Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 11
Текст из файла (страница 11)
р. —. х~«0' я «Обычные«функции —,, —, переменного х Е Й при в > 1 1 1 х+«в' х — «в > О определяют обобщенные функции умеренного роста (элементы 3'(И~)). Оказывается, что в 3'(и') существуют пределы 1 . 1 1 . 1 = Иш —, — = 11ш —,, х+ «О «-++о х+ «в' х — «О «-++о х — «в' (4.23) (левые части здесь по определению равны пределам, написанным в пра; вых частях). Проверим, например, существование предела — в 3 (Ж ). 1 «1 Нужно доказать, что если «в е 3(К~ ), то предел (4.24) существует и представляет собой линейный непрерывный функционал Последовательности «обычных» функций, сходящиеся к Ю-функции, называют б-образными.
Можно значительно ослабить свойства а)-в), сохранив д-образность последовательности. Так, в теории рядов Фурье доказывается б-образность (например, в З'(( — я, х))) последовательности ядер Дирихле: -( В В (1) 1 2 (4.21) вш 1 2 определяемых тем условием, что (Юв, у) есть сумма й первых членов ряда Фурье функции 9«при 1 = О.
Аналогичным образом, д-образную последовательность в 'Э'((-я, в)) образуют ядра Фейера $4. Ововщвннык еункцин 70 — = — 1п(х+ Ъе), 1 Н х+ 1с 4х где ветвь 1п(х + 1с) выбирается произвольно (но непрерывно при всех х Е И, с > 0). Интегрирование по частям дает теперь . Их = — у'(х) 1п(х+ Ы)дх.
/"'~. =- (4.25) Поскольку 1п(х+1с) = 1п 1х+(с[+1ехб(я+ы), то ясно, что по теореме Лебега правая часть (4.25) имеет при е -+ +О предел, равный — /(~! ° 1)р~ )ь-ю 1 ~( ~ш= — 1' О ~*9р~1ь-юке. (4.26) Поскольку 1п 1х[ Е Ц„(К) и 1п [х[ растет на бесконечности не быстрее [х[' при любом с > О, то ясно, что в правой части (4.26) стоит конечная величина, задающая непрерывный функционал от у е 8(К"). Этот 1 Функционал и обозначается —,, х+10 Изучим подробнее первое слагаемое в (4.26). Имеем — ) 0 ~*0Фм~ = ь [- 1 > м Ф( ° )ь~ = -ОЭ 1*1Р~ = '~ [' 1.~ Ф~*)~',.~ ~ г (*)а*~ мфе Г 1 = 1пп ( -у(х) Их, ~ — >+О Х / (4.27) поскольку 1пп 1пе[р(с) — ср( — с)~ = 1пп 0(с) 1пс = О.
В частности мы е-++О к-++О доказали, что последний предел в (4.27) существует и задает функционал из $'(И~ ). Этот функционал обозначается ю р. — (буквы ч. р.— от х Е $(И~). Это проще всего сделать, проведя интегрирование по частям. А именно, имеем 4.3. Топология и сходимость 71 начальные буквы французских слов «ча1ецг рппс«ра1е«, что означает «главное значение«). Таким образом, по определению (4.28) ~ч1>« Кроме того, теперь мы можем переписать (4.26) в виде 1 1 — = ч.р. — — я«б(х). х+«О х (4.29) Аналогично получается, что 1 1 = ч.
р. — + я«б(х). х — Ю х (4.30) 1 1 — — = -2х«б(х). я+Ю х — «О (4.31) Существование пределов в (4.24) и в (4.28) можно также доказать, разложив у(х) в сумму функции, равной ~р(0) в окрестности точки 0 и функции, равной 0 в точке О. Для каждого из слагаемых существование пределов легко проверяется. Таким образом можно получить и формулы Сахоцкого. 1 1 Обобщенные функции . и ч.р.— представляют собой различхх«0 х 1 ные «регуляризации» неинтегрируемой функции —, т.е.
позволяют при- ОО дать смысл расходящемуся интегралу ) — ««ч(х) «(х, Мы видим, что зто 1 делается неоднозначно, так что неинтегрируемой функции — можно поставить в соответствие много обобщенных функций. Процедура ре- 1 гуляризации важна, если мы хотим использовать — как обобщенную функцию (например, если мы хотим ее дифференцировать). Такая или подобная процедура применимы и ко многим другим неинтегрируемым функциям. Формулы (4.29) и (4.30) называются форз«ул«ьви Сохон««ого. Из ннх вытекает, в частности, что г4. Ововщйнныв Функции 4.4.
Носитель обобщенной функции Пусть йд, йг — два открытых подмножества в К", причем й1 С С Йх. Тогда З(Й1) С З(йх). Поэтому если У б З'(Йх), то мы можем ограничить функционал у па З(йь) и получим обобщенную функцию на йы которая обозначается ~~, . Важное обстоятельство состоит в п1' том, что эта операция ограничения обладает следующими свойствами: а) Пусть дано покрытие открытого множества й открытыми мнохсгствами Й, у б д, т. е.
Й = ()1 хй .. Тогда если 7 б З'(Й) и у (и = О, у б,У, то у = О. б) Пусть опять й = и,. хйв и дан набор обобщенных функций уу е З'(Й.), причем Ь~д „„— — Л~п для любых й, 1 б д. Тогда существует такал обобщенная функция у б З'(й), нто ~~ = Д длл любого у е,7. Свойства а) и б) часто формулируют, говоря, что обобщенные функции образуют пучок. Докажем важное для нас свойство а). Для этого воспользуемся враз- биением единицыь — таким семейством функций (уу)ве,р, что 1) у~ б С (Й), гпрр~ру С Й~,' 2) семейство (уу) локально конечно, т.е. у любой точки хв б Й имеется окрестность, в которой отлично от нуля лишь некоторое конечное число ьо~„..., у „функций нз этого семейства; 3) ~:,.„у; =- 1.
Существование разбиения единицы доказывается в курсах геометрии. Если у б З(й), то из 1) следует, что ~о~у б З(йу), а нз 2) и 3) вытекает, что (4.32) причем сумма на самом деле содержит лишь конечное число слагаемых, отличных от тождественного нуля, поскольку компакт вирр ~о может пересекаться в силу свойства 2) лишь с конечным числом носителей вирр ~р .. Если у ~, = О при любом у, то мы имеем откуда у = О ввиду произвольности у. Это доказывает свойство а). 4.4. НОситель ОБОЕЩеинои ФУнкЦии 73 Свойство б) можно доказать, строя 7' Е З'(Й) по обобщенным функциям Д Е З'(Й;) с помощью формулы (У ж) = ~',(Л 'ди). Если при атом у Е З(Й»), где й — фяксированный индекс, то (1 д) =,"~ (Ь д;в) =~:(Ь, Р,д) =(Ь,~.д1д) =(Ь д), уел уе7 уы 6'(Й) С З'(Й), 3'(К") С З'(К").
(4.33) (4.34) Они строятся исходя из вложений З(Й) С 6(Й), З(К") С 8(К"), (4.35) (4.36) которые позволяют определить с помощью ограничения функционалов на меньшее пространство отображения Я'(Й) -+ З'(Й), 3'(К") -+ З'(К"). (4.37) (4.38) поскольку вирр(~ур) С вирр ~рв Й вирру С Йу й Й». Мы проверили, тем самым, что ~~„= ~», что доказывает свойство б). Свойство а) позволяет корректно ввести для ~ Е З'(Й) наибольшее открытое подмножество Й' С Й, для которого ~~, = О (Й' равно объединению всех таких открытых множеств Й» С Ъ, для которых = О. Тогда замкнутое подмножество Р = Й '1 Й' называется носп- 1 шолак обобщенной функции 7" и обозначается вирр /.
Таким образом, вирру — зто наименьшее из всех замкнутых подмножеств г' С Й, для которых 7'~О . — — О. Пример 4.7. вирр б(х) = (О). Вообще для обобщенной функции нз примера 4.4 носитель лежит на Г, Если вирр 7" С Р, то говорят, что 7' сосредошочено на Г. Таким образом, обобщенная функция вида (4.16) сосредоточена на Г. Определим теперь носитель для обобщенных функций из Я'(Й) и $'(К"). Это легко сделать, если заметить, что имеются канонические вложения в4. Оновщенные ФУикцни 74 Непрерывность получающихся при этом функционалов на З(й) и З(К") вытекает из непрерывности отображений вложения З(К) С 8(й) (К вЂ” компакт в й), З(К) С 8(Н") (К вЂ” компакт в Н").
Наконец, построенные отображения (4.37), (4.38) являются вложениями ввиду того, что З(й) плотно в 8(й), а З(Н") плотно в 5(2"), так что любой линеиный непрерывный функционал на Цй) (соотв. 8(Н.")) однозначно определяется своими значениями на плотном подмножестве З(й) (соотв. З(Н")). В дальнейшем мы будем отождествлять обобщенные функции яз 8т(й) и 3'(Ж") с их образами в З'(й) и З'(Н") соответственно. Имеет место простое Предатжение 4.$. Пустль у 6 З'(й).
Тогда условие т" й 8'(й) равносильно тлому, члто вирр 7 .ввллетлсл компактном в Й иви, иными словами, ,т' сосредотлочена на некотлором компактле в й. Доказательство. Пусть у б с'(й). Тогда функционал 7 непрерывен по некоторой полунормеив 8(й),т.е. ~(У, у)~ < С ~~ впр(д у(к)), 1<т век (4.39) где компакт К С й и числа С, т не зависят от ю. Но отсюда следует, что (у, ~р) зависит лишь от значений у в сколь угодно малой окрестности К и, в частности, у ~ . = О, т.е. вирр у С К.
Обратно, пусть | б З'(й) и вирру С Км где Кт — компакт в й. Ясно, что если компакт К С Й содержит окрестность компакта Кы то у определяется своим ограничением на З(К), причем оценка (4.39) верна при ут ч З(К) и, следовательно, вообще при <р ч З(й) (поскольку (У, Ут) не зависит от Ут~„~к). ПоэтомУ фУнкционал 7 иепРеРывно пРодолжается до функционала у б с~(й).
Отметим, что по существу зто продолжение сводится к тому, что функцию ~р б 8(й) надо разложить в суму у = ул + утг, где утт б З(й), а уз = О в окрестности вирру, и затем положить (у, ьт) = (у, ут). Предложение 4.5 доказано. ° Следующая важная теорема описывает обобщенные функции с носителем в точке. 4.4. Носитвль ововщвняой ауякции 75 Теорема 4.6. Пусть У е Е'(Ж'), вирр У = (0). Тогда У кнеещ внд (У, у) = ~~~ са(д у)(0), (4АО) (а)<( где число 1 н носшоянные с не эввнслш от у. Доказательство.
Поставим в соответствие каждой функции у е е Е(йа) ее 1-струю в точке О, т.е. набор производных ф~о) = ((д"~о)(0))> >цг яир ]д" [Х,(х)у(х)]~ -+ 0 при е-++О. аеи" (4.41) Отсюда будет следовать, что (У, Ф = (Ь, х,ж) = Нш (У, Х,И = О в силу оценки (4.39). Осталось доказать (4.41). По формуле Лейбница д [Х,(х)ср(х)] = ~ с [да Х,(х)] [д ~р(х)] = а'+аа=а — ~. *->1!в о(-)] я а*я. а'+а"=а Но из формулы Тейлора вытекает, что д у(х) = 00х(~+~ ~ ~) при х~ О, Выберем ! так, что верна оценка (4.39), в которой К вЂ” компакт, являющийся окрестностью нуля. Проверим, что (7, у) зависит на самом деле лишь от фу). Тогда утверждение теоремы станет очевидным, поскольку дело сведется к описанию линейюлх функционалов на конечномерном векторном пространстве 1-струй в точке О, а такие функционглы задаются так, как написано в правой части (4.40). Итак, остается проверить, что из условия Я(у) = 0 вытекает, что (У, у) = О.
Пусть Х Е З(Ка), Х(х) = 1 при !х) ( -> Х(х) = 0 при )х! ~ )1. Поло- 1 жим Х (х) = Х( — ), е > О. Ясно, что из условия вирр У = (О) вытекает, что(Ь У) — (У, ХеУ) пРилюбоме > О. Мы вывеДем изУсловиЯУо~(У) = 0 тот факт, что при !а] < 1 В4. ОБОБЩенные ФУнкции 76 Заметим, что )х~ < в на впррХН. Поэтому при в -+ +О /х1 впр в ~~ ~!(д» у)(-1~~а" гр(х)~ = 0(в ~» ~+~~~ ~» ~) = 0(в~~~ ~~~) -+ О. Отсюда н следует (4.41). Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
