Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Итак, получаем канонический внд параболического оператора .4=РЫ, Ч) — з+"- дз Для параболического уравнения (1.22) каноническвй вид будет (1.25) — +...=О. д дв Заметим, что если Ьз — ас = О, причем аз + Ьз + сз ф О, то а и с не могут одновременно обратиться в О, поскольку тогда будет и Ь = О. Поэтому всегда либо а 14 О либо с ф О и описанная процедура всегда применима. Рассмотрим, наконец, случай Ьз — ас ( О, т.е.
оператор (1.18) является э ывптвческим; уравнение (1.22) в этом случае тоже называется эллиптическим. Предположим для простоты, что функции а, Ь, с являются вещественно-аналитическими. Тогда из теоремы существования голоморфных решений комплексного уравнения Ь+4Ь2:ж у можно вывести существование локального первого интеграла ~р(х, у) + ЬФ(х, у) = С, А = р(6, О) ( —, + — ) +. ", д дз д(~ дяз (1.27) где ~р, ч) — вещественвозначные аналитические функции, кгад у, кгад ф линейно независимы. Можно проверить, что посяе введения новых коор- динат с = фх, у), д = ф(х, у) оператор А приводится к каноническому виду 22 э1.
Линейные ДиФФеРенпиАльные ОпеРАтОРы где р(С, и) ф О. Уравнение (1.22) в этом случае делением на р можно привести к виду дэи дэи — + — +... = О. дс~ дс~ (1,28) 1.1. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при в = 2 Как следует из изложенного в предыдущем пункте, гиперболическое уравнение а — +2д +с —. =О, дяи дэи д~и (1.29) д д др др где а, д, с Е )Й, дэ — ас ) О, приводится заменой перемышых с = р — Л1х, и = р — Лзх, где Лы Ля — корни квадратного уравнения аЛ -2дЛ+с = О, к виду — = О. дс дп (1.30) Предполагая, что и Е Сз(й), где й — выпуклая область в Кэ, мы получаем, что откуда — = Г(П) и далее ди до и= У(С)+д(П) (1.31) где у, д — произвольные функции класса Сэ.
В переменных х, р имеем тогда и(х, р) = у(р — Л1х) + д(р — Лэх). (1.32) Полезно рассматривать функции и(х, р) вида (1.32), где у', д не обязательно класса С', а из более широкого класса функций (например, у, д Е Ь,'~,(В), т.е. у, д локально интегрируемы). Такие функции и называются обобщеииььии решеииаии уравнения (1.29). Пусть, например, у(с) имеет разрыв 1-го рода в точке сс.
Тогда и(х, р) будет иметь разрыв вдоль прямой р — Лях = со. Отметим, что линии р — Л~х = сопяс, р — Лэх = сопз1 являются характеристиками. Таким образом, разрывы решений в этом случае распространяются вдоль характеристик. Так обстоит дело и для общих гиперболических уравнений. ЗАДАЧИ 23 Пример. Волновое уравнение — = а — имеет характериствки дги г дги дг х — ав = сопев, х + ав = сопла Общее решение етого уравнения записывается в виде (1.33) и(Ф, х) = Дх — а$) + д(х + ав).
Заметим, что У(х — ах) — волна, бегущая вправо со скоростью а, д(х + а1) — волне, бегущая влево со скоростью а. Общее решение есть сумма или, как говорят, суперпозиция (наложение) двух таких волн. Задачи 1-1. Привести к каноническому виду уравнения: а) ихх+2ихв — 2ихх+2и„х+бихх =О; б)и,х — и +и +их — их=О. 1-2. Привести к каноническому виду уравнения: а) хги, + 2хУи х — ЗУг脄— 2хи + 4Уи„+ 16ххи = О; б) уги„+ 2хуи,„+ 2хги„„+ уи„= О; в) их — 2их„+и„„+их+ив — — О. 1-3. Найти общее решение уравнений: а) х и„— у и„в — 2уив — — О; г г б) х ихх — 2хуи~х+у и„„+хих+уих =О.
г г $2. ОдномеРное ВОЛИОВое уРАВнение 22. Одномерное волновое уравнение 2.1. Уравнение келебвний струны Мы приведем здесь вывод уравнения малых колебаний струны. Отметим сразу, что этот вьпюд не является математическим, а относится к физике или механике, однако понимание его существенно для осознания физического смысла„во-первых, самого волнового уравнения, во-вторых, что не менее существенно, начальных и граничных условий. Знание вывода и физического смысла помогает также нахождению различных математических приемов исследования уравнения (интеграл энергии, стоячие волны и т.
д.). Такам образом, выводы уравнений, отвечающвх различным фвзическим и механическим задачам, важны для понимания математической физики и по существу являются ее частью. Итак, займемся выводом уравнения малых колебаний струны. Речь идет о поперечных колебанюи натянутой струны. При этом мы считаем, что всеми силами, возникающими в струне, можно пренебречь по сравнению с натяжением, направленным вдоль струны (в частности, будем считать струну абсолютно у гибкои, т.е. Не сопротивлякнцеися изгибу). Прежде всего, выберем пере! менные, описывающие поведение ~ и(ь, х) струны. Пусть в положении равновесия натянутая струна распоРис. 1 ложена вдоль оси х.
Вначале мы будем рассматривать внутренние точки струны, не обращая внимания на концы. Будем считать колебания происходящими в плоскости (х, у), причем каждая точка струны смещается лишь параллельно оси р и зто смещение в момент времени $ обозначается и(Ф, х) (см. рис. 1). Таким образом, если фиксировать |, то график и($, х) как функции от х представляет собой форму струны в момент времени 8, а при фиксированном х функция и(ь, х) описывает движение одной точки струны. Вычислим длину участка струны, соответствующего интервалу (а, 6) на оси х.
Эта длина равна (2.1) Наше основное предположение состоит в том, что удлинением струны 2.1. Углвнвннв колввлннй стгхны 25 Ь Рис. 3 ~т.Я,,-т,.Я =/т .~„) а (2.2) если считать, что нет внешних сил. При наличии же внешних сил с плотностью д(1, х) (на едннипу массы струны), к (2.2) надо добавить еще ь р(х)д(с,х)0х. / а (2.3) Вертикальная составлщощая импульса участка струны равна р(х)иф(С, х) ~Ух. / а (2.4) Теперь воспользуемся известным следствием динамического уравнения Ньютона, состоящим в том, что скорость изменения импульса можно пренебречь. Более точно, будем считать, что и~~ << 1 и пренебрегать в~ по сравнению с 1. Заметим, что если а = а(1, х)— угол между касательной к струне и осью х, то ска = и, сова = 1 , сйпа = . При наших предположениях нужно очи- + в33 1 + вд тать, что сова щ 1 и е1па щ и,. Если Т = Т(х) — натяжение струны, то его горизонтальная составляющзл равна Тсоза ж Т, а вертикальная — Теша щ Ти,.
Напишем уравнения движения указанного участка стр ны (см. у 1 $ рис. 2). Поскольку движение про- 1 1 исходит в вертикальном направле. а нии (по оси д), то горизонтальные силы, действующие на этот участок, должны быть в сумме равны нулю. Это означает, что Т(а) = Т(Ь), что ввиду произвольности а и Ь дает: Т(х) = Т = сопвс. Пусть теперь р(х) — линеиная плотность струны в точке х (отношение массы бесконечно малого участка струны в точке х к длине этого участка). Вертикальная сила, действующая на участок струны, равна с2. ОДНОМЕРНОЕ ВОЛНОВОВ УРАВНЕНИЕ пропорциональна сумме внешних сил. Тогда вз (2.2) — (2.4) получим ~р(х)исс(й, х) — Ти„— р(х)д(1, х)~ с)х = О, а что ввиду произвольности о и Ь асначает р(х)им — Ти„— р(х)д(1, х) = О.
(2.5) В частности, при р(х) = р = сошФ и цри д(с, х) = О мы поаучаем исс — о и,, =О, з (2.6) сс = 2) р(х)ис(С х) "х. 1 Г а (2.7) Для вычисления потенциальной энергии струны, имеющей форму графика функции и(х), х е (о, Ь), нужно вычислить работу, необходимую для перевода струны из положения равновесия в положение е(х). Пусть это перемещение задается скривойс е(х, а), а с [О, 1], причем и(х, О) = О, е(х, 1) = е(х).
На кусок струны, соответствующий интервалу (х, х + сьх) на оси х, действует сила ТВА(х+ слх, а) — Тес(х, а) = Теес(х, а)ссх. Перемещение же точки с координатой х, когда а меняется от а до а+ с.'са, равно а+па е(х, а+ с.'са) — и(х, а) = еа(х, а)Иа. где а =,/Т)р. К тому же уравнению (2.6) мы пришли бы, если бы воспользовались принципом Даламбера, приравняв нулю сумму всех внепних сил и сил инерции. Другим способом к (2.5) можно прийти через уравнения Лагранжа. Предположим, что внешние силы отсутствуют. Ясно, что кинетическая энергия участка (а, Ь) равна 2.1.
УРАВнение колееАний стРУны Позтому для перемещения от сь до а+ ььсь над куском струны (х, х+ ььх) надо совершить работу — Тихх1Х, СЬ)Е (Х, а)ХЬХ бЬа+О(СЬХ.Ьа). Интегрируя по х и по а, мы видим, что полная работа, совершаемая над куском (а, Ь), равна Ь Ь А = — Те„с„Ахи. Ох Интегрируя по частям, получаем Теххэабх Тсхси~ + Техюххбх Тсхпх~ + Т схдх и теперь, интегрируя по а от 0 до 1, получаем: А= — ) ххЬ, ) (х, 'х х + — ) х,(Сж (2з) А = — То,(х)ох. о Отсюда ясно, что потенциальная энергия струны с закрепленными кон- цами О, 1 в момент $ дается формулой 11 — — Тц,($, х)ИХ.
1 l е (2.9) Мы можем написать теперь лагранжиан струны .1 — К вЂ” У вЂ” — р1х) и, (ь', х) сЬ вЂ” — Ти, ($, х) Их, 1 Г Г (2.10) Предположим, что концы струны находятся в точках 0 и 1 и что они закреплены, т.е. Их перемещения равны 0 в процессе всего движения. Тогда можно считать, что с(0, о) = о(1, сх) = О, а б [О, 1] и вместо (2.8) при а = О, Ь = 1 можно написать 22.
ОдномеРное Волновое УРАВнение на)юм от и и ас (и(1, х) играет здесь роль набора с ссс и п иравняем к О вариацию действия по а. ронз действие 6см и при обычное ннтег тегрирование по частям и считая, что а~1, = и мы получим: сс с с,с 6 1с(с = р(х)ас(1, х)6ис($, х)с1хас — Ти (1, х)6и,(1, х)с)хай = '/"- "" . )ьо со о с,с = — /)Р) ) )с *)- ~*.)с *))сФ, *)аа, =-/ ьсо откуда ввиду а ввиду произвольности 6а следует, что (2.11) р(х)исс(1, х) — Ти (1, х) = О, вшли к уравнению (2.5) (с д(Ф, х) = О).
т.е. Мы снова првшли к ур что полная знергия стру- есь то важное обстоятельство, что полная Отметим здесь ны равна с Н = К+ У= -' р(х)и~(1, х)бх+,-'~Тии(1, х)сЬ. (2.12) 2 о о Имеет место вако ранения н сок энергви Н: с за еплгвамма коиЭаергал сохраияется при колебаааях сшруссм с заире нами. Проверим зто, испооьзуя уравнение ( . ). 2.11). Имеем: с — = с р(х)ис(8, х)иа(1, х)ссх+ Та~(с, х)ас,(8, х)Ых. Л вЂ” рхис хаи о о йн уя по частям во втором интеграле, мы получим йнтегрируя по с=с — ис(1, х)(р(х)исс(с, х) — Ти„(1, х)1ссх+Ти,(с, х)ас(с, х)~, „. бс о (2.13) 2.1. УРАвнение кОлеБАний стРУны 29 Последнее слагаемое в (2.13) обращается в 0 в силу граничных условий и и[ = и[~, = О, поскольку тогда и~[ = „— (и! ) = О и 4 аналогично и~ [, = О. Первое слагаемое обращается в 0 в силу уравне* 'йН ния (2.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
