Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(39) Пусть гуз — направленный элемент дуги кривой (ф т. е. элемент дуги этой кривой, рассматриваемый как малыи вектор. Его соста- вляющие па оси будут ь(х, Ыу, г(к, и выражение, стоящее под зна- ком криволиисппого интеграла, представляет собою скалярное произ- ° еденне А дв, т. е. Равно А,ь(з, где А, — проекция А на касатель. мую к (1). Введем вектор с составлягощнми в любой системе ХУ2: дА дАу дА дА дАР дА„ (40) ду дг ' дг дк ' дк ду ' Можно показать, что зто псевдовектор [1161. Он образует вектор.
ное поле, которое называется вихрем ноля А и его обозначают символом го1 А или спг! А'), Формулу (39) при этом можно переписать так: Агав= Ц !го1к А соя (н, Л)+ го1„А соя(н, у)+ го1г А сох(л, 2)) 48 оп вли а и. теОРия пОля 961 в бги три условия в свою очередь равносильны равенству нулю П<РЯ ИОЛЯ; ГО1А= О, т. е. для того, чтобы векторное ноле было тендиальным. необходимо и достаточно, чтобы вихрь етого ° я равнялся нулю.
Если это условие выполнено, то, согласно [76З этап<пал поля определяется в виде контурного интеграла <м) <м) У(М)= ~ А бх+А„бр+А,бе= ) Авбс <мв) <м,) При атом А=бгаб У(М), н [76] <л) <в) ] А бе= 1 Кгаб У(М) ба= У(В) — У(А). <л) <л) д(ожет случи~ься, что выражение (43) не будет полным дифференциалом, но будет допускать интегрируюи<яй множитель, т.
е. будет су<цествовать такая функция точки )<(М), что выражение и(А бх+ А„бу+ Авбе)=бУ (45) будет полным дифференциалом. Назовем такое поле квазипотенциаламым. Как мы видели в [79], характерной особенностью такого поля будет суи<ествование семейства поверхностей У(М)= С, ортогональпык к векторным линиям поля. причем из (46) следует, что рА~бгаб У ялн А=-6<а» У, 1 т. с поле А будет в этом случае отличаться от потенциального поля численным множителем †, имею<пни в различных точках про. 1 странства различные значения. Нвобходимое и достаточное условие квазипотенциальности поля выражается формулой [79]: А„ 1~~ ~'.~л) + А„ (»" ~~~ ) + А,® ~ю) = О, что Мвжио написать так: А ° го1А=О, (46) т. с семеб ' с необходг<мым и достаточным условием суа<ествования "Гебства поверхностей, ортогональных к векторным линиям является условие (46), т.
е. лерпендикулярность векторов гп1А иаи равенство нулю готА. и йв игам. что если пространство, занятое полем, многосяязно, то " поля. опрелеляемый по формуле (44), может оказаться говпачной функцией [76], Выше мы исследоввля векторное поле, у которого вихрь рзве„ нУлю, в обизРУжклк, что такое поле есть поле потекиазльиое. Век. торное поле А, у которого расхолямость разия нулю, т, е, выпал. мено тождественное условяе й)ч А= О, называется солвноидальнцм. В силу формулы (37) для тз. кого поля имеем 7лл) ) Ь Ц А„Ы8= О, (47) гз) (г ) )'г) ) г) ° где (8) — произвольная замкиутвя поверхность, внутри ко. Ркс, 9!. торой наше поле везде существует.
Примем зз поверхность (8) часть некоторой векторной трубки, выделенную двумя ее сечениями (8)) я (8») (ряс. 21), Нз боковой поверхности трубки А„ = О, так как А находятся в касательной плоскости к втой боковой поверхности. Если для сечений (о)) и (8)) возьмем направление нормали (и) в одну я ту же сторону по отпо- )пеппю к движению вдоль трубки, то ка одном сечении (8,) зто будет внутренняя нормаль, в па другом (Юз) — внешняя по откоше. пяю к выделеииой части векторной трубки. Пркмеияя к кей 4юр.
мулу (47), будем иметь Ц А„а-Ц А„бю=б, сгь) )з1) причем апзк ( — ) в интеграле по (о)) вызван тем обстоятельством, что па (8)) направление (и) противоположно направлению внешней нормали. Предыдущее рзвекство показывает, что внтегрвл Ц л.йг )3) (48) в случае солепоядальиого поля имеет одно в то жезиаченяе для все» сечепяй (Ю) векторной трубки. Оп дзет поток поля через сечепяе (8) и называется обычно напряжением векторной трубка в сечен)т (8) Тзкям образом для солеиоидального ноля напряжение имеет одно Я )ло же значение во всех сечениях векторной врубки.
Если пр)' движении вдоль векторной трубки плошадь се сечения увелячпззеьо) т. е. векторная трубка расширяется, то интенсивность потока, т. с величина .4„, вообще говоря, уменьшается так, что велячпна котс)" рала (48) остается неизменной. 123. Нвправлеппый влемеит поверхности. Подобмо иаправлсп' ному злемепту кривой (121), можно ввести в рассмотрение нзпРИ пленный влемеит поверхностя б3. Положим, что мы различили )'ь данкой поверхности две стороны, тзк что в каждой точке позер» Зб2 гл. )ч. вектоРиыя лиллиз и теОРия пОля 1пв $ П.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ 363 (491) ности "" и имеются два взаимно противоположных направления нормали, свяаанн „ванных с той или другой стороной поверхности, причем в случае иепре „ерывиого движения по поверхностя направление нормали, опрея,и(е с тои или другой стороны поверхности, будет иаменяться „„ерыано [67[. В случае аамкнутой поверхности имеются внутрсни внепшяи нормали по отношению к объему, ограниченному новерхнощ! Направленным влементом ЫВ поверхности зове ктор, длина которого равна плошади а(8 влемента, а направление впадает с определенным направлением нормали (л) к этому вле- меиту.
В слУчае аамкнУтой поверхности УсловимсЯ принимать аа таковое направление внешней нормали, а для внутренней нормали вместо (л) будем писать (л,). Проекции вектора в(Б на координатные оси будут давать проек. пви влемента площади поверхности на соответствующие координат- ные плоскости со внаком плюс или минус, смотря по тому, будет ли угол, образованный (л) с координатной осью, острым нли тупым.
Пусть у(М) есть некоторая скалярная функция и А(М) — вектор. Определенные на поверхности (8), Составим выражения $Р(М)й9, (49) (а! ~А(М) ((3, а! ) ) А(М)хна (49а) (а! Первое йв нвх есть вектор, составляющяе которого суть ~ ~У(М) соа (л, Х)((8, ~ ~ У(М) соа (л, 3') ((8, (а! (Э ')) г(М) сов(п, 2)Ю. (В! мыражение (49,) есть скаляр ~ ~ А ((3 = ') ') А„((8 (Э (ж н наконец, выРажение (491) есть вектоР с составлЯющнми ~1[АР соя(п, 2) — А, соа(п, У)[((8, (а! )$[А, соя(л, Х) — А соа(п, 2)[((8, га! ~1[А,сов(п, У) — А соа(л, Х)[((8. ьт! 204 гл. ге вектоэныи анализ и тсогч!я поля нм (ООВ (б! ) (24.
Некоторыв формулы векторного амвлиэв. укажем некого. рые соотношения, связывающие введенные нами векторные операшш В [122[ мы видели, что вихрь потенциального пола равен нулю: го! дгаб и= 0. (52) Нетрудно проверить, что вихревое поле имеет расходииость, ра' ную нулю, т.е.
б(ч го! А им О. (53) Пусть (Я) — замкнутая поверхность и (о) — объем, ею ограничен. нып, причем 1(М) и А(М) определены во всем объеме. Пользуяс„ формулой Остроградского, нетрудно проверить следующие три ра. венствж Цу(В= Ц$2 И; Ф~ нч ЦА ЫБ=ЦЦ бгв Аг(о, нл оч ЦАХ (Б= 5Ц тА (. йт 1'Ч Равенство (б0,) совпадает с формулоя (37). Проверим егце равен. ство (б0„). Слагающие по оси ОХ дивой и правой частеи выражаю!ся интегралами ~~[дасоз(и, 2) — А, соз(и, У)[НЗ, — ~ ~ ~ ~ а ~Л'),ув оь гю которые совпадают по величине, в чем нетрудно убедиться преобра. зованием трояного интеграла по формуле Остроградского.
Совершенно аналогично, пользуясь формулой Стокса и направлен. нмм элементом поверхности, можем написать следующие формулы; 5У (з= — Ца УХОВ, <й 1$~ ~ А г(з = Ц го! А Ж (5 1,) ю ол Здесь (Ю) — некоторая поверхность и (7) — ее контур, Вторая из этих формул совпадает с формулой (4!), так как в силу определения скалярного произведения го! А г(В = гот„А г(Ю. Для формулы (б !) составляющие левов и правой частей на ось ОХ будут ! У Дл; — ~ ~ ~ — соз (л, 2) — ~- соз (л, У)) а!8! ~з~ пользуясь формулои (22) иа [73[, нетрудно показать, что вти выра- жения раины.
666 $ и. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Действительно, д)вго(А= х (-д"а д-л)+ д (дд ) + д (дд Введем еще в рассмотрение расходимость потенцналыюго поля дрт бгад У= л-,- бгад, У+ х- бгад„и+ — „6 .д, и. д д д дЧ/ дЧ/ д'0 йчбгад У=~-„-,+ тут+~а. (54) Днфференннальный оператор ди дЦ дЦ ЬУ= „+ (55) гцвмэаетсв онералгоролг лапласа. из левой части (54) видно, что ои пв зависит от выбора координатных осеи. !(рнменяя формулу (36) к вектору егад У, получим определение ЬУ в точке Ы в виде ( ~ ао ЬУ= бщ (56) (ю) м 1 $%ы определили ЬУ для случая, когда У вЂ” скаляр. Символ ЬА, где А — векторное поле, означает вектор, составляющие которого суть ЬА„ ЬА и ЬА,. Укажем еще следующие формулы: го(го1А=игад йчА — ЬА, (67) йч(УА)=1дгч А+бгад/ А, (57г) йч (А )~ В) = В ° го1 А — А го1 В, (57з) го1УА=бгад/)< А+/го1А, (57,) Ь(фф)= ф Ьф+ 7 Ьф+ 2агад ф ° бгад ф. (57а) Мы проверим лишь первую иэ этих формул, предоставляя проверку остальных читателю.
Возьмем составляющую по оси ОХ вектора1 стоящего в левой части (67), н покажем, что оиа совпадает Е соствзляющей вектора, стоящего в правой части: ятв(А н го1зА — хз го1ТА у-(ф — -д~л) 6з (дза д )' отк удз открывая скобка и прибавляя и вычитая -б-а-, д'дл и= чтл д! т А — Ь А д 366 гл. тч, иектОРный АнАлиз и теОРия пОля паэ что и требовалось доказать. Заметим при этом, что из формулы (57) следует независимость цА от выбора осей, ибо ОА = дт ай г(1 ч А — го1 го1 А. 125. Движение твердого тела и малая деформация.
В (118) мы видели, что нрп вращении твердого тела вокруг точки О скорость любой точки выражаетсн формулой к=о хг, где о — вектор мгновенной угловой скорости н г — радиус-вектор ОМ. Самый общий случай движения твердого тела мы получим, придавая ему еше переносное авижение со скоростью чм и при этом полная скорость выразится формулой ч=ч,-(-о х г. (58) Найдем теперь обратно — вектор у~лолой скорости по заданному полю скоростей ч.
Заметим прежде всего, что векторы ч, одинаковы в данный момент для всех точек тела, а потому они не зависят от (х, у, г). Мы имссн тогда по форл~уле (40) го1Ч,=О. Пусть р, а, г — составляющие о относительно осей, имеющих начало в О. Составляющие векторного произведения о х г будут: дг — гу, гх — рг, ру — ах, так что согласно (40) составляющие гот(о Х г) будут 2р, 2а, 2г, а потому вектор угловой скорости выразится через ч в виде О= — ГО1 Ч. 1 2 (59) Отсюда н самое название вектора го1 ч — вращение вектора скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
