Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Итак — = О, что и дает закон сохранения энергии Н(1) = <й = сопвс. Из закона сохранения энергии вытекает единственность решения уравнения струны (2.5) при условии, что всюду р(х) > О, задано движение концов: и[ = а(1), [, = р(с), (2.14) и фиксированы начальные условия (положение и скорость струны): в[с- = ~Р(х), в1 [в=о = ф(х» х б [О, Г]. (2.15) В самом деле, если ид, иэ — два решения уравнения (2.5) при условиях (2.14) н (2.15), то их разность о = и1 — ив удовлетворяет однородному уравнению (2.11) я однородным граничным и начальным условия в[ =о[,,=О, е!ю о = ес!е о = 0 х Е [О 11 (2.16) (2.17) Но тогда из закона сохранения энергии для и вытекает, что [р(х) и~~(1, х) + То~~(1, х)~ дх = О, о откуда ов = 0 и оо = О, т.е. в = сопвь В силу (2.17) мы имеем теперь о = О,т.е.и1 = ио,что и требовалось. В заключение заметим, что вывод уравнения струны можно было, конечно, провести и без ущющающего предположения в~о ч.
1. В результате получилось бы нелинейное уравнение, исследование которого вряд ли можно провести простыми средствами. Уравнение же (2.5) получается как линеаризация (главная линейная часть) указанного нелинейного уравнения. По свойствам его решений можно судить и о поведеняи решений нелинейного уравнения. Заметим, однако, что при больших де. формациях и указанное нелинейное уравнение вряд ли будет адекватно физической задаче, поскольку может возникнуть сопротивление изгибу и другие неучтенные эффекты.
з2. ОднОмеРнОВ ВОлнОВОе углвнвнив 2.2. Неограниченная струев. Задача Коши. Формула Даивмбера в!~ о = Ф(х) вс~,~, = Ф(х) (2.18) С физической точки зрения условия (2.18) означают, что заданы начальное положение и начальная скорость струны. Можно ожидать, что по аналогии с конечномерными задачами механики задача Коши здесь будет коррекшна, т.е. решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных у и р. Как мы увидим сейчас, зто действительно так. Воспользуемся найденным в 6 1 общим решением уравнения (2.6): и(1, х) = у(х — а1) + д(х+ а$).
(2.19) Записывая условия (2.18), получим систему двух уравнений для определения произвольных функций у и д: у (х) + д(х) = ~р(х), — ау (х) + ад'(х) = ф(х). (2.20) (2.21) Интегрирование второго уравнения дает (2.22) Неограниченная струна с физической точки зрения является идеализацией, означающей, что мы рассматриваем внутренний участок струны, считая концы достаточно далекими, так что на рассматриваемом интервале времени они не влияют на происходящее на данном участке струны. Как мы увидим ниже, рассмотрение неограниченной струны полезно и при изучении полуограниченной струны (являющейся аналогичной идеализацией) и ограниченной струны.
Переходя к математическому обсуждению, рассмотрим одномерное волновое уравнение (2.6) при х 6 В„1 > О. Естественной задачей здесь является задача Коши: задача о нахождении решения уравнения (2.6) с начальными условиями 2.2. НБОГРАниченнАЯ стРУнА. ФОРмУМА ДАЯАИББРА З1 Из (2.20) и (2.22) находим теперь ~(х) = р(х) - — 2~'~(~)б~- -,, Г С ао у(х) — -р(х) + — / од(с)оЦ+ —.
С (2.23) (2.24) Поэтому и(1, х) — ао(х — а1) — 1(о(О с(с + ~р(х + а$) + о~о(с) ас 1 l 1 Г ао ао о+оВ и(1, х) = + — ф(~) И(. (2.25) Итак, решение и(1, х) действительно существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных у, о(о при разумном выборе топологий в множестве начальных данных ао, оу и функций и(в, х).
Ыапример, ясно, что если решение ив построено по начальным данным ~рм од1 и при достаточно малом б > 0 вир~~о1(х) — ео(х)~ < б, вир~о~о1(х) — од(х)~ < д, (2.26) оаи аеи то вир ~ и1 (1, х) — и(8, х) ~ < в, аеи ос[в,т) (2.27) со сколь угодно малым в > 0 (более точная формулировка: для любых в > 0 и Т > 0 найдется такое б > О, что из (2.26) следует (2.27)).
Таким образом задача Коши корректна. Формула (2.25), задакнцал решение задачи Коши, называется формулоб Даламбера. Сделаем несколько замечаний по поводу ее вывода и применений. Во-первых, заметим, что зта формула имеет смысл для любых локально интегрируемых функций ~р и ф, давая обобщенное решение уравнения (2.6). Мы будем здесь рассматривать лишь непрерывные решения. Тогда в качестве у можно брать любую непрерывную функцию, а в качестве од — любую локально интегрируемую. Получаемые таким $2.
ОдномвРнов волновая УРАвнвнив 32 Ъ «« l и Ф хо+ а1о хо — а1о с «1 Рис. 4 Рпс. 3 образом функции и($, х) естественно называть обоби»еииыми решениями задача Кои»и. Мы будем рассматривать обобщенные решения наравне с обычными, опуская слово «обобщенный». Во-вторых, из формулы Даламбера ясно, что значение решения в точке 8о, хо зависит лишь от значений О»(х) при х = хо х а$о и от зне чений ф(х) прн х Е (хо — а1о, хо + а$о). Во всяком случае, достаточно знатыр(х) и»)»(х) на [хо — а$о, хо+ а8о]. Отрезок [хо- а1о, хо+ а1о] высекается на оси х в (1, х)-пространстве характеристиками, проходящими через точку (1о, хо) (см. рис.
3). Образованный этими характеристиками и осью х, треугольник образует множество тех точек полуплоскости 1 > 0 в которых значение решения полностью определяется начальными данными на отрезке [хо — а1о, хо + а1о] (этот треугольник называется областью зависимое«ни для отрезка [хо — а8о, хо+ а1о]). Элементарный анализ вывода формулы Даламбера показывает, что она верна для любого решения, определенного в треугольнике, у которого боковыми сторонами являются характеристики, а нижнее основание — отрезок [с, «»] оси х (т.
е. не обязательно требовать, чтобы решение было определено всюду в полуплоскости 1 > О). В самом деле, иэ уравнений (2.20), (2.21) мы находим значения у (х) и у(х) при х Е [с, П] (если начальные данные определены на [с, а)). Но это двйт значения и(«, х) при х — а8 е [с, »»], х+ а1 Е [с, д] т. е. когда проведенные через точку (1, х) характеристики пересекают отрезок [с, д] на оси х. При этом, конечно, можно считать, что у(х) и у(х) определены только на [с, Ы] (т. е. и(1, х) определена в указанном треугольнике, являкнцемся областью зависимости отрезка [с, Ы]). Физический смысл области зависимости очевиден: она состоит вз тех точек (», х), для которых волна, движущаяся со скоростью а от одного вз концов отрезка [с, »»] и начавшая движение при ~ = О, не успевает за время 1 дойти до точки х.
2.2. Нвогглничвннля стелю. Фогмулл Дьллмввгл 33 ИВЕ И.' ЛЗ ежа~ юиив юънигквлм +Е 2а Рис. 5 Далее, значения начальных данных у и ф на [с, И) не влимст на значение о(Ф, х), если х + аС ( с или х — ай ) И (т.е. волна за время Ф не успевает дойти от ближайшего к точке х конца отрезка [с, д[ до точки х). Поэтому область, ограниченная отрезком [с, с([ и лучами прямых х+ аФ = с, х — а~ = И, лежащими в полуплоскости 6 ) О, называется обласянао елалввл отрезка [с, с([ (звштрихованная область на рис. 4).
Эта область является дополнением множества тех точек (~, х), для которых и(2, х) не зависит от значений ~р(х) и ф(х) на [с, ф Пример 2.1. Нарисуем форму струны в различные моменты времени, если ~(х) = О, а у(х) имеет вид, изображенный выше на первом з2. ОДВОмеРнОе ВОлнОВОе УРАВненне из графиков рнс. 5, т.е. график р(х) имеет форму равнобедренного треугольника в основанием [с, д[. Пусть д — с = 21.
Мы будем рисовать форму струны в наиболее характерные моменты времени, когда происходит изменение ее формы. Все этн рисунки вместе образуют своеобразный мультфильм о колебаниях струны, которую оттянус+д ли в точке —, придерживая концы отрезка [с, д[, а затемотпустнли. Из формулы ~о(х — ао) + х(х + ао) видно, что первоначальное возмущение ~р(х) делится на две одинаковые части, которые разбегаются влево и вправо со скоростью а.
Пунктиром на рис. 5 изображены разбегающиеся полуволны ~р(х — ао) ~р(х + а$) и ~ в сумме дающие и($, х). Число е > О считается достаточно малым по сравнению с характерным интервалом времени — ~достаточно, чтобы было е ( — ~. а 2а! ' 2.3. Полуаграииченивя струив. Отражвпве воен ат конца струны Рассмотрим уравнение (2.6) при х > О, $ > О. На конце х = О надо задавать граничное условие. Пусть, например, задано движение левого конца струны: и! =О(г), в> О, (2.28) и обычные начальные условия, но при х > О: и[, о —— у(х), ис[, о = 4'(х), х > О. (2.29) Задача, в которой задаются начальные и граничные условия, называется обычно смешанной задачей.
Таким образом, задача с условиями (2.28) — (2.29) для волнового уравнения (2.6) является примером смешанной задачи (иногда ее называют 1-й краевой задачей для уравнения струны). Убедимся, что зта краевая задача также корректна и решим ее. Для аналитического решения проще всего использовать тот же способ, что и в задаче Коши. Квадрант 8 > О, х > О является выпуклой областью, так что мы можем снова написать и(2, х) = у(х — ай)+9(я+а~), но теперь функция 9(х) определена и нужна для нахождения и уже лишь при х > О (функция Дх) по-прежнему определена при всех х), поскольку х + а1 > О при х > О, Ф > О. 2.3.
Польогглничкннля сткьнл. Отклжкник волн 35 Начальные условия (2.29) определяют аналогично случаю неограниченной струны у(х) и д(х) при х > О, причем получаются те же формулы. Поэтому при х — аФ > 0 решение дается формулой Даламбера„что, впрочем, было ясно и так. Но теперь можно использовать граничное условие (2.28), из которого получается, что у( — а1) + д(аг) = а(г), 1 > О, (2.30) откуда у(с) = а( — й) — д( — х), с ( О. (2.31) е Слагаемые в (2.31) при подстановке л = х — а1 дадут сумму двух бегух щих вправо волн, из которых одна равна а(г — — ) и естественно интер- а претируется как волна, созданная колебанием конца струны, а вторая равна — д( — (х — о1)) и интерпретируется как отражение от конца бегущей влево волны д(х+ аФ) (заметим, что это отражение происходит с изменением знака).
Если левый конец закреплен, т. е. а(1) = О, то остается только волна — д( — (х — ас)), а если нет бегущей влево волны, то остается лишь волна а($ — — ), индуцированная граничным колебания ' ем а(1). Укажем геометрически более наглядный способ решения задачи с закрепленным концом. Итак, мы хотим решить волновое уравнение (2.6) при г > О, х > 0 при начальных условиях (2.29) и граничном условии п!з О ж 07 Ф ~ ЭО (2.32) Попробуем найти решение в виде правой части формулы Даламбера (2.25), где у(х), ф(х) яавпотся какими-то продолжениями на всю числовую ось функций у(х), Ч'(х), определенных при х > 0 начальными условиями (2.29).
Граничное условие дает откуда видно, что мы достигнем цели, если продолжим ~р и ф нечетным образом, т.е. положим Итак, мы можем построить решение на|пей задачи. Единственность его не видна сразу нз этого способа, однако, к счастью, мы уже доказали ее раньше. 22. ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 36 Пример 2.2. Пусть конец закреплен, ф(х) = О, а график у(х) опять имеет вид равнобедренного треугольника с основанием [(, 3().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
