Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Нарисуем мультфильм, описывающий форму струны. Продолжая у(х) нечетным образом, мы получим ту же задачу, что и в примере 2.1. Будем пунктиром рисовать левую полуось, введение которой по существу является просто математическим приемом (реально существует лишь полуось х ) 0).
Получается мультфильм, изображенный на рис. 6. 21 Здесь интересен момент 2 = —, когда вблизи конца струна не воз- 21 мущена. Однако в следующий момент 2 = — + е возмущение возникает а за счет начальной скорости, При $ ) — + с мы получаем две бегущие а вправо волны, из которых одна отрицательна и получияась отражением от конца бегущей влево волны. 2.4. Ограиачеввва струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод розделевиа переменных) Рассмотрим колебания ограниченной струны с закрепленнЫми концами, т.е.
решим уравнение струны (2.6) с начальными условиями и[~=о = ~р(х), ис[с-о = ф(х), х 6 [О, (], (2.33) и с граничными условиями и[ =и[~,=0, ю>0. (2.34) Это можно было бы сделать так же, как в предыдущем пункте, однако мы применим другой способ, который годится и во многих других задачах.
Отметим, что единственность решения уже была доказана вылив с помощью закона сохранения энергии. Будем искать стлолчие оолим, т.е. решения уравнения струны (2.6), определйнные при х 6 [О, ([, удовлетворяющие граничным условиям (2.34) и имеющие вид и(2, х) = Т(2) Х(х). (2.36) Термин остоячая волнае оправдан потому, что форма струны цри колебаниях вида (2.35) по сути дела со временем не меняется (она лишь умножается на множитель, зависящий от времени). Подставляя и(2, х) в уравнение (2.6) получим Т" (1) Х(х) = алТ(2) Х" (х). 82. ОдномеРНОЕ ВолнОВОЕ УРАВнениЕ 38 2 н(С) Х" (х) Вэт(~) Х(х) ' (2.36) Левая часть этого соотношения не зависит от х, а правзя от и Поэтому ясно, что обе они постоянны, т. е. что (2.36) равносильно выполнению двух соотношений тл(С) — Ло тд = О, Х"(х) — ЛХ(х) = О (2.37) (2.38) с одной и той же постоянной Л.
Далее, из граничных условий (2.34) вытекает, что Х(0) = Х(!) = О. (2.39) Задача на собственные значения Х" =ЛХ, Х(0) =Х(() =0 (2.40) является частным случаем так называемой задачи Штурма — Лиувилля. В общем виде мы обсудим задачу Штурма-Лиувилля позднее, а пока решим конкретную задачу (2.40), т.е. найдем те значения Л (собсщвенные значеная), нри которыя задача (2.40) имеет нетривиальные решения (собсшвенные функцвв), и найдем семи собственные функции. Рассмотрим следующие возможные случаи.
а) Л=рт, р>0. Тогда уравнение Х" = ЛХ имеет общее решение Х(х) = С1ейрх+Сэсй|лх. Из условия Х(0) = 0 находим Сз = О, а нз условия Х(() = 0 получается, что С1ЕЬр( = О, откуда С1 = О, т.е. Х(х) = 0 и, значит, число Л > 0 не является собственным значением. б) Л=О. Тогда Х(х) = С1 х + Сз нз граничнъпс условий опять следует, что С~ —— СЕ = 0 и Х(х) гн О.
в) Л = -рэ,,и > О. Тогда имеем Х(х) = С1 еш рх + Сг сое рх. Исключая неинтересный тривиальный случай, когда т(1) = 0 или Х(х) Р— е О, мы можем поделить обе части полученного соотношения на азтЯ Х(х). В результате получаем: 2.4. Оггяничвннвя отгхнл. Стоячив волны. Метод Фвтьв 39 Хв(х) Х (х) Хг (х) Рис. Т Из условия Х (О) = О следует, что Св = О, а из условия Х (1) = О следует, что Сг вш р( = О. Считая Сг ф О, получаем ввп р( = О, откуда получаем следующий набор значений рс Йгг рь = —, Й=1,2, ..., (2.41) и, соответственно, собственных значений и собственных функций: Ль =-~ — ~, Хе=в!и, Й=1,2, ...
(242) /Йят в . Ьгх Нарисуем графики нескольких первых собственных функций, определяющих форму стоячих волн (см. рис. 7). Легко найти также соответствующие значения У(г). А именно, из уравнения (2.37) с Л = Ль находим: Уь($) = Ав сов — + Вь вш Ьгаг . ЬгаВ (2.43) откуда получается общий вид стоячей волны: иь(г, х) = (Аьсов — +Вьв1п — ) вш —, Й=1, 2, ... (2.44) Йяав . Ьгагт .
Йгга Частоты колебаний каждой точки х в решении вь равны гав= —, Й=1,2,..., Йгга (2.45) и называются собственными частотами струны. Теперь будем искать общее решение уравнения (2.6) с граничными условиями (2.34) в виде суммы (гсуперпозицииг) стоячих волн, т.е. в виде Йяаг . Йяагт . Йггх и(г, х) = ~~г (Аь сов — + Вь вгп — ) в!и —. (2А6) в=1 42. Одномвгнов волновов хгавнвннв 40 Нам нужно удовлетворить начальным условиям (2.33). Подставляя решение (2.46) в эти условия, получим у(х) = ~ ~Ааеш —, х Е [О, 1], а=1 гГг(х) = ~~г ( — ), Ваап й™, х Е [О, 1].
а=1 (2.47) (2.48) (Хс, ш) = (в, Тш), гг, вг Е Рг., (2.49) где скобки означают скалярное произведение в а з([0, 1]): (ггг, сз) = сг(х)сз(х)г(х. е (2.50) Итак, система (ап — г ортогональна в В ([О, 1]). Хотелось ахх 1 г Уа=цг,... бы установить ее полноту. Будем для простоты считать, что 1 = т ( общий случай сводится к этому введением независимой переменной ххт 00 р = — ), так что система имеет вид (вгп/сх)аап и рассматривается на [О, в.]. Пусть у Е ХР([0, х]).
Продолжим у нечетным образом на [ — х, х] и разложим на отрезке [ — т, х] в обычный ряд Фурье по системе (1, сов йх, з1п 7гх; й = 1, 2, ... ). Ясно, что это разложение не будет содержать 1 и соз йх ввиду нечетности продолжения. Поэтому на [О, гг] мы как рвз получим разложение по системе (гйп Йх; Й = 1, 2, ... ). Отметим еще, что если функция у непрерывна, имеет кусочно- непрерывную производную на [О, х] и у(0) = Дх) = О, то ее периодическое с периодом 2х и нечетное продолжение также непрерывно Таким образом, функции у(х) и ф(х) неогпгодимо разложить по системе лхх собственных функций (вш †, й = 1, 2,...~. Отметим, прежде всего, что эта система ортогонельна на отрезке [0,1].
Это можно проверить непосредственно, но можно и сослаться на общий факт об ортогональности собственных векторов симметричного оператора, отвечающих различным собственным значениям. ,~г В качестве оператора нужно взять оператор Ь, равный —, но с обла4хз' стью определения Рь, состоящей из функций в Е С~([0, 1]), для которых в(0) = е(1) = О.
Интегрированием по частям проверяется, что 2.4. Огглннчкннвя стгвнл. Стоячнв волны. Метод Фвгьв 41 2 г(г(х) в1п — г(х йхх Ьга а о ии — — а и +Г(1,х), 1>О, хй[0,1). (2.53) Концы струны будем считать закрепленными (т. е. выполнены условия (2,34)), а при 8 = О зададим, как и вьппе, начальные положение и скорость струны — условия (2.33).
Поскольку собственные функции (в!пйх;й = 1, 2, ...) образуют полную ортогональную систему на [О, 1), то любую разумную функцию у(8, х), определенную при х й [О, 1], можно разложить по этой системе с коэффициентами, зависящими от 8. В частности, мы можем написать: и(г, х) = ~~г ив(1) вш Ьгх (2.54) в=г Д$, х) = ~~г Гв(1) вш (2.55) в=1 н имеет кусочно-непрерывную производную. Поэтому она разлагается в равномерно сходящийся ряд по системе 1в1п йх; й = 1, 2, ... ). Если же указанное 2в-периодическое продолжение принадлежит классу Св, а (й + 1)-я его производнел кусочно-непрерывна, то это разложение можно й рвз дифференцировать с сохранением равномерной сходимости.
Итак, разложения в ряды (2.47), (2.48) существуют, причем навагая на цг(х), г)г(х) условия гладкости и некоторые граничные усвовия, мы можем добиться сколь угодно хорошей сходимости этих рядов. Коэффициенты этих рядов однозначно определены: )'У(х) вш — 1х Г Ьгх Ав= Г 4 о 1 2Г (2.51) о ,( ггг(х) вш — "х ггх В„1 о (2.52) .
вйхх У' ° —.. о Подставляя эти значения Ав и Вг, в (2.46), мы получим решение искомой задачи. Метод Фурье позволяет установить и единственность решения— мы покажем это ниже на примере более общей задачи. Рассмотрим задачу о струне, на которую действует распределенная СИЛЬ: 52.
Одномвгнов волновов увлвнвнив где Д(г) — известные функции, а ий(Ф) нужно определить. Подставляя эти разложения в уравнение (2.53), получим '1йй(1) + ыйийЯ вЂ” Д (1)~ вш — = О, (2.56) йха где шй = — — собственные частоты струны. Из (2.56) следует, в силу ортогональности системы собственных функций, что йй(С) + шйгий(1) = Д(1), Й = 1, 2, ... (2.57) Из начальных условнй ~~ь юй(0) в(п — = йа(х), й=й ий(0) вш — = ф(х), (2.58) (2.59) у(1, х) = д(х) в1пы$. (2.60) Ясно тогда, что правые части уй(г) уравнений (2.57) будут иметь вид уй($) = дй в1паФ. (2.61) Пусть, например, дй ~ О.
'1Ъгда при ш ф щ (йнерезонансный случайэ) уравнение (2.57) имеет колеблющееся частное решение аида Уй г г' Мй — М ий(1) = Уй в!паА, (2.62) так что его общее решение также будет иметь осциллирующий вид: пй(1) = Уй в(па4+ А» совшйв+ Вй япшй$. (2.63) При ш = ый (йрезонансный случайэ) есть частное решение вида ий($) = $(Мй совал+ Хй в1пах), (2.64) находятся пй (0) и 6й (0), т. е, мы можем однозначно определить функции пй($) и, следовательно, решение и(г, х). Интересен, в частности, случай, когда у(1, х) имеет вид гармонического колебания по 1, например, ЗАДАЧИ которое можно представлять себе как колебание с частотой ы и с неограниченно растущей амплитудой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
