Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Утешением автору служит лишь известное высказывание Козьмы Пруткова: еНельзя объять необъятноее. Приведенный в конце книги список литературы содержит некоторое количество учебников на русском языке, в которых читатель сможет почерпнуть информацию, дополняющую содержание настоящего курса. Разумеется, многие из этих книг пересекаются как с данным курсом, так и между собой, однако автору показалось трудным произвести еще более жесткий отбор, который читатель легко сделает по собственному вкусу. Добавим еще, что задачи, приведенные в этой книге, не только комментируют курс, но и дополняют его (иногда существенно). Однако для их решения не требуется никаких новых идей по сравнению с теми, которые изложены в тексте лекций.
Я благодарю научного руководителя экспериментального потока С. П. Новикова и преподавателей кафедры дифференциальных уравнений МГУ за палезные обсуждения программы и отдельных вопросов этого курса. Я глубоко благодарен сотрудникам издательства МЦНМО, в особенности И. В. Вялой, за добросовестную и качественную работу над текстом книги. Качество рисунков, подготовленных М. Н. Вялым, превзошло все мои ожидания. Перевод на русский язык эпиграфа из Р. Фроста, сделанный А.
Н. Вялым, вызвал у меня немой восторг и легкую зависть (как мне кажется, по качеству он заметно превосходит все известные мне профессиональные переводы). Я также весьма признателен Огнену Милатовичу за полезные замечания и помощь в проверке задач. М. А. Шубин з1. ЛИНЕИНЫЕ ЛИФ'1'ЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ $1. Линейные днфференцнииъные операторы 1.1. Определение и примеры ду= —:С (Й)-+С (Й); П =-1д., дх.
где 1 = 1(-1; д = (д1, ..., д„); Ю = (Ю1, ..., Ю„); д" = да' ...д„""; ра раь ра„ 1 ' п д!а! Таким образом д =,„, „— оператор смешанной производной, д: С (Й) С (11), ~ =1 ~ 1да. Если у' Е Са'(Й), то мы вместо дау будем также иногда писать у 1а). Упражнение 1.1. Пусть у Е А.'(х1, ..., хи], т.е. у — многочлен от п переменных х1, ..., х„. Доказать Формулу Тейлора (1.1) где суммирование ведется по всем мультинндексам а (на самом деле сумма конечна).
Яанебньн1 двффереипиальиьн1 оператор — зто оператор А: С (Й) -> С (Й) вида А = ~~1 аа(х)11"-, )а~(т (1.2) Введем обозначения, удобные при нспользованнн функций нескольких переменных и днфференпнальных операторов. Мраыввавдексам о НаЗЫВаЕтея НабОр а = (а1, ..., Ои), ГдЕ ау С ЕЕ, (т.Е. аа — НЕОтрнцательные целые числа). Если о — мультниндекс, то мы положим ]о] = = а1 +... + а„, а! = а1!... аи!, З ЕСЛИ Дав ЕЩЕ ВЕКТОР Х = (Х1,..., Х„) С Е Си, то ха = х1', ..., х„". Если Й вЂ” открытое подмножество в Еи, то через С' (Й) будем обозначать множество комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций в Й, а через Соа'(Й) — множество финнтных бесконечно дифференцируемых функций в Й, т.е.
таких 1р Е С'"'(Й), что существует компакт К С Й, вне которого функция 1д обрапиется в 0 (компзкт К зависит от функцни 1д). Положим 1.2. Полный и главный символы где ав(х) Е С (Й). Конечно, вместо Р~ можно написать д», но запись через Р удобнее, как будет видно из дальнейшего.
Здесь ти Е Е+ и мы будем говорить, что А — оператор порядка < ги. Будем говорить, что А — оператор порядка т, если он записывается в виде (1.2) и существует такой мультииндекс а, что (о( = ги и а„(х) ф О. Примеры. д д~ 1. Оператор Лапласа Л = —, +... + — = -(Р21 +... + Рз ). дхзв дх~ д 2. Оператор теплопроводности — — Ь (здесь число переменных равдс но и + 1 и они обозначаются 8, х1, ..., х„). д 3.
Волновой оператор или даламбертиан П = — — Ь. 4. Оператор Штурма — Лиувилля, определяемый формулой Ри = — „(р(х) — „) + д(х) и, 1.2. Полный и главный символы Симво юм или полным символом оператора А порядка ти называется функция а(х, с) = ~~~ а„(х)с, х Е Й, с 6 а", ~а(сг» (13) а ававным символом — функция а„,(х, с) = ~~~ а,„(х)св, х Е Й, с Е К». (1.4) (о)=щ Символ принадлежит С»'(Й)(с), т.е. является многочленом от ~м ..., с„с коэффициентами из кольна С (Й), а полный символ— однородным многочленом от 5, ..., с„степени т с коэффициентами из С (Й). где р, 4 6 С' ((а, о)), п = 1, Й = (а, в). Операторы примеров 1) — 3) — это операторы с постоянными коэффициентами, оператор Штурма — Лиувилля имеет переменные коэффициенты.
$1. Линейные лиф ьеРЕНПНАЛЬНЫН ОПеРАТОРы 12 Примеры. 1. Оператор Лапласа имеет совпадающие полный и главный символы ~2 ~2 + + ~2 д 2. Оператор теплопроводности — — Ь имеет полныи символ де а(1, х, т, С) = (т + С2, а его главный символ равен а2($, х, т, С) = 3. Волновой оператор имеет совпадающие полный и главный симво- а($, х, т, () = а2($, х, т, с) = -тз + с2. 4.Оператор Штурма-Лиувнлля имеет полный символ а(х, с) = — р(х)(2 + вр'(х)с + д(х), а главный символ а2(х, с) = — р(х)с2.
Символ оператора А восстанавливается по оператору формулой а(х, С) = е 'ачА(е'а Е), ( б) 11асэач — Савы ( легко проверяемого индукцией по (а(. Из (1.5) следует также, что однозначно определены коэффициенты аа(х) оператора А (коэффициенты многочлена а(х, С) при каждом фиксированном х однозначно определены этим многочленом как функцией от О. Полезно применить оператор А к более общей экспоненте, чем еас— к экспоненте е2лв(х), где у а Ст(й), Л вЂ” параметр. Имеет место Лемма 1.1. Если у' а С"(й), то е 2л"(а)А(у(х)е2лв(*)) является многочленом от Л степени < т с коэффициентами аэ С а(й), пра- е 'л™А(У(х)е'лв(*1) =Л У(х)а (х,(О,)+Л '(...)+..., (1.6) т.е.
старшие коэффициент этого многочлена (пра Л~) равен У(х)а~в(х~ ~ра)~ где ~Ь ~д, °, д ~ = йтв21<р — вектор гради/ д22 д22 '1 ' дхнl енто ~р. Доказательство. Имеем я '(у(х)е2ЛР(х)1 Л(д,у)(х)е2ЛР(а) + (11 у)евлв(а) в которой оператор А применяется по х. Здесь использовано обозначение х ° с = х2с2 +... + х„с„. Формула (1.5) получается иэ соотношения 1.3.
Злмвнл пвевмвнной откуда утверждение леммы получается для операторов порядка < 1. В дальнейшем при нахождении произвольных Ю еы"<*>, также придется дифференцировать произведении вида 7"(х)еы"'<*>, где 7 й С (Й). При этом новый множитель Л появляется лишь при дифференцировании экспоненты.
Поэтому ясно, что ра Ыт(ь) ЛРД а ьЛи(ь) ~ Л!а/-1( ) + откуда и следует утверждение леммы. Следствие 1.3. Пусть А,  — два линейныт дифференциальных оператора в й, Ь, 1 — их порядки, а аь, Ь~ — главные символы. Далее, пусть С = А ь  — композиция этих операторов, сь.~д — ее главный символ. Тогда с~<,~(х, с) = аь(х, с) Ь|(х, с). (1.7) Замечание. Очевидно, что С вЂ” дифференциальный оператор порядка ( Ь + Е Доказательство сведствия 1.2. Имеем: С(е'л"'('~) =А(Л'Ь!(х, ьэ )е'лт<*>+Л' '( )+ ) = = Ль+юаь(х,р )Ь,(х,р )е'лт(*>+ Ли+с-'( ) + Отсюда по лемме 1.1 он~.м(х, ~о ) = аь(х, ~р,) Ьс(х, ~р ) (1.8) для любой функции ~р й С (Й).
Но тогда выбирая ~р(х) = х ° (, мы получим ~р = с и (1.8) переходит в се+с(х, с) = аь(х, с) Ьс(х, с), что и требовалось. 1.3. Замена переменной Пусть дан диффеоморфизм мс й -> йм где й, Й1 — области в К". Такой диффеоморфизм можно задавать набором функций у1(хм ... "> хв)~ ", ув(хы ..., хь) уу й С~(й), равных в точке х координе там точки м(х). Если 7" Е С"'(Й1), то мы положим и'7' = 7' о и, т.е. (м" 7')(х) = = У(м(х)) или (эг'У)(х) = У(ул(х),..., у„(х)). По существу Х/ получа- етсЯ из 7 заменой пеРеменных или пеРехоДом к кооРДинатам хм ..., х„ 14 Е1. Линейные ДнФФеРенцнАльные ОпеРАтОРы от координат уы ..., у„.
Напомним, что диффеоморфизм х имеет обратное отображение х ', также являющееся диффеоморфвзмом. Ясно, что х' является линейным изоморфизмом х": С"«(Й1) -+ С (й), причем (х*) ' = (х 1)". Пусть дан оператор А: С (й) -+ С (й). Определим оператор А1. Со«(й|) -+ С (й1) с помощью коммутатнвной диаграммы С" (й) ~ С (й) ~«,* ~'.М. С (й,) — '-+ С (й,) т. е. А1 — — (х') 1Ах' = (х ')*Ах'. Иными словами, Агн(у) = (А1о(у(х)Ц~ (1.9) где у(х) = х(х), х(у) = х '(у).
Таким образом, оператор А1 по существу является просто записью оператора А в координатах у. Если А — линейный дифференциальный оператор, то из (1.9) и формулы дифференцирования сложной функции легко проверяется, что А1 также является линейным дифференциальным оператором. Выясним, как связаны главные символы операторов А и Аы Напомним, что кокоса«пельнььн век«порох или ковек«вором в точке х Е Й называется линейный функционал на касательном пространстве к й в точке х (касательное пространство к й в точке х мы обозначим через Т,й, а кокасательное пространство — множество всех кокасательных векторов вточкех — через Т,"Й).
Через Т"й обозначим объединение Ц,Т'й ~ й х И" (так называемое кокосотиельное расслоение). Выбирая в каждом касательном прод д странстве Т,й базис векторов —,...,, построим в Т;й двойдх « ' ' ' ' ' дхх ' ственный базис: он состоит из таких функционалов «аахм ..., дх„, что «(х;~ — ! = б««, где д᫠— символ Кронекера (60« = 0 при 1' ф у и г д ° ( дх! «1«0 д; = 1 при 1 = у).
Примером касательного вектора является вектор скорости кривой х($): х(0) б Т «о)й. Его координаты в базисе д д дх~ «Ь„ дх1' '''' дхл —, ..., — равны — ~, ..., — "~ . Примером кокасательного ~=о« '''' л1 ~=о' вектора является дифференциал или градиент функции у с С (Й): зто функционал на Т,й, значение которого на касательном векторе 1.3.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ х(0) равно 4 о; координаты его в базисе яхт, ..., бх„равны т(т (х(т) ) ду ду дх,' " ' д*. Если дан диффеоморфизм х: Й -+ йы то имеется естесптенное отображение (дифференциал отображения х): х.: Т.й -+ Т„ббй, и двойственное отображение на линейных функционалах тх,: Т'ббйт -+ Т;Й. Выбирая в Т,й, Т <,) йт, Т'<,) йт, Т;й базисы, соответственно, (Д 1 1д) — —, (оут)., (ох )., Мы получим, что х, имедх111=1' 1дут)1=1' ' У=ы ' т=ы ет матрицу, называемую матрицей Якоби: (х,)ы = —, а х, имедул дхт ' ет матрицу, транспонированную к матрице х,.
Заметим, что отображения х„и 'х„являются изоморфизмами в каждой точке х б Й. Далее, кокасательный вектор в точке х удобно задавать, указав пару (х, с), где с б ж", с = (сы ..., с„) — набор координат данного вектора в базисе (яхт)", При изоморфизме ('х„) т: Т*й -+ Т'йт ковектору (х, С) соответствует ковектор (у, т1), где у = х(х), тт = = (тх„) т4. Теорема 1.3. Гяавныб символ а,„океротворо А кринимаетв но аектворе (х, ~) тво хсе значение, чтво гяооныт1 символ а' окероптора Ат но соотооетсщвующем еектооре (у, и), ти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
