Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. а (х, 4) = а' (х(х), ('х.) '4). (1.10) Иными словами, гяаеньтб символ яояяеотся корректно окредеяеннот1 функииеб ка Т'Й (не зависящей окт оыборо криеояинебных координат е Й). Доказательство. Кокасатальный вектор в точке х может быть записан в виде градиента ут, (х) функции тр б С'"'(й) в точке х. Из леммы 1.1 ясно, что а (х, у,(х)) не зависит от выбора координат.
Но, с другой стороны, ясно, что зта величина не зависит и от выбора функции у с данным дифференциалом в точке х. Поэтому главный символ корректно определен на Т" й, что и требовалось. 16 х1. ЛинеЙные диФФЕРЕНННАЛьНыв ОПЕРАТОРЫ 1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с Постоянными коэффициентами Пользуясь заменами переменных, можно пытаться привести оператор к более простому виду.
Рассмотрим оператор 2-го порядка с постоянными коэффициентами главной части: А= ~ ай — +~ 61 — +с, д д ' дх;дхй дх1 Ай=1 1=1 (1.11) где аей вещественные постоянные, а1й = оы (последнего всегда мождэ дэ но добиться, ь' меняя оператора, поскольку — = — 1. Не дх,дхй дхйдх1г обращая внимания на младшиечлены,мы приведем старшую часть %- Ф Ае= ~~аы— дх;дхй ай=1 (1.12) оператора А к более простому виду с помощью линейной замены переменной: х Уй = ~ СЫХ1, (1.13) 1=1 где см — вещественные постоянные. Рассмотрим квадратичную форму Ж) =,)' о1йс1сй 1,й=1 (1.14) 9И) = Фп1 + пэ ~ "+ и',) ~„Рй (1.15) Обозначим через С матрицу (см)й 1, замены (1.13).
По теореме 1.3 в координатах р оператор А будет иметь вид оператора 2-го порядка А1 с такой квадратичной формой Я1(11), что ®х) = 1й)1Щ=рс1- с1 лишь знаком отличающуюся от главного символа оператора А. Линейной заменой переменных д = г'С, где Š— невырожденная постоянная матрица, можно привести форму Я(ф) к сумме квадратов: 1.5. Хягяктвгистикн. Эллнптичность и гнпвгволичность. 17 где 'С вЂ” матрица, транспонированная к С. Отсюда и из (1.15) ясно, что мы должны выбрать матрицу С так, чтобы было ('С) г = Р' или (г р) -1 (1.16) Тогда главная часть оператора А при замене переменных р = Сх вида (1.13) приведется к виду дг дг дг дргг дугг ду~ (1.17) называемому каноническим. Замечание.
Оператор с переменными коэффициентами может быть приведен к виду (1.17) в одной фиксированной точке линейной заменой переменных. 1.5. Характеристики. Элвиптичнасть и гиперболичиость Примеры. 1. Оператор Лапласа Ь не имеет вегцественных характеристических векторов. д 2.Для оператора теплопроводности — — Ь характеристическим дг является вектор (т, с) = (1, О, ..., 0) 6 иР+ . поверхности 1 = = сопас являются характеристиками. Поверхность Ф = )х)~ (параболоид) характеристична в одной точке (начзле координат). Пусть А — дифференциальный оператор порядка пг, а (х, С) — его главный символ.
Ненулевой кокасательный вектор (х, С) называется харахягериспгическим, если а (х, с) = О. Поверхность (корззмерности 1) в Й называется харакпгервснгнческоб в точке хо, если ее нормаль в этой точке является характеристическим вектором. Она называется харакпгериспгакой, если она характеристична в каждой точке. Если поверхность Я задана уравнением ог(х) = О, где у е 6 С'(Й), ~р~~ ф О, то ее характеристичность в точке хо означает, что а (хо, у,(хо)) = О. Она является характеристикой, если а (х, ~р,(х))~я: — О.
Все поверхности уровня ~р = сапог являются характеристиками тогда и только тогда, когда а,„(х, у,(х)) = О. Из теоремы 1.3 вытекает, что понятие характеристичности и характеристики не зависит от выбора координат в Й. 18 $1. Линейные диФФБРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ д' 3.
Рассмотрим волновой оператор — — Ь. Его характеристические аз векторы в каждой точке (1, х) образуют конус тз = фз. Любой конус (1 — со)з = ~х — хо~э является характеристикой. В частности, при п = 1 (т.е. при х й и') характеристиками являются прямые вида х + $ = сопос и х — $ = сопо1. Определение. 1, Оператор А называется эллиптическим, если а (х, с) ф 0 при х б Й, с ф О, т.е.
если А не имеет вещественных характеристических векторов. 2. Оператор А в пространстве 1, х, 1 б м~, х б Иа называется зиперболичееким относительно 1, если уравнение а,„(1, х, т, С) = О, рассматриваемое как уравнение относительно т, при любых фиксированных 1, х, С при С ф О имеет ровно т вещественных и различных корней.
В этом случае говорят иногда„что характеристики А вещественны и различны. Примеры. 1. Оператор Лапласа Ь является эллиптическим. 2. Оператор теплопроводности не является ни эллиптическим, ни гиперболическим относительно П 3. Волновой оператор является гиперболическим Относительно с, поскольку уравнение тз = ~Ц~ при С ф 0 имеет два вещественных и различных корня т = Щ. 4. Оператор Штурма — Лиувилля 1и ги — р(х) — и) + д(х)и элли— Ь~ 1х птичен на (а, б), если р(х) ф 0 при х й (а, Ь). Как следует из теоремы 1.3, эллиптичность оператора — факт, не зависящий от выбора координат. Гиперболичность относительно $ не зависит от выбора координат в пространстве Щ. Посмотрим, что означает характеристичность поверхности хз = = сопяс.
Вектор нормали имеет координаты (1, О, ..., 0) и при подстановке в главный символ получаем а„,(х;1, О, ..., 0) = ~~ь аа(хИ1, О, ..., 0)а = а(„,,о,,о)(х)1 /а!=т т.е. характеристичность поверхности х1 = совой в точке х, означа /1~Фа дпВ ет, что коэффициент а~~ о,. о)(х) ~т. е. коэффициент при ~т) — ) азу дх1 ) обращается в 0 в точке х. 1.6. ХАРАктеРистики и кАКОнический вид (и = 2) 19 1.6. Характеристики и ириведение к квнонвческому виду операторов и уравнений 2-го порядка Ори п = 2 При п = 2 характеристики являются линиями и находятся особенно просто. Рассмотрим, например, оператор 2-го порядка А= о — +26 — +с — +..., Оэ бэ Оэ Охэ дхдУ Оуэ (1.18) где а, 6, с — гладкие функции от х, у, определенные в некоторой области Й С и, а многоточие означает члены, содержащие лишь производные первого порядка. Пусть (х(С), у(С)) — линия в й, (ах, ау)— ее касательный вектор, ( — ау, дх) — вектор нормали.
Линия является характеристикой тогда и только тогда„когда вдоль нее о(х, у)ду~ — 26(х, у)дхду+ с(х, у)дх~ = О. (1.19) Если а(х, у) ~ О, то в окрестности точки (х, у) мы можем считать, что е(х ф 0 и что х является параметром вдоль характеристики у = = у(х). Тогда уравнение характеристики приобретает вид ауп — 2Ьу' + с = О. Если Ьэ — ас ) О, то оператор (1.18) называется гиперболическим и имеет 2 семейства вещественных характеристик, находимых из обыкновенных дифференциальных уравнений Ь+ ~ГЬч — ос у = Ь вЂ” ио61: ас у = (1.20) (1.20') Все поверхности хс = сопеС .Авллютсл характеристиками тогда и только тогда, когда а( о о)(х) = О.
Это замечание используется при приведении к каноническому виду операторов 2-го порядка с двумя независимыми переменными. Нахождение характеристик возможно, например, с помощью решения уравнения Гамильтона-Якоби о~ (х, Со,(х)) = 0: если Со — решение этого уравнения, то все поверхности ~р = сопвС являются характеристиками. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби проводится с помощью гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гамильтонианом а (х, С) (см. $ 11). 20 $1.
Линейные диФФЕРЕНциАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ А=И,4 — +., дэ дЬде (1.21) называемый каноническим. Здесь р(с, о) ф 0 (вспомним, что мы предполагали а;~ 0). Аналогично делается приведение к каноническому виду (1.21) в случае, когда с(х, у) 1Е О. Вообще не обязательно отдельно рассматривать эти два случая, так как испольэовалоеь лишь существование интегралов у~(х, р), уэ(х, р) с описанными свойствами. Эти интегралы можно найти и в случае обращения в 0 коэффициентов а и с (в одной точке или в области). Этот случай можно, например, свести к одному из предыдущих поворотом координатных осей (если аз+ Ьг+ сэ 11 0) Часто рассматривают дифференциальные уравнения вида Ав = у, (1.22) где у' — известная функция, А — линейный дифференциальный оператор, и — неизвестная функция.
Если А — гиперболический оператор 2-го порядка с двумя независимыми переменными (т. е. оператор вида (1.18), где Ьг — ас > 0), то после введения описанных выше координат с, и и деяения на р(с, и) уравнение (1.22) (которое в этом случае тоже называется гиперболнческим) приводится к каноническому виду да — +...=О, дс дв (1.23) где многоточие означает члены, не содержащие 2-х производных от и. Пусть теперь Ьг — ас = 0 (тогда оператор (1.18) и уравнение (1.22) с этим оператором называются пара6олическиив). Будем считать, что Отметим, что через каждую точку (х, р) б Й в этом сяучае проходят две некасающиеся характеристики. Запишем зти семейства характеристик в виде ~р1(х, р) = С~ и у~(х, р) = Сю где <ры уэ б С '(Й).
Таким образом, у1, уз являются первыми интегралами уравнений (1. 20) и (1.2(У) соответственно. Будем считать, что 8тас) у1 ф 0 и 8габ 1Рэ 11 0 в Й. Тогда 8гад1Р1 и 8гад~рэ линейно независимы, так как характеристики из разных семейств не касаются. Введем новые координаты С = ~р1(х, р), о = уг(х, у). В них характеристиками будут линии С = дг = сопг1 и о = совг1, но тогда коэффициенты при — и — тождествендсэ дег но обратятся в О, так что оператор А примет вид 1.6.
ХАРАктеРистики и кАвовический вид (в = 2) 21 а 14 О. Тогда для характеристик получается дифференцвазьное уравне- ние (1.24) Найдем характеристики н ззлюпем их в виде фх, у) = совФ;, где у — первый интеграз (1,24), причем бпк) у;~ О. Выберем такую функцию Ч' Е С (Й), что ягасЬр и Кгабу) линеино независимы, и введем новые координаты с = <р(х, у), и = ч)(х, у). В новых ююрдинатах оператор А не будет иметь члена —, поскольку ливии у = совяФ явюпотси д джаз' дз характеристиками. Но тогда член с — также исчезнет, поскольку д4 дв главвьй символ должен быть квадратичной формой ранга 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
