Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Предыдущее соотношение может быть тогда переписано в виде: А= Ал(+ А„)+ А,Ь. (2) Если п — любое направление в пространстве, то проекция вектора А на это направление будет А„= ~ А 1 соз (и, А) яли, принимая ао внимание выражение для косинуса угла между двумя направлениями, известное нз аналитической геометрии: А,= ) А ! (соз (и, Х) соз (А, Х)+ соз (л, 1') соз (А, г)+ + соя(п. 2)соз(А, Е)]=А соз(п, Х)+А„соя(п, У)+А,сов(п, Е). При сложении векторов составляющие их, очевидно, складываются (проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих). 116 Скалярное произведение. Скалярным нроизведепием двух векторов А и В называется скаляр, величина которого равна произведению величин этих векторов, умноженному на косинус угла, образованного ими.
Скалярное произведение обозначают символом А В, так что А В=)А!! В!соя(А, В), Из этого определения непосредственно следует, что А.В=В ° А. для скалярного произведения имеет место переместительный закон. Если векторы А и В образуют прямой угол, то, очевидно А В=О. В частности, для основных векторов будем иметь 1 1=1 )с =В 1= О. 344 ГЛ. ~Ч, ВЕКТОРИЫН ЛИЛЛИЭ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ ша Если векторы А и В имеют одно и то же направленяе, то А В ~АИВ~, а если нх направления противоположны, то А В= — ~А ИВ~.
А ° А =!А ~з = А' + А'+ А,' В частности, (4) 1 ° 1=) )=к к=1. (5) Скалярное произведение выражается через слагающие векторов следуюшим образом А ° В=~А~)В~ сов(А, В)=!А!! В1(сов(А, Х) соэ(В, Х)+ + соэ (А, у) соз (В, г) + соз (А, 2) соэ (В, 2)) = (6) ~ А ~ соэ (А, Х) ~ В ~ соз (В, Х) + ~ А ~ соз (А, ЩВ~ соз (В, )')+ +~А! соз(А. 2)~ В! соз(В, В)=А В + А„В„+А,В„ т.
е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствуюших слагающих этих векторов. Заметим, что левая часть написанного равенства не зависит от выбора координатных осей, а потому и правая часть также не зависит от выбора координатных осей, что по виду втой части не очевидно. При выводе формулы (6) мы воспользовались известной из аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлена. ями (114).
Нетрудно показать, что для скалярного произведения имеет место и распределительный закон, т. е. соотношение (А+В) С=А С+В.С. выражаюшая обычное правило раскрытия скобок при перемножении многочленов, Действительно, пользуясь только что выведенным выражением скалярного произведения, можем написать (А+В) С=(А +В,)С +(А„+В„)С„+(А,+В,)С,= = (А С + А „С„+ А,С,) + (В,С + ВРСР+ В,С;) = =А С+В.С, Из распределительного свойства непосредственно вытекает и более обшая формула (Аг+В~).(Аа+Вз)=А~ ° Аз+Ау'Вз+В~ А +В В, (8) З48 $10. основы ВектоРнои АЯГеБРы (О) Его нзправление ззвисит от ориентировки координатной системы и при перемене ориентировки переходит в противоположное.
Еслн векторы А и В имеют оди- Рис, 84. мзковые или противоположные направления, то векторное произведение равно нулю. Вектор, у которого нзмрзвление зависит от ориентировки осей, кзк, например, у А х В, нзвыввется часто лгеадозелтором. Отметим, что для определения векторв достаточно задать тройку чисел (А, А А,) в какой-либо определенной прямоугольной системе координвт ХУ2. Во всякой друГпй ПряМОУГОЛЬНОй СИСТЕМЕ Х' У'2' СОСтЗВЛяЮШИЕ (Аиь Аеь А, ) ПО- лучзтся из (А„ А„, А,) по формулам преобрззовзния координат.
Если Х' У'2' имеют ориентировку, отличную от Л'У2, то для псевдовеяторз надо епте изменить знак у состазлякиних. Отметин еше очевидные формулы АхА 0; ВхА= — АхВ„ )ха 1; йх( )1 1ХЗ й. (10) (11) 110. Векторное произведение. Из кзкой-либо точки О прострзнства проведем векторы А и В и построим нз пих параллелограмм. Перпендикуляр в точке О к плоскости построенного параллелогрзммз мест два противоположных нзправления. Одно из этих нзпрзвлений облздзет тем свойством, что для наблюдателя, стояшего вдоль него, пзпрзвление вектора А может быть переведено в направление векторз В БРзшсннем на Угол, меньший и, в тУ же стоРонУ, в кзкУю длв наблюдателя, стояшего вдоль оси 02, положительное нзправле- М,1е оси ОЛ' может быть пеРеведепо в напРавление оси ОУ БРаше- п 1ШЕИ НЗ УГОЛ вЂ”.
Нз рис. 84 изображено зто напрзвление перпендикуляра в случзе прввой н левой систем координат. Векячоримм произведением вектора А па вектор В называется вектор, но величине равный пло1пзди параллелограмма, построенного нв этих векторах, и по направлению соапздзюший с вышеуказанным направлением перпендикуляра к плоскости етого пзрзллелогрзммз. Векторное произведение вектора А нз вектор В обычно обознзчают символом А Х В. Его величина, соглзсно предыдущему определению, равна 1А11В~ з1п(А, В).
346 гл. пд вектоанып *нализ н тзооня поля рць Найдем теперь выражение составляющях векторного пронзведе. нпя Р**А х В через составляющие векторов А п В. Прпнямая во внимание перпендикулярность вектора А х В векторам А п В, мо. жем написать РцАц+ РуАу+ РцАц ~с О, РцВ + РуВу+ Р В О. Воспользуемся следующей злементарной алгебраической леммой, доказательство которой предоставляем читателю: Лен из.
Решение даух однородных уравнений с тремя переменными ах+Ьу+су =О, а,х+Ьу+с,а О имеет унд х Х (Ьсз - сЬ,), у Х (са, — ась), е А (ад, - Ьа,), зде Х вЂ” лронзуольный множитель. Пргц етом считается, что хотя бы одна пз написанных разностей отлична от нуля. Применяя зту леиму, получим Ркиб)~(АуВц — АцВу), Ру ввХ(АцВк- АцВц), Ра ~)ц(АцВу-АуВц) где Л надо спье определить. Заметим, что если все три написанные разности равны нулю, то векторы А и В образуют углы О или и, и А х В = О, т. е. Р Рц Р,* О. Воспользуемся для определс.
ния я, тождеством, которое называется обычно тождесглаом Лаграилсаг (аз+Ьц+сц)(а,'+Ь',+с',)-(аа,+ЬЬ,+ссц)Я * (Ьс, — сЬ,)з+(са, — ась)з+(ада -Ьа )з, (12) справедливость которого нетрудно проверить, раскрывав скобки и его обеих частях. Отметим далее, что (Р, '+ Р„'+ Рц) есть квадрат длины вектора Р, т. е. )Р ((АуВк — АцВу)з+ (ЯцВц — АкВцф+ (АцВу — АуВ )Р1 * ! А (з ~ В ~з з)пз (А, В). Применяя к левой части тождество Лагранжа, можем переписать это равенсзво так: У ((Ац + Яц + Ац) (Вц+ Ву+ Вц) - (АцВц+ Я уВу+ АцВц)ц) -"' ~ А 1з ~ В 1з з1 пз (А, В), или, принимая во внимание (4) и (6), )Р [1А 1з ~ В ! ° — ~ А 1ц ~ В 1з соаз (А, ВЯ ° ) А 1я ~ В 1з а)пз (А, В), откуда непосредственно следует, что Х + 1.
Локзжем, наконеп, что Х + 1. Подвергнем векторы А и В не- прерывной деформации, которвп привела бы вектор А к совпадению $!О. ОснОВы Вектоунон алгеВРы 34У С основным вектором 1, а вектор  — к совпадению с основным векторон ). к1сфОриацнЮ МОЖНО ПрОИЗВОдИтЬ тах, ЧтО ВЕКтОрЫ А И В з нуль не обращаются в не бывают параллельны между собой. Тогда екторное произведение АХ В, не обращаясь в нуль, также будет непрерывно изменяться и в результате обратится в 1Х)=й, так как А совпадает с 1 и В с ). Принимая во Внимание непрерывность изменения, а также то обстоятельство, что ) может иметь лишь дза значения ( + 1), можем утверждать, что Х вообще не будет меняться при указанной деформации и что, следовательно, значение 1 после деформации будет таким же.
каким оно было н до нее. Но после деформации мы будем инеть А = 1, Ау=Ас=О~ Ву= 1 Вк=В =О Р = 1 Рк= Ру=О и из соотношения Р,= Х(АкВу — АРВ ) мы можем заключить, что ) *=+1. Мы получаем, таким образом, следующие выражения слагающих Векторного произведения А )( В: АуВк — АкВу~ АюВк — АкВк~ АкВу АРВк. (13) Польауясь этими выражениями, читатель без труда проверит справедливость распределительного закона для векторного произведения, т. е. соотношение (А+ В) Х С = А Х С+ В Х С, (14) С помощью формулы (10) без труда получим отсюда С )( (А + В) = С Х А+ С Х В, а затем в более общую формулу.
(А + Ая) Х (В, + В,) = Л, Х В, + Л, Х Вя+ Ла Х В, + А, Х Вь (18) вполне аналогичную формуле (8) для скалярного произведения. 11У. Соотношения между скалярным н векторным произведениями. Составим скалярное произведение Вектора А на векторное пронзведеиие В = В )( С; А (ВХ С). Величина векторного произведения В)(С=Я равна площади паРаллелограмма, построенного на векторах В и С. Но А'(В Х С)=Л'31 ='1А1114 ! соз(А, п1), 348 ГЛ. 1Ч. ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ !Нт и, следовательно, вто произведение можно рассматривать как про.
наведение плошади ! Р(( упомянутого параллелограмма на проекцию вектора А на направление Р), перпендикулярное к втой площади, т. е. скалярное произведение А ° (В Х С) выраисавт обеем параллелепипеда, лослгровнного на векторах А, В и С. Его внзк зависит от ориентнровкн координзтных осей. Нетрудно видеть, что если саво. купность векторов В, С, А нли, что то же, А, В, С имеет ту же ориентировку, что н оси координат, то ны будем иметь знак (+), В атом можно убедиться тем же методом непрерывной деформации, ко1орым мы уже пользовались выше '). 11ри вычислении об ьема параллелепипеда мы ва основание его принимали параллелограмм, построенный на векторах В н С. Но точно так же мы могли бы принимать зэ основание параллелограмм, построенный на векторах С-и А или А и В.
Мы получаем, таким образом, следующие соотношения: А (В Х С) = В (С Х А) = С (А Х В). Следует только обратить внимание на знаки втих трех скалярных произведений. Они будут одинаковы, так как совокупность векторов (А, В, С), (В, С, А) и (С, А, В) имеет одинаковую ориентировку.
две последние совокупности получаются из первой путем к р у г оной перестановки. 1!ри другом порядке векторов знак перев. дет в обрзтный, т. е., например, А (ВХ С)= — В (А Х С). (17) Если три вектора А, В, С компланзрны, то обьем парзллелепи. пела будет равен нулю, т. е. в атом' случае А (В Х С)=0. (18) Эн!о раввнсглво вста необходимое и достаточное условис комлланарности тузл векторов А, В и С. Рассмотрим теперь векторное произведение А на векторное про. наведение В Х С, т. е.
0=АХ(В Х С). Тзк кзк вектор 0 перпендикулярен вектору В Х С, то он компланареи с В и С, а позгому 1113): 0= тВ+ лС; (! 9) '! Зависимость знака произведения Л (В Х С) от ориентировки кчоР динатных осей ироисхоаит оттого, что множитель В х с зависит от оригитироаки осей. таким образом, рассматриваемая величина л (В х С) ис сс™ обычный сквляр, величина которого ие лоажна зависеть от выбора коорлн натимх осей.
Вообще величины, зависимость которых от координатных осгя азкзючзегсв лишь в изменении знака нри перемена ориентировки осей, иа вызаются лггвдосквлярвнгь 349 е 1л. Основы вектОРнон ллгеБРы но р перпендикулярен и к А. л потому [1Щ: А ° В = лтА ° В+ лА ° С = О, откуда <л=рА С, л= — РА В, после чего окззывлстся АХ(В <(С)=0=р [(А С) — (А,В)С[, А =[А[=а, мы имеем для левой части [116[ А„А, О, 0,=А (В)(С) =а(В,С вЂ” В С,), ° для прлвой [116[ р (аС„В, — аВ,С,). Фтсюда, сравпииля, получим, что !ь= 1. Вто приводит иас к следующей формуле: А )( (В )( С) =(С ° А)  — (А В) С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
