Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Носитель сингулярности У обозначается вт8 вирр У. Предложение 5.6. Пусть У б Я'(Ж"), д б З'(К"). Тогда в!пдвирр(У ьд) С вшявиррУ+ вшявиррд. (5.34) Доказательство. Используя срезающие функции, мы можем для любого е > О разбить обобщенную функцию Ь Е 27(К") в сумму й = й, + +Ь,', где вирр й, содержится в е-окрестности вшд вирр й, а Ь,' Е С ()ан). Сделаем такое разбиение для У и для д: У=У.+У!, д= д +д,.
Тогда У * у = У. * д. + У. * д.'+ У.' д. + У.' * д,'. В этой сумме последние трн слагаемых принадлежат С (йо) в силу предяоження 5.2. Поэтому в1пд вирр(У * д) С в1пдвирр(У ь дл) С вирр(У, * д,) С виррУ, + вирр д,. Но последнее множество содержится в 2с-окрестности множества в1пдвиррУ + вшдвиррд. Ввиду произвольности в отсюда следует включение (5.34), что и требовалось. 5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментавьного решении и решений однородного уравнения Сначала докажем простую, но важную лемму. Лемма 5.1.
Пусть р(Р) — лннедныд дифференциальный операп1ор с постоянными коэффициентами, Я(х) — его фундаментальное решение, и е Я'(И") н р(Р) и = У. Тогда н = Я е У. 55. СВВРткА я пРеоВРАЗОВАные ФуРье 1ОВ Доказательство. Имеем: Я ь у = Я ь р(Р)и = р(Р)8 ь и = б* и = и, что и требовалось. Теорема 5.8. Пусть фундаментальное решение Я(х) оператора р(З) бесконечно дифференчируемо сне точка О.
Тогда, если обобщенное функция и 6 ТР(й) лелеетсл решением ураенения р(Р)и = у, где у 6С '(й), тои5С '(Й). Доккттельство. Отметим, что утверждение теоремы является локальным, т. е. его достаточно доказывать в окрестности произвольной точки хо 6 Й. Пусть т 6 З(й), ~С(х) = 1 в окрестности точки хо. Рассмотрим обобщенную функцию Уи и примшшм к ней оператор р(Р). Обозначая р(З)(ти) = ум мы видим, что у1 = у в окрестности точки хо и, в частности, хо ф ешвепрру1. По лемме 5.Т имеем: ~си= Я ел. ' (5.35) Теперь воспользуемся предложением5.6.
Поскольку е(п5епррЯ = = (О), то мы получаем в1п5епРР(Хи) С е(пвгпРРУг Поэтому хо р аш5 вирр ти и, значит, хо ф г1пв вирр и, т.е. и бесконечно дифференцируема в окрестности хо, что и требовалось. ° Аналогичный факт можно доказать и об аналитичности решений.
Рассмотрим вначале случай однородного уравнения р(Р) и = О. Теорема 5.9. Пусть фундаментальное решение Я(х) оператора р(Э) еещестоенно-аналитична ене точки О. Тогда есл» и 6 З'(й) н р(Э)и = О, то и ле метиса оещестеенно-аналитической функниеб е Й. Доказательство. Мы уже знаем, что и б Сьь(й). Снова воспользуемся тем же рассуждением, что и в доказательстве теоремы 5.8 и рассмотрим формулу (5.35), в которой теперь у1 6 'Р(й), Ях) = О в окрестности точки хо. Тогда при х близких к хо, имеем (5.36) и(х) = с(х — у) Л (у) ду.
~У ьО!Р6)0 5.5. Гладкость гвшвний одноголного углвввння 109 Отметим теперь, что аналитичность с(х) при х ф О равносильна воэможности продолжить с(х) до голоморфной функции в некоторой комплексной окрестности множества й" ~ О в С" (т.е. в такой области С с С", что С й й" = 51" ~ О. Голоморфность функции у(з), х Е С, где С вЂ” область в С', означает выполнение одного из двух равносильных а) у(з) в окрестности каждой точки хе е С разлагается в сумму степенного ряда по з — хе, т.е. ~Р(з) = ~~',с ( — е) а где х близко к хе> се Е ь'.
и а — мультииндекс; б) у(х) непрерывна в С и дифференцируема по каждой переменной ху (т.е. голоморфна по каждому х ). Доказательство можно найти на первых страницах любого курса по функтдям нескольких комплексных переменных (см., например, [12, гл. 1, теор. А2)). Заметим, что в интеграле (5.36) переменная у меняется на компакте К С К". Если фиксировать уо е1 хо. то при )з — хо~ < б, ~ш — уо~ < 5, где з, в е С", 5 достаточно мало, можно определить 6(з — в), причем это будет голоморфная функция по з и по ш. Ясно, что тогда интеграл 6( -у)Л(у)Ф ~э-эо~ь4 определен при ~з-хе~ < 5 и голоморфен по з, поскольку мы можем дифференцировать по х под знаком интеграла. Но интеграл в (5.36) можно представить в виде суммы интегралов описанной структуры.
Поэтому можно определить п(х) при х близком к хе и к(х) будет голоморфна по з. В частности, к(х) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки хе, т.е. п(х) вещественно-аналитична. Случай неоднородного уравнения сводится к предыдущему применением теоремы Коши-Ковалевской, которую мы сейчас сформулируем в удобной для нас форме.
Теорема 5.10 (теорема Кеши- Ковалевской). Рассиотприм ураекекие па(х))уаи(х) = у(х) (5.37) )а(фв а с~а $5. СВВРткА и ВРВОВРАЗОВАние ФУРье где а (х), 7'(х) вещес1пвенно-аналитические фушсиии в окрестности п1очки 0 ч К". Рассмотрим длл этого урввненил задачу Коши, т.е. задачу с ночальнь1ми условиями и~ = ус(х'), (5.38) где х' Е К" ", 1р (х') — вещественно-аналитические функиии в окрестности точки 0 Е К" '.
Задача (5.37) — (5.38) имеет единстпвенное решение, вещественно-аналитическое в достаточно малом шюре ~х~ < < е пространство К". Мы не будем доказывать зту теорему. Укажем лишь, что один из способов ее доказательства состоит в том, что решение и(х) ищется в виде степенного ряда, коэффициенты которого однозначно определяются условиями (5.37), (5.38), а затем проводится оценка коэффициентов, доказывающая сходимость этого ряда.
Отметим, что если Р = р(х, Р) — линейный дифференциальный оператор порядка < т с аналитическими коэффициентами в окрестности точки О, причем главный символ р (х, ~) таков, что р,„(0, с) ф 0 (т. е. один из старших коэффициентов отличен от 0 в точке 0), то поворотом координатных осей уравнение Ри = 7 можно свести к виду (5.37). А именно, оси координат надо выбрать так, чтобы плоскость х„= 0 была нехарактеристической в точке О.
Поэтому уравнение Ри = 7 для аналитической в окрестности 0 функции 7 всегда имеет решение и(х), аналитическое в окрестности точки О. В частности, зто всегда верно для операторов с постоянными коэффициентами. Теперь ясно, что из теоремы 5.9 вытекает Теорема 5.11. Пусть фундаментальное решение 8(х) оперю1пора р(Р) вещественно-аналитична ири х ~ О. Тогда если и е Э'(й), р(Р) и = 1 и 7 вещественно-аналитична в Й, гпо функиил и вещественно-аполитично е й. Следствие 5.13. Если и Е 'Э'(Й), Ь'"и = 7, где 7 вещестпвенноаналитично в Й, то и вещественно-аналитична в Й.
Замечание 5.13. Можно доказать, что всякий оператор р(Р) имеет фундаментальное решение. Из теоремы 5.8 ясно, что следующие условия на оператор р(Р) эквивалентны: ю) оператпор р(Р) имее1п п1акое фундаментальное решение Я(х), то Я(х) б С' (К" ~ 0); б) если и е'Э'(й) и р(Р)и =О, то и 6 С (Й). 5.6. Решения с иэолировяиными ОсОБеннОстями 111 Операторы р(Р), обладающие таким свойством, называются гипоэллиптическими. Можно доказать, что необходимое и достаточное условие гипоэллиптичности имеет вид — /р(С) -+ 0 при ]С] -+ со,,у = 1, ..., п. (5.39) др(5) Далее, в силу теоремы 5.9 равносильны также условия: о) оператор р(Р) имеет такое фундаментальное решение Я(х), что с(х) еешестеенно-аналитична при х ф 0; г) если и Е З'(й) и р(Р)и = О, то и оешестоенно-опали|лично е й.
Можно доказать, что выполнение условий о) и г) равносильно эллиптичности оператора р(Р) (в смысле 5 1.). Доказательства сформулированных в этом замечании утверждений можно найти у Шилова [57] нли Хермандера (55-2]. 5.6. Решения с изолированными особенностлми. Теорема об устранимой особшшоети дли гармонических функцвй Рассмотрим гипоэллиптический оператор р(Р), т.е. оператор р(Р), имеющий фундаментальное решение 5(х), которое при х ~ 0 является обычной бесконечно дифференцируемой функцией. Само фундаментальное решение 5(х) при х ф 0 удовлетворяет уравнению р(.Р)и = О, а при х = 0 имеет какую-то особенность.
Этим же свойством обладают производные д 5(х). Оказывается, что если особенность не вьппе степенной, то ничего другого по существу не бывает. ]и(х)] < С]х] (5.40) Тогда и(х) мохсно е й1 О представить о ваде и(х) = ~~~ с д 5(х) + ио(х) ~о(<р (5.41) где с б С, б(х) — фундаменпьальное решение длл р(Р), ио(х) б С (й), причем р(Р) ио = О. Теорема 5.14. Пустьи(х) б С (й~О), где й — область ой",0 б й, и пусть и(х) е й ~ 0 лоллется решением уроененил р(Р)и = О, где р(Р) — гипоэялиптическиб операпюр. Пусп1ь, кроме того, при некоторых С и Ю о окрестности нуля емполнена оценка $5. Свврткл и првоврлзовлнив Фурье 112 Для доказательства нужна следующая Лемма 5.15. Если функция и(х) й С(й 10) удовлетворяет условию (5.40) в окрестносн(и точки О, то существует такая обобщенная функция й Е Р'(й), (то й~ц1 — — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
