Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Напомним, что компактность линейного оператора А: Е1 -+ Еэ где Еы Ез — банаховы пространства, означает, что образ единичного шара В1 = (х: х Е Еы 'бх!)л, < Ц Явлнетса пРедкомпактным подмножеством в Ег. Предкомпактность множества С7, лежащего в метрическом пространстве Е, по определению означает, что его замыкание компактно вли, что то же самое, что из любой последовательности точек множества (г можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке пространства Е. Если Š— полное метрическое пространство, то множество 9 С Е предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, т.е.
для любого г > О имеет конечную с-сеть (т.е. такое конечное множество точек х1, ..., хгг й Е, что для любой точки х б Я найдется такой индекс к, что р(х, хь) < в, где р — метрика в Е). Пусть К вЂ” компактное подмножество в И" (компактность К в этом случае равносильна замкнутости и ограниченности). Рассмотрим пространство С(К) непрерывных комплексноэначных функций на К. Пусть У С С(К). Известная теорема Арцела дает критерий предкомпактности 3'.
А именно, множество 9' предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Равномерная ограниченность означает существование такой постоянной М > О, что впр(~(х)~ < М для любой функции у 6 У. Равноьек степенная непрерывность означает, что для любого в > О существует такое б > О, что иэ условия )х' — х") < б, где х', х" 6 К вытекает, что ~Дх') — Д(хо) ~ < в для любой функции 1 6 У. Доказательства всех изложенных выше общих фактов о компактности и теоремы Арцела можно найти в любом учебнике функционального анализа — см., например, Колмогоров и Фомин 123, гл. П, 26 и 7!.
156 $7. ПРОСГРАНСГВА СОБОлеВА и 3АДАчА ДЕРихле Отметим очевидное следствие общих фактов о компактности: если дано множество 0 С Е, где Š— полное метрическое пространство, то дия предкомпактности 12 достаточно, чтобы для любого е > О существовало такое предкомпактное множество Я, С Е, что Ц лежит в и-окрестности множества ф... В самом деле, если взять конечную †се множества Я,~з, то она будет с-сетью для множества 13. Доквзатаиьство теоремы У.Т. Мы воспользуемся операцией усреднения из $ 4 (см.
доказательство леммы 4.4). Мы ввели там такое семейство функций у, О Оу(К"), что Впрру, С (я: ~х~ < с), ~р, > О и ) у,(х) Ох = 1. После этого по функции Х б Х 1~ (К" ) можно образовать семейство усреднений — функции В п. 4.2 сформулирован и доказан ряд важных свойств операции усреднения. Мы будем использовать эти свойства, Отметим теперь, что предкомпактность в Н' (й) множества У равносильна предкомпактности в Ьз(й) всех множеств Ул = (д~Х, Х б У), где а — мультииндекс, )а~ < и'. Далее, из условия Х Е Н'(Й) вытекает очевидным образом, что д~у О Н' ~О~(й), где ~а~ < в. Ввиду условия в > и' ясно, что все множества Уи принадлежат ограниченному подмножеству в Н'(Й). Поэтому достаточно проверить компактность вложения Н'(й) с С Ез(й).
Пусть У = (и: и Е Н1(й), ОЩ < 1). Нужно проверить, что 9' предкомпактно В Х з(й) (или, что то же самое, в Ьз(й" )). Идея проверки такова: мы рассмотрим множество Э~ = (Уа(Х), У О У) состоящее из е-усреднений всех функций из У. Затем мы докажем, что при малом с > О множество У лежит в сколь угодно маиой окрестности множества У, (по норме Ез(И")) и что множество У, при фиксированном и предкомпактно в С(П) (и, следовательно, предкомпактно в Ьз(й)). Из замечании, приведенного выше перед началом доказательства, будет вытекать предкомпактность У в Хз(й). 157 7.2.
ПРОСТРАнствл н Я) Отметим сразу же, что иэ определения обобщенаых проиэводнык легко находим при У б Й (й))' (а1 /д1Ы / д= д (х) — — ~р (х — у) Иу = — ~(в) 'Ре(х Р) у Я ау.(х — в) „~ аА(*) =/ '", Иными словами, взятие обобщенной производной перестановочно с операцией усреднения. Имеем, очевидно: 1/2 $/ ( )$ < с,//у(р)/щ ( с(~$уъ~$ ь), у е у (мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского). Таким образом, множество э при и У р фиксированном е > О равномерно ограничено дД оу' (на й"). Далее, по аналогичнои причине производнью — — ( — ) равномерно ограничены при у Е У и при фиксированном е > О.
Поэтому множество У, равностепенно непрерывно. По теореме Арцела множегде К вЂ” компакт, являющийся окрестностью множества Й в И"). ем более У, предкомнактно в Ь~(Й"), а множество У~ ~, = [У~ ~о~ У~ б У~) предкомпактно в Ьэ(й). Остается проверить, что для любого б > О найдется такое с > О, что У лежит в б-окрестности множества У,. Для этого оценим норму в п остранстве Ьэ(И") (норму в Ьэ(И") будем сейтать что Е З(й). час обозначать просто (! ° 'ц).
Вначале будем считать, что ~ Е Имеем: л*) - мс - ~[~*) - л - ю)1 ~ ь)ь = 1 'Й ду й — [у(х) — у(х — $у)1 р,(д) = о 1 = ~ ех ~ йп ~ уу — (х — йу) у, (у). д1 ,( дху а уэм 160 57. ПРОстРАнстВА СОБОлеВА н ЗАДАЧА ДИРихле задача Днрихле может ставиться как задача о минимизации интеграла Дирихле в классе функций с фиксированным граничным значением. Предложение 7.Ь. Пусть й — ограниченная облаве)ь в И".
Тогда ср)пестврет такая настоянная С ) О, что )( (*)) ы <с) 1, ( ы, ее'(ы о.!3) О 0 (зто неравенство называется неравенством Фридрихса). Доказательство. Обе части неравенства (7.13) непрерывны на пространстве Н1(й). Поскольку Н1 (й) является замыканием З(й) в Н1 (й), то ясно, что неравенство (7.13) достаточно доказать при и 6 77(й) (с постоянной С, не зависящей от и).
Пусть область й содержится в полосе (х: О < х„( Н) (мы всегда можем добиться этого, беря достаточно большое Н и передвигая Й в И" с помощью параллельного переноса, не влюпощего на выпрлнимость Оценки (7.13)). При и е З(й) имеем: и(х) = и(х', х„) = / — (х', 1) (д. ди о Отсюда по неравенству Коши — Буняковского Интегрирул по Й это неравенство, мы получаем теперь: /) ()( Яд ! В частности, отсюда следует, что неравенство (7.13) верно при и б Е Э(й) с постоянной С = Нг, что и требовалось. Из неравенства Фридрихса следует, что в ограниченной области Й норма )) ~! на Й(й) равносильна норме, задаваемой интегралом Дирихле, а именно Э(и)~(~.
В самом деле, ))ибд —— ~~и)) + 'Э(и), и е Н1(й), 7.4. ЗАДАЧА ДНРихле (ововшенное Решение) 161 где ]] ° ]] означает норму в Ь~(й). Неравенство Фридрихса означает, что /]и]]з ~< С11(и), и б Н1 (й), откуда Э(п) < ]]и]]1 < Сд'П(и), и б Н'(й), что и требовалось.
Наряду с интегралом Дирихле мы будем использовать соответствующее скалярное произведение: а (и, о] = ) — — бх, в, е б Н (Й). (7.14) дзу дху а 1вм На Н (Й) оно определяет структуру гильбертова пространства, поскольку Н1(й) — замкнутое подпространство в Н~(й), а норма ]]п]]1 эквивалентна на Н1(й) норме (и, и]~Г~ = Э(и)~~~. 7.4. Задача Дирихлв (обобщенное репшиив) Мы рассмотрим две обобщенных постановки краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа. В обоих случаях существование и единственность решения после проведенной подготовительной работы легко вытекает из ойцих теорем функционального анализа, Первая постановка имеет в качестве классического анааога следующую задачу (задачу с нулевыми граничными условиями для уравнения Пуассона): < Ьи(х) = Г(х), х б Й, и] =О.
Вместо граничного условия и] = О напишем: (7.16) ибН (Й). Теперь попробуем записать уравнение Ьи = Г. Пусть вначале и б б Сз(й), и] = О. Тогда если о б З(й), то выполняя интегрирование по частям, получим: (Ьи(х)) О(х) бх = — / ~~ — — бх = -!и, и]. и Г дв де / дх дх. О уан Если Ьп = Г, то это означает, что (и, е] = -(У, е), (7.17) 162 $7. ПРОстРАнстВА СОВОЛВВА и ЗАДАЧА ДНРихле где (, ) — скалярное произведение в Ь~(й).
Заметим теперь, что если обе части (7.17) рассматривать как функпионалы от е, то эти функционалы линейны и непрерывны по норме )( '61 пространства Н1(й). Поэтому (7.17) верно, когда е принадлежит замыканию 'Э(й) в Н'(й), т.е. когда и с Й(й). Обратно, пусть область й ограничена и имеет гладкую границу, и й Сз(й) П Н'(й), 7' 6 Ь~(й) и (7.17) выполнено при любой функции е 6 Й(й).
Докажем, что тогда и является решением задачи (7.15). Вначале заметим, что из условия и Е Н1(й) вытекает, что и~, = О. Это вытекает иэ того, что отображение и ~-+ и~ продолжается до непрерывного отображения Н'(Й) -1 Ь~(дй), которое переводит в О все функции из 21(й) и, тем самым, все функции иэ Й(й). Отметим, что здесь мы фактически используем лишь тот факт, что если и 6 С (Й) й Й(й), то и~ „= О. Этот Факт легко получить непосредственно, минуя теорему 7.5 и ее распространение на случай многообразий. Укажем схему соответствующего рассуждения, йе входя в подробности.
Применяя разбиение единицы и выпрямляя локально границу с помощью диффеоморфизма, мы можем затем, рассуждая как в доказательстве неравенства Фридрихса, получить, что )и(х)~ ИЯ, ( СА1(и) l для Функции и 6 С (Й), сосредоточенной в малой окрестности фиксированной точки границы. Поэтому если и~ ~ О, то и нельзя приблизить функциями из 27(й) по норме пространства Н (Й).
Итак, если и б Сз(й) П Н'(й), то и~, = О. На самом деле, если и 6 С1(й), то и обратно из условия и~ = О вытекает, что Н1(й). Этот факт может быть доказан следующим образом. Строя е-усреднение характеристической функции множества Йз„где Йз = (х: х 6 Й, р(х, дй) > б1 мы получим такую функцию Х, б 71(й), что х,(х) = 1 при х 6 йз, и ~д Р,(х)~ < С„е ~ ~ (постоянная С„не зависит от с). Если теперь и 6 С (й), то т,и 6 6 Й(й). Из условия и~ = О вытекает, что если х 6 Й 1 Йз„то 7.4.
ЗАДАЧА ДИРихле (ововщенное Решенне) 163 ~и(х) ~ < Св, где С здесь и ниже зависит ог и, но не зависит от в. Это позволяет оценить выражение 'уи'-Х, Я = Йи — Х,иу + А1(и — Х,и), где 6' . й — норма в Ез(й), а 71 — интеграл Дирихле. Поскольку йз, ямеет меру Лебега, не превосходяшую Се, то !1и — Х~и!1' < Св зир 1и — Х,~4' < С1в', О1ОХ» 'В(и — Х и) < шез(й »1 Йзх) зпр ~~' ~д (и — Х»и)/ < о1о~ ., дху »с»~~)» )Зх — »З»~l)д С хв)~»С о'1цму, ь дхх (здесь и и — (1 — Х,) гасят друг друга). Итак и по норме Й ° ~~~ можно д дху приблизить функциями из С'(Й), носитель которых — компакт в й. Их, в свою очередь, легко приблизить функциями из Э(й) по норме ()~ с помощью операции усреднения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
