(х) ф 0 при х ч [О, 1] (ьзллиптичностьэ). Мы будем для простоты считать, что р(х)— : 1 и берутся граничные условия (3.4). Общий случай рассматривается аналогично. Итак рассмотрим задачу -Хо(х) + д(х) Х(х) = ЛХ(х), (З.б) с граничными условиями (3.4). Будем также считать, что д(х) ) )О. (3.7) Это не является ограничением, поскольку мы можем добиться выполнения (3.7), добавляя к Л фиксированную постоянную. 3.2. Простетиие свойства собственных зиачтиай и собственных функций Мы будем использовать следующую доказываемую в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений осцилляционную теорему Штурма.
Теорема 3.1. Пусоьь даны два уравнения у =в( )у -е = дз(х)е, (3.8) (3.9) причан у~(х) > дз(х). Да ьее, пусть у(х), х(х) — решения зтих урав- нений, определенные на [а, Ь], причем х(а) = х(Ь) = О, х(х) ф О. Тоеда либо на интервале (а, Ь) найдеп1ся такая то ина хо, что у(хо) = О, либо 41(х) = 4т(х) на [а, Ь] и у(х) = Се(х), еде С вЂ” постоянная. Доказательство.
Мы можем, очевидно, предположить, что а и 6— соседние нули функции х, а также, что х(х) > 0 при х ч (а, 6). Тогда х'(а) > Ои х'(6) ( О. Если у(х) не обращается в Она(а, 6), то мы можем Обобщением задачи на собственные значения (3.3) — (3.4) является такая же задача, в которой граничные условия (3.4) заменены более общими условиями: 3.2. Совстввнныв эначвния н совстввнныв ехнкцнн 49 Далее, всг собственные значения простпые, т.е.
все собственные подпространства одномерны, поскольку любые два решения уравнения ув+р(х)у'+ д(х)у = О, равные 0 в какой-нибудь точке хе, пропорциональны друг другу (и каждое по теореме единственности пропорционально решентпо, удовлетворяющему начальным условиям у(хв) = О, у'(хе) = 1). Иэ условия д(х) ) )0 и теоремы Штурма вытекает, что всв свбстпвеиные зиачеииа пвлохсительиы. В самом деле, сравним уравнение — гв + д(х) г = Лг с уравнением -ув = Лу. Если дана собственная функция л(х) с собственным значением Л, то по теореме Штурма всякое решение уравнения -уа = Лу должно обратиться в 0 в какой-то точке отрезка ]О, 1]. Но если Л < О, то среди решений уравнения — ув = Лу всегда есть решение сЬ |/ — Лх, нигде не равное нулю.
Далее, рассмотрим при Л > 0 решение у = тйп~/Лх, которое обращается в 0 на отрезке ]О, 1] еще хотя бы в одной точке этот о отрезка, кроме О, в точности при 4Л > —. Отсюда ясно, что всякое собственное значение Л операнюра Х удовлгтпворлетп неравенстпву (3.11) В даяьнейшем положим для удобства й = тт'Л, так что основное уравнение принимает вид -Ха+ д(х)Х = й~Х. (3.12) Обозначим через тр = т1т(х, й) решение уравнения (3.12) с начальными условиями т1т(0, й) = О, Ф'(О, й) = й (3.13) (если д(х): — О, то 1й(х, й) .= эшйх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
