Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Мы будем считать всегда, что й > О. Собственные значения оператора Штурма — Лиувилля Ь имеют вид Л = й~, где й таково, что тй(1, й) = О. Из теоремы Штурма вытекает, что количество иулеб фуиииии т1т(х, й), лезсатцих иа любом фиксированном отрезке ]О, а], где а < 1, лвллетсл неубываютцвб фуииииеб й. Поэтому с ростом й все нули функции бт(х, й) двигаются влево. Собственные значения соответствуют тем значениям й, при которых в точке 1 появляется новый нуль.
Поскольку количество этих нулей конечно при любом й, то отсюда вытекает, что собственные значения образуют дискретную последовательность Лт < Лэ < Лз < зз. Зьдлчл Штз мл — Лизвилля бо Л < Л < А < ..., стремящуюся к +со. Собственные функцвн Х„(х), соответствую- щие собственным значениям А„, ортоеональны. Собственная функция Х„(х) имеет ровно и — 1 нулей на интервале (О, [). 3.3. Коротковолновая асимптотика Опишем асимптотическое поведение больших собственных значений и соответствующих собственных функций.
Получаемые при этом асимптотические формулы часто называют коротковолновыми асимптотиками, имея в виду, что они соответствуют высоким частотам и, следовательно, малым длинам волн в нестационарной задаче. Поведение собственных значений легко описывается с помощью осцилляцнонных теорем.
А именно, собственные значения оператора Х = Ы = — — + д(х) заключены между собственными значениями оператодх~ дз дз ров Уа — — — — и Уз = — — + М, где М = п1ах ц(х). Поскольку д г собственные значения операторов Х1 и Ьр равны ( — ) и ( — ) + М ~[) ~[) и = 1, 2, ..., то мы получаем ( —,")'(А„(('— ,")' М. (3.14) В частности, отсюда следует асимптотическая формула которая либо конечна, либо стремится к бесконечности. При этом собственная функция Х„(х), соответствующая собственному значению Л„, имеет ровно и — 1 нулей на интервеле (О, [).
Легко понять, что на самом деле число собственных значений бесконечно. В самом деле, из теоремы Штурма вытекает, что число нулей функций ц' (х, й) на (О, [) не меньше, чем число нулей на (О, [) для соответствующего решения уравнения — уо+ Му = йзу, где М = звр ц(х). ее[Од Но это решение равно ьйп ~/йз — Мх и число его нулей на (О, [) неограниченно растет при й — Ф +со. Итак, доказана Теорема 3.2. Собс1пвенные значения полохснтельньц однократны и образуют последовательность 3.3. КОРОткОВОлнОВАя АснмптОтикА нли, если положить я„= т/Х„: й„= —,"(1+ О®) = —,"+ О(-').
(3.16) (3.17) с начальными условиями (3.18) считая ц(х) ф правой частью. Прн этом получится интегральное урав- нение для Ф = ф(х) = ф(х, й), которое можно будет решить методом последовательных приближении. Напашем 13(х) = С1(х) соя йх+ Сз(х) ап йх и выпишем уравнения для С1(х) н Сз(х), возникающие в методе вариации постоянной: С,'(х) сов йх+ Сз(х) В!пйх = О, (3.19) — АС,' (х) еш йх + йСА(х) соз йх = д(х) ф. (3.20) Решая эти уравнения,мы найдем С1(х)и Сз(х), откуда С1(х)и Сз(х) определяются интегрированием с точностью до произвольных постоянных, которые мы выберем из начальных условий: (3.21) возникающих из (3.18), если мы заметим, что С,'(0) = 0 в силу (3.19). Имеем тогда С1(х) = — д(т)ь|>(т)~~™ Йт, й е Сз(х) = 1+ д(т)ф(т) йт, е Найдем теперь асимптотику собственных функций Х„(х).
Идея с<» стоит в том, что при больших й член йэХ в уравнении (3.12) играет ббльшую роль, чем член д(х) Х. Будем поэтому решать уравнение $3. Злдлчл Штт мл-Литвилля откуда ф(х) = вшйх+ -11 в1пй(х — т)с1(т)ср(т)с1т. (3.22) 1 й/ о Ясно, что решение сд этого интегрального уравнения удовлетворяет (3.17) и (3.18), так что оно равносильно уравнению (3.17) с начальными условиями (3.18). Для решения вольшеррова рраеиеиив (3.22) методом последовательных приближений рассмотрим стоящий в его правой части интегравьный оператор А, задаваемый формулой Аф(х) = в1п й(х — т) с1(т) ф(т) дт.
о Уравнение (3.22) записывается как (1 — -А) ф = в1п йх и его решение мвкно записать в виде сл = (1 — -А) вш йх = ~~с — „А" (в1п йх), й« «=о (3.23) 4(х, й) = вшйх+ О(-), й -++со. 1х (3.24) Это и дает коротковолновую асимптотику собственных функций Х„= ф(х, й„), поскольку из (3.16) и (3.24) ясно, что Х«(х) = в!и — + 0( — ), и -~ +оо. (3.25) если только ряд в правой части (3.23) сходится и к нему можно почленно применить оператор А. На самом деле ряд в (3.23) равномерно по х Е (О, 1) сходится при всех й, но поскольку нас интересуют лишь большие значения й, то можно ограничиться очевидным замечанием, что он равномерно на (О, 1) сходится при больших й, потому что А — ограниченный равномерно по 1с оператор в С((0, 1]), а функции вшах имеют в С((0, Ц) норму, равную 1.
В частности, мы получаем 3.4. Фтнкция Гриня и полнота систвмы совстввнных фкнкций 53 3.4. Функция Ррннаи полнота системы собственных фунвзпй дэ Рассмотрим оператор Штурма — Лиуввлля Х = — — + фх) как опеля ротор, отображающий его область определения Х7ь = (е(х) б Сэ([0, !!), е(0) = е(!) = 0) (3.26) Х Х(х) = С(х, р)Х(р)оу, о (3.27) где С 6 С([0, !] х [О, !]). Функция С(х, у) называется фрнкцееб Грина оператора Х. Вообще если оператор записан в виде правой части (3.27), то С(х, р) называют его ядрам (в смысле Л. Шварца).
Таким образом, оператор Х ' имеет непрерывное ядро (в смысле Л. Шварца), равное С(х, р). Ясно, что функция С(х, р) однозначно определена равенством (3.27). Для нахождения Х 1Х мы должны решить уравнение (3.28) -е (х) + д(х)е(х) = Х(х) с граничными условиями (3.29) е(0) = е(!) = О. Это делается с помощью вариации постоянных. При этом удобно использовать два решения 31(х), уэ(х) однородного уравнения (З.ЗО) -у" (х) + о(х) р(х) = О, удовлетворяющих гоаннчвым условиям у (0) = О, р',(0) = 1; уэ(!) = О, р'(!) = — 1. (3.31) (3.32) Ясно, что решения р1(х) и рэ(х) линейно независимы, поскольку 0 не является собственным значением Х ввиду условия д(х) ~ )О.
Теперь пишем е(х) = С1(х)р,(х) + Сэ(х)рэ(х) (3.33) в пространство С([0,!]). Мы увидим, что при о > 0 этот оператор обратим, причем обратньй оператор Ь 1 записывается в виде инте- грального оператора $3. ЗАдАчА Штугмл-Лиувилля 54 и составляем обычные уравнения Определитель втой системы линейных уравнений относительно С',(х) и Сг(х) — зто определитель Вронского %'(х) = уг (х) уг(х) — у1(х) уг(х). (3.36) Известно (и легко проверяется дифференцированием И~(х)), что Ю(х) = сопзг, причем равенство В'(х) = 0 равносильно линейной зависимости решений уг и уг. Таким образом, в нашем случае ТФ'(х) = Ж = сопеС 14 О.
Но учитывая граничные условна (3.29) для функцни е и граничные условия (3.31), (3.32) для функций уы уг, мы видим, что нужно выбрать С1(х) и Сг(х) так, чтобы было Сг(1) = О, Сг(0) = О. Отсюда получаем Таким образом, функция е существует, единственна и дается формулой: (3.37) Сг(х)у1(х) + Сг(х)уг(х) = О, С((х)у',(х) + Сг(х)уг(х) = г(х). Решая систему (3.34), (3.35) по правилу Крамера, получаем Сг(х) = ~ Дх) уг(х); Сг(х) = г(х) у1(х). 1 1 Съ(х) = — — „( У(4)уг(4)И6 Сг(х) = — — / ~Ы)угу)еК. 1 1 1 е(х) = — ~ уг®уг(х)~ЯМ~ — ( уг(х)угЯ~ЯЩ, Г которая может быть записана в виде е(х) = С(х, с) Дс) ~Ц, о (3.34) (3.35) 3.4.
Фьнкция ГеинА н полнота систвмы совстввнных фьнкций 55 если функцию С(х, с) определить формулой С(х, ~) = — — [д(х — ~) Рд (~) Рз(х) + дЯ вЂ” х) 91 (х) Ро(~)), (3.38) 1 где д(г) — функция Хевисайда (д(х) = 1 при я > О, д(я) = 0 при х ( 0). Отметим, что функция С(х, ~) непрерывна и симметрична, т.е. С(х, о) = С(4, х). (3.39) Последнее можно увидеть и без явного вычисления, поскольку оператор 0 1 должен быть симметричен ввиду симметричности Ь, а симметричность оператора ь ' равносильна симметрии функции Грина С(х, с).
Рассмотрим теперь в 1 о([0, 1]) оператор С с ядром С(х, С)( ( СУ(х) = С(х, 4) И) ((4'. (3.40) о Это симметричный вполне непрерывный оператор. По теореме Гильберта он имеет полную ортогональную систему собственных функций Х„(х) с вещественными собственными значениями р„(здесь и = = 1, 2, ... ), причем р„-+ О при и — ~ оо.
Имеем: (3.41) СХ„= р„Х„. Если бы функции Х„оказались непрерывны, то применяя к обеим частям (3.41) оператор <"., мы получили бы Хп = цв~Хп, ОтКуда ра (я 0 И Ла = 11'р„ — СОбСтВЕННОЕ ЗпаЧЕНИЕ ОПЕратОра Ь. НЕ- прерывность Х„ легко проверяется из (3.41) при условии,что р„ 14 О.
Вообще, если у е Ь~ ([О, 1]), то СУ е С([0, 1]), поскольку ((ал(*'( — (ал(*"(( = (!!(аь', о — а(*", о(ю<(/ < о < ° и (а(*', 6-а(*", О( ! ЮО(<( < 1е(о,(! о ч 1/2 < .ю(<(*',О-а(*",((( <((1(У(0(*<() ее(од! о зЗ. Злдлчл Шт«тмл — Лньвилля а функция 6'(х, с) равномерно непрерывна на [О, 1] х [О, 1]. Остается показать, что оператор 6 не может иметь в Хэ([0, 1]) нулевого соб- ственного значения. Но если и е Х.~ ([О, 1]) и 6Ъ = О, то н ортогонально к образу оператора 6, поскольку тогда (3.42) (н, 6Х) = (Сн, Х) = О. В то же время в виде 6'Х заведомо можно представить все функции е Е Р«,, поскольку тогда е = 6(Хе) по построению оператора 6.
Но Рь плотно в Хз([0, 1]), поэтому из (3.42) вытекает, что и = О. Итак, собственные функции оператора 6' в точности совпадают с собственными функциями оператора Х. В частности, мы доказали полноту системы собственных функций оператора Х в Ъз([0, 1]). Отметим еще следующие свойства функции Грина, легко проверяемые с помощью формулы (3.38): а) 6(х, с) имеет непрерывные производные до 2-го порядка включительно при х ~ с и удовлетворяет по х уравнению Х«6(х, () = 0 42 (также при х ф. с). Здесь Х; = — — + д(х); 4 3 б) функция 6 (х, с) непрерывна всюду, а ее производная 6«при х = ~ имеет разрыв 1-го рода, причем скачок равен -1: С',(('+ О, с) — 6(с — О, с) = — 1; в) выполнены граничные условия б(х, Х) = Х,С(х, Х).
(3.43) Получим тогда Х(х) = 4(х, ~),Щ «(Х. о (ЗА4) Эти свойства можно использовать для нахождения 6 без вариации постоянной. Легко проверить, что 6(х, Х) однозначно определена этими условиями. Условия а) и б) можно легко записать с использованием б-функции Дарана. Аккуратно мы сделаем это позже, а сейчас проведем эвристическое рассуждение (на «физическом«уровне строгости). Удобно сразу использовать формулу (3.27), записывающую оператор Х ~ через ядро. Применим формально к обеим частям этой формулы оператор Х и введем обозначение: ЗАДАЧИ 57 Отсюда ясно, что функция б(х, б) должна быть равна 0 при ~ ф х и в то же время б(х, ~) Щ = 1.
о По причине трансляционной инвариантности (из (ЗА4) вытекает, что б(х+ г, с+я) = б(х, с)) ясно, что б(х, б) должна зависеть лишь от ~-х, так что напишем б(х, б) = б(~ — х). Тогда мы получаем, что функция б(х) должна быть равна 0 при х ,-Е 0 и в то же время б(х) «(х = 1. Конечно, не существует локально интегрируемой функции, обладающей зтим свойством, однако удобно использовать символ б(х), если он входит лишь под знаком интеграла, имея в виду, что б(х) У(х) ««х = У(0). «Функцияе б(х) называется б-фуикцие«1 Дирака.
Она находит свое место в общей теории обобщенных функций и понимается там как линейный функционал на гладких функциях, сопоставляюший значение у(0) функции Дх). Существует интерпретация ее как точечной нагрузки. А именно, если на неоднородную струну действует распределенная сила у(х), то после затухания колебаний (например, вследствие трения), мы получим, что установившаяся форма струны е(х) должна удовлетворять условиям (3.28), (3.29) и, следовательно, выражается формулой (3.37). Если вся нагрузка сосредоточена вблизи точки (, причем суммарная нагрузка равна 1, т.е. ( Дх) ««х = 1, то форма струны будет в точности С(х, ~). Этому утверждению уже легко придать точный смысл, перехода к пределу, когда берется так называемая б-образная последовательность нагрузок Д„(х) (например, такая, что Ях) > О, Д„= 0 при (х — Я ) — и ) у„(х)««х = 1) . Мы опускаем детали, которые 1 читатель легко восстановит самостоятельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
