Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 71
Текст из файла (страница 71)
128. Уравнения распространения звука. Уравнения (72) или (73) имеют место не только для жидкости в тесном смысле слова, но и для газа. Существенным являетсн лишь гипотеза о том, что внутренняя сила сводится к одному давлению. Будем считать движение настолько малым, чтобы в левых частях уравнений (73) лшжно было пренебречь членами, содержащими "ронзведение скоростей на их производные по координатам. При этом урав- 1'ения (73) перепишутся так: ди 1 др до ! др дпл 1 др — рх (75) дС " Р дх' дг л р ду' дС ' р дг' В этой формуле заключаются три уравнении, которые являются основными уравнениями гндродинамики идеальной жидкости. Пусть и, о, э — состэвляющие вектора скорости, выраженные какфункцин координат точек (х, у, г) и времени С.
Слагающан вектора ускорения Ф по оси ОХ будет равна полной производной по времени от составляющей и(С, х, у, г) вектора скорости, так что мы можем написать ди ди дх ди ду ди иг дг дХ дС дудС дг игл 372 ГЛ. 1». ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 112в пли в векторной форме: дч 1 др — = Р— — йгабр.
Точно так же, отбрасывая в уравнении (74) члены с произведениями проекций скорости на производные от плотности по координатам, получим др — +р йчч=О. дг (77) (76) Пусть р,— постоянная плотность среды в состознии покоя. Введем малую величину з, характеризующую относительное изменение пзотности при движении н ойредсляеыую равенством р = ра (1+ з).
Отсюда Принимая во внимание (?8), можем написать это уравнение так: д'з ( 1усе дга — =а'Ьз — бгч Р (а= 1 — ). (79) Этому >равнению должна удовлетворять величина з, которая есть функция времени и координат точки. Заметим, что при вычислении расходимостн дч производной -- мы переставили дифференцирование по т с операцией расдг ходнмости, что представляется законным, так как результат дифференцировзния не зависит от порядка дифференцирования. Если внешние силы отсутствуют, то уравнение (79) будет дта ( Р )' (80) Последнее уравнение называется обычно волновым уравнением. Вспоминая, что величина з характеризует величину сгущения или разрежения, др дз — — дз 1+а причем в знаменателе (1+а) мы отбрасываем малую величину з.
В силу дз 1 др написанного, можно считать — = — — н равенство (77) дает дг р дг' дз — = — й» ч. дг (78) Можно считать, что градиент давления пропорционален градиенту величины з, характеризующей сжатие или разрежение, т. е. Егаб р = е пгаб з, где е — коэффициент упругости среды. Подставляя это в уравнение (76) и считая в этом уравнении р = р„ получим дч е — = Р— — йгабз.
дг Возьмем операцию рзсходимости от обеих частей этого равенства д .. е — йч ч = йч Р— — б! ч йгаб з. дг' Ро 373 % И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1291 чы можем сказать, что в нашем случае это уравнение дает закон распространения звука, Те части пространства, где б)т Р отлична от нуля, будут источниками звука. (83) 129. Уравнение теплопроводности. В [128[ мы видели, что количество те)иа, проходящее за время »Х через элемент поверхности »3, принимаетсл равным »()=й»г»3! — [=й»г»3 [йга»„У(М) (, дУ) дп ~ )хс й — коэффициент внутренней теплопрозодностн, У вЂ” температура н )л) — направление, нормальное к»3. Рассмотрим замкнутую поверхность(5), ограничивающу)о объем (о), и подсчитаем полное количество тепла, прохо- дящее через (3).
Нетрудно видеть, что мы получим )3 = — »Г ) ) д 3табл У»3. (81) (з) При этом, если в направлении внешней нормали (л) температура убывает, дУ то — (О, и соответствующий элемент интеграла будет отрицательным, да а при возрастании температуры картина будет обратнаа. Принимая во вни- мзние, что тепло течет в направлении убывания температуры и знак ( — ) в правой части (81), можем утверждать, что )3 есть количество тепла, отда- ваемого объемом (о) за промежуток времени»Д Втекающеев (о) тспво будет подсчитываться формулой (81) со знаком ( — ). То же количество отдаваемого тепла можно подсчитать иначе, следя за изменением температуры внутри объема.
Рассмотрим элемент объема»о. На )аеличение температуры этого элемента на»У за промежуток времени»т н)жно затратить количество тепла, пропорциональное повышению темпера- т)ры и массе элемента, т. е. количество тепла: дУ 1»У,»о=,р —, »т»о, дх где р — плотность вещества, Т вЂ” коэффициент пропорциональности, который называется тсплоемкостью вещества, Таким образом отдаваемое всем обьемом тепло выразится по формуле »)3= — »х ~ ~ ~ тр — »о, )э) причем знак ( — ) мы ставим потому, что подсчитывается отдаваемое, а не получаемое тепло. Приравнивая полученные два выражения для Щ и применим формулу (87) из [121[, будем иметь ~ ~ ~ Тр ~У» = ~ ~ ~ »1 (й 3 аб У)», (82) )ь) ш) т.
е. при произвольном объеме должно иметь место соотношение дУ ~ ~ ~тр — — б)ч(А 3)а»У)»Р=О, дг )э) ~~куда ны получим дифференциальное уравнение шеллопролодносши »У Тр — =ойч(А 3)аб У) дх 374 ГЛ.!Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ (тзв или (83,) Это уравнение должно выполняться во всех точках внутри рассматриваемого тела. Температура и зависит от координат точки н времени. Если тело не только изотропно [1Ю], но и однородно, то 7, р и Д— постоянные, и уравнение(83) можно переписать в виде аи — =яди (=у ) /Х (84) нлп ди, /д'и дЧ/ д'ит + — + — ) дт (дх' ду' дз' ) ' (84,) Если тепловое явление стационарно, т.
е. температура не зависит от врслвсни Г, а только от координат (х, у, е), то уравнение (84) перепишется в анде дч/ д'и дч/ пи=0, т. е. — + — + — =О. дхв дув дзв— (85) ~ ~ ~ Тр — до= ~ ~ ~ йч(Д 8габ 0)до+ ~ ~ ~ едп, гв1 Гьв гю где последнее слагаемое в правой части представляет количество тепла, вы. деляемого в объеме (о), причем зто количество тепла рассчитано на единицу времени. Подынтегральная функция е(С, М) дает напряженность источников тепла, непрерывно распределенных в объеме (о), и зта функция может зависеть как от времени, так и от положения точки М.
Вместо дифференциального уравнения теплопроводности (83) мы получили бы уравнение вида Тр о-*--йч(Д Егаб 0)+е аи г или, в случае однородного тела, вместо уравнения (84) мы имели бы ди, 1 — =л ди+ — е. (87) дС ТР ' Уравнения (87) и (84) аналогичны уравнениям (79) и (80) из [128[.
Наличие источников тепла в уравнениях теплопроводности аналогично наличию внешних сил или, точнее говоря, источников внука — йч р в уравнениях распространения звука. Как то, так и другое обстоятельства делают дифференциальное уравнение неоднородным, т. е. уравнения (79) и (87), кроме членов, содержащих искомую функцию з или О, содержат еше и свободные члены — йт Р или е, которые надо считать заданными функциями. Обратим внимание и на существенную разницу между уравнениями (80) и (84).
Первое Мы получили таким образом для температуры в стационарном тепловом процессе уравнение Лапласа, которое мы уже встречали выше. При выводе уравнения теплопроводности (83) мы предполагали, что в рассматриваемом теле отсутствуют источники тепла. В противном случае мы должны были бы вместо равенства (82) написать другое равенство, а именно 375 $ И.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ (аз! 189. Уравнения Максвелла. При рассмотрении электромагнитного поля ~водятся следующие векторы: Е и Н вЂ” векторы электрической и магнитной сил; г — вектор полного тока; Р— вектор электрического смещения;  †век,ор магнитной индукции. Два основных закона электродинамики, нвляющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть написаны в виде ') Н,) = ! ~ ~г„)8, и) (х) ~ Е, уз = — — — ',~ ~В„(8, ()) (5) (88) (89) где с — скорость света в пустоте. Первое из уравнений связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через самую поверхность.
Второе уравнение связывает циркуляцию вектора элек- трической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях ()) — произвольный замкнутый контур и (3) — поверхность, им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы Р и В связаны с векторами Е и Н: 0 =аЕ, В =ИН, где а и р — постоянные, называемые диэлектрической постоянной и мзгнит- ной проницаемостью среды. Вектор полного тока состоит из двух слагае- мых — тока проводимости и тока смещения: г=ХЕ+а —, дЕ где л — коэффициент проводимости среды.
Таким образом окончательно уравнения (88), (89) принимают вид Н, ()а = — ~ ~ (ХЕ„+ л — л) л(3, (н (л) ~ Е, л(з = — — — ~ ~ рИл ((8, (90,) (О (л) Интегралы, стоящие в левых частях этих равенств, могут быть па фор- муле Стокса преобразованы в интегралы по поверхности: ) ) го(лН П8 и ~ ~ го(лЕ л)8, (з) (з) так что уравнении псреписывщотся в аиде ~ ~с готлН вЂ” (ЛЕл+ а — ) ~ ~Х5 =0 (з) 1 1 1сго!лЕ+9 — л! л)8 =0. (5) из них содержит вторую производную от искомой функции по времени, иногда как второе содержит первую производную по времени. Это обстоятельство существенным образом скажется при интегрировании этих уравнений. 376 ГЛ. !Ч.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Нзз Ввиду произвольности поверхности (3), а следовательно, и направления нормали (и), из последних уравнений вытекает с го! Н = ЛЕ + а —, дЕ (91,) с го! Е = — !а —. дН дг' (9)а) Этп уравнения и представляют собою уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Мы имеем здесь шесть дифференциальных уравнений, содержащих шесть составляющих Ел Еу Еа Рак ааа Руа. Непосредственным следствием уравнений (91,) и (91,) в рассматриваемом случае является соленоидальность векторов дЕ дН ЛЕ+ а — и дг дг ' ибо их расходимость равна, в силу (91,) и (91,), сйчго!Н и сйчго!Е и, следовательно, обращается в нуль [124[. Но можно доказать еще и то, что сами векторы Е н Н соленоидальны в некоторой части пространства, если они были там таковылаи в начальный момент времени.
Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, введем две величины йчаЕ=Р =р, йч!аН=Р, (92) которые называются плотностами злектрического и магнитного ааряла Из уравнения дЕт Л . д йч ~ЛЕ + а — ~ = — йч аЕ+ — йч (аЕ) = О дг~ а дг следует — р+ — =О Л др дг н, интегрируя вто линейное уравнение первого порадка, получим [6) Х а Р = Рае где р, есть значение р при С=О.
Стало быть, если в начальный момент вреиени мы имели Р,=О, т. е. йчЕа=О, то и при всяком Г будет Р=О, т. е. йч Е = О. Точно так же из уравнения (91,) следует дН д йч — = — йч Н = О, дт дг и если йчН,=О, то йчН=О при всяком г, Последнее уравнение равносильно условию равенства нулю магнитного заряда, что обычно и допускается.
Из уравнений Максвелла можно вывести другие уравнения, а которые каждый из векторов Е и Н входит отдельно. Производя операцию го! над 377 $1!. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1311 обеими частями уравнения (9!з), мы имеем дго1 Н вЂ” сго1 го( Е=р— д! нли, в силу формулы (57,) и уравнения (91,), с(бŠ— йгаб йч Е)= — —. ~е — +ХЕ) Рд! дЕ с д!'( д! (94) В тех местах, где Р=О, т. е. где электрические заряды отсутствуют, получим лля потенциала ф урэвневие Лапласа Лгу=О. 131. Выражение оператора Лапласа в ортогональиых координатах. В [63) мы вводили в рассмотрение любые криволинейные координаты в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
