Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Доказательство. Хотелось бы придать такой смысл интегралу д'и(х)((р(х)дх, (р(х) й 'Э(й), чтобы на функциях (р Е Т1(й '1 0) он принимал естественное значение (для таких (р зто обычный интегрэл от финитной непрерывной функции). Для этого вычтем из функции (р ее тейлоровский многочлен в точке 0 и заметим, что при ф — 1 0 о1(х) — ~~( ~р ( х = О ()х)л() . О) (а/<Л( — 1 Пусть Х ч З(й), Х(х) = 1 в окрестности точки О. Положим (Л Е = 1 (*) ~Ю(*( — Х(*( р( ~(0) , и (а(<Л(-1 где интеграл уже определен, поскольку подынтегргльная функция огра- ничена.
Ясно, что если (р 0 Э(й'10), то (й, (о) = ( и(х) О1(х) Их, поскольку тогда (р( 1(0) = 0 при любом а. легко видеть также, что й е э'(й), что и доказывает лемму, Доказательство теоремы 5.14. Ясно, что р(лу)й будет обобщенной функцией с носителем в точке О, т. е. р(л1)й(х) = ~ ~сад б(х). ~а~<р Но тогда если положить ио(х) = й(х) — ~ с д Цх), ~а(р то мы имеем, очевидно, ио е Э'(й) и р(Ю)ио — О, откуда ио е С (й). Теорема доказана.
В частности, для оператора Лапласа при н ) 3 решение уравнения Ьи = 0 (гармоническая функиил), заданная в й 1 0 и удовлетворяющая условию (5.40) имеет вид суммы однородных функций порядков 5.7. Пгвовглзовлник Фхоьв ововщвнных а хнкций 113 2 — и, 2 — и — 1, ..., 2 — и — р и гармонической функции в й. При и = 2 такое решение является суммой со1п ф, однородных функций порядков — 1, — 2, — 3, ..., — р и гармонической функции в й.
В частности, отсюда вытекает следующая теорема об устранимой особенности для гармонических функций: Теорема 5.16 (теорема об устрвнимой особенности). Пусть фунниил и(х) гармонична в й 10 и в окрестности пючни О удовлетворяет условикс прин) )3: 1пп [ф" ~и(х)~ = О, ~х~-+о прин = 2: 1пп 11пф ° и(х)~ =О. 1л(-+о Тогда и(х) гармонична в й. 5.2. Преобразование Фурье обобииишых функций умеренного роста Обозначим через Е оператор преобргзования Фурье, переводящий функцию Дх) в (г'1)(С) = ДС) = У(х)е '*~дх. (5.42) Из курса англиза известно, что преобразование Фурье задает изомор- физм Р, 3(Ио) 3(Ио) причем это топологический иэоморфизм (непрерывный линейный оператор, имеющий непрерывный обратный), а обратный оператор задается формулой (г 'д)(х) = (2э) " д(с)е"'14~.
(5.43) Ясно, что если 1 Е 3(К"), то (5.44) Иными словами, ~Е = г'. Поэтому можно, пользуясь формулой (5.44) продолжить г' до непрерывного отображения г': 3'(Ин) -ь 3'(К"). Ясно, что преобразование Фурье г задает топологический изоморфизм $5. СВеРткА и пРБОБРАЗОВАние ФУРье 114 3'(Ж") на 3'(Ж"), причем обратный оператор г' ' также имеет вид )(г" 1), где г' 1 задано формулой (5.43), т.е.
(г' '1, 7)) = (1, г' ~)р), 1" 6 3'(Ж'), ))) 6 3(Ж"). (5.45) Таким образом, мы умеем, например, определять преобразование Фурье любой функции Де), для которой выполнена оценка ~У(х)! < С(1+ )е)) При этом преобразование Фурье будет, вообще говоря, не обычной, а обобщенной функцией из 3'(Ж" ). Отметим, что поскольку 3(Ж" ) плотно в 3'(Ж" ), то Г на 3'(ЖЯ ) представляет собой продолжение по непрерывности преобразования Фурье заданного на 3(Ж"). Это замечание позволяет переносить ряд фактов по непрерывности с 3(Ж") на 3'(Ж"), не проверяя их специально. Например, можно не проверять формулу (5.45), так как она верна при 1 6 3(Ж'), )Р 6 3(Ж") и обе ее части непрерывны по 1 на 3'(Ж"). Как и для 7' 6 3(Ж."), мы будем обозначать преобразование Фурье обобщенной функции 7' 6 3'(К" ) также через Д().
Найдем преобразование Фурье от производной Р'*1. Если у 6 3(Ж" ), то интегрированием по частям получаем: Таким образом, да~(() — Е~у(~) (5.46) Отсюда р(Р)У(0 = рЫ)У(0 (5.47) для любого многочлена р(5). Таким образом преобразование Фурье переводит оператор р(Р) в оператор умножения на символ р(5). Заметим теперь, что по непрерывности формула (5.47) верна и при У 6 3'(Ж"). Пример 5.7. Вычислим преобразование Фурье 5-функции. Имеем прн )р 6 3(Ж") )6))), ф))) = (Е)), /уЯ) "'тя) = /у)))Я = )1, ф))). 5.7.
Певовеязовянив Фкеьв ововщкнных ььнкций 115 Отсюда (5.48) 6(с) = 1. Вычислим также преобразование Фурье от единицы: благодаря формуле обращения (5.48). Таким образом, Е(1)(с) = (2э)" 6(с). (5.49) Пример 5.8. Вычислим преобразование Фурье функции Хевисайда В(х).
Удобнее всего представить В(х) в виде предела убывающих функций, для которых преобразование Фурье можно брать в обычном смысле. Это можно сделать, например, так: ясно, что в 3'(Ж") В(х) = 1пп В(х)е '*. Имеем: В(х)е '*е '*46х= е ~Ц~'>Вх= 1С+е ь — 1е 0 Переходя к пределу при е — > +О, мы получаем (5.50) Заметим, что — В(х) = 6(х) или 1П,(В(х)) = 6(х). Это согласуется с Ы Вх формулами (5.46) и (5.48) ввиду очевидного соотношения зс (- —.1 = 5 — 1О) = 1. Мы могли бы попытаться испольэовать это соображение для нахождения В(с). А именно, из того, что В'(х) = 6(х), вытекает, что зс ° В(с) = 1. Однако, обобщенная функция д(с) Е 3'(К1 ), удовлетворяющая усвовию сд(с) = 1, определена неоднозначно, хотя ясно, что она 1 должна быть равна — при С 14 О.
Легко видеть, что весь произвол сводится к добавлению С6(с), где С вЂ” произвольная постолннзя. Можно было бы определить ее, пользуясь определением преобразования Фурье обобщенной функции и применив его к какой-нибудь конкретной функции Щ) е 3(К ). Проще, однако, сразу воспользоваться изложенным вьппе способом. ~ $5. СВЕРТКА и ПРВОВРАЭОВАВВВ ФУРье Предложтте 5.17, Пусть ~ Е 5'(йн).
Тогда.Я) Е С~(йп) и 1(с) = (у, е ц'*) . (5.51) Существует такая постоянная )у > О, что ~д;Я)~ < С.(1+ В" (5.52) длл любого мультниндекеа о. Доказательство. Выберем число 1у' и компакт К С К" так, что ~(у, )д)~ < С ~ вир~д'*)д(х)~. )а)<М (5.53) Положим д(г) = (у, е ц'ь). Поскольку е ц * является бесконечно диф- ференцируемой функцией от 4 со значениями в с(й"), то ясно, что д(С) б Сев(К~ ), причем де'д(д) = (У, ( — Ы) е ч'ь), откуда следует, что для функции д(с) верна оценка (5.52). Остается проверить, что д(С) = у(4), т. е. что (л') ~~)))' ~ в) =/ж)ОЦ) ) "')в, ивов)и). Но это следует из того, что интеграл ( у)(С) е ц'*щ сходится в топологии С' (й",), т.е. равномерно по х е К (где К вЂ” компакт в й") сходится сам этот интеграл и интегралы, полученные из него взятием производных любого порядка.
1и)! <С( +Ю)" "'-б Оказывается, это условие на 7 является уже необходимым и достаточным для включения у б с)(й"). Этот факт явилетсл одним иэ вариантов теоремы Винера-Пэли и его доказательство можно, например, найти у Хермандера [55-2, с. 34). Замечание. Условие,~ е С'о(йв) с оценкой (5.52) необходимы, но не достаточны для того, чтобы обобщенная функция У' имела компактный носитель.
Ясно, например, что если у б 8'(К"), то у(4) можно по формуле (5.51) определить при с Е С' и мы получим целую (т.е. голоморфную всюду в С') функцию, удовлетворяюшую условию 5.8. НАХОЖДенне ФУНДАМентАльныХ Решений 117 Предяожение 5.18. Пдстпь у Е 3)(й")а д Е 3'(й"). Тогда У д(0=У(0д(0. (5.54) Доказательство. Заметим, что правая часть равенства (5.54) имеет смысл благодаря предложению5.17. Легко проверяется также, что У * д е 3'(й" ), так что и левая часть (5.54) имеет смысл. В самом деле, если ))о 6 8(й"), то (7(д) а ))О(х + д)) б 3(й,") ввиду оценки типа (5.53).
Поэтому для )д е 3(йо) ямеет смысл (У*д, ))О) = (д(х), (У(д), у(х+ р))) н прн этом получается, конечно, что У а д 6 3'(й"). Проверим теперь (5.54). Имеем при Оо е 8(йо)) )а аЯ),а)О)=(а а,)а)0 "'*а))= =(а)*).У)а) Уа)6 "' "ао)= = (д(х), / Щ)е ц'(У(р), с ~т)щу = = (а)*),) а)а)у))) -)а*а) = = (д(0, У(0 д(0) = (У(0д(0 д(0) что и требовалось. 5.8. Схема применения преобразования Фурье для нахождения фундаментальных репин)ий Пусть р(1а) — дифференциальный оператор с настоянными коэффициентами, Цх) — его фундаментальное решение, причем Цх) Е 3'(й").
Преобразование Фурье Щ) Е 3'(й") удовлетворяет уравнению Ж)3(0 = 1. (5.55) Отсюда во всяком случае ясно, что Ц0 = 1/р(0 на открытом множестве (с ) р(0 ~ О). Если р(0 ф О всюду на й", то нужно просто взять Я(0 = -(0 н вычислить обратное преобразование Фурье. В р более сложном случае, когда р(0 имеет нули, нужно регуляризовать -(0 в окрестности нулей так, чтобы получилась обобщенная функция Р Я(0, равная -(0 при р(0 ~ О и удовлетворюощая уравнению (5.55).
Р $5, СВеРткА и пРВОВРАЗОВАние ФУРъе 118 Например, при и = 1 и р(б) = с' мы могли взять Я(с) = ч.р. 1/(, или с(С) = —,, или вообще Я(С) = ч.р. — + Сб(С), где постоянная С проб х10' ' '4 извольна. Вообще нужно придать каким-то образом смысл интегралам вида ~р ч 3(К"), и" так чтобы получилась обобщенная функция с нужными свойствами. Часто зто можно сделать, например, с помощью выхода в комплексную 1 область (конструкция обобщенных функций — пример такого выхода).
Бывает, что — (с) локально суммируема. Тогда опять естестр 1 венно считать Я(с) = -(с). Например, для р(Э) = Ь, т.е. р(с) = с~ при р 1 н > 3 мы можем положить с(С) = —. (2' Поскольку, как легко проверить, преобразование Фурье и обрат ное преобразование Фурье сохраняет сферическую симметричность и переводят однородную обобщенную функцию порядка а в однородную обобщенную функцию порядка — о — и, то ясно, что г' 1 ~ Ц2У) = Сфг ".
Таким образом, здесь мы получаем уже вычисленное фунда- 1 ментальное решение Я„(х). При н = 2 функция — уже не интегриру- ~~)г ема в окрестности нуля. Здесь необходима регуляризацив. Например, можно положить ф в ю) (г,кеу~л цг где х(с) е Св (Н~), х(с) = 1 в окрестности точки О. При атом можно 1 проверить, что оказывается Яг(х) = — )п ~х) + С, где С зависит от бора Х(С). 5,9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
