Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Дох Раскрывав скобки и прибавляя и вычитая — ох, можем наппсаты Дх к' Дох Дох Дох ГДох (го! ч Х ч) = — "о + — 'о + — хо — < — кок+ — ~о + — ' о 1< х Дх х Ду у Дз х (Дх к Дг у Дх х/т п, пользуюсь (115), нетрудно получить отсюда с!ч Дч 1 дч 1 го!ч Х ч= — — — — — Ягаб )ч!'=ж — — — — пгаб(ч(з Дг дг 2 ДТ 2 Подставляя в (125), будем иметь где <ч — вектор ускорения. Д <" д! о, дз = ! ч ол !' — учен <о 1 ! + ~ ~ш огай ! ч <з)Дл 2 и< 1 = — [! чни !' — 1ч"'!')+ п<х да, <у! (125) пбо, очевидно, ~ пгаб ! ч)'да =!"' <!< :!ту формулу лшжпо просто вывести, преобрззуя криволинейный интеграл по формуле Стокса п применяя затем формулу (120).
Рассмотрим сщс циркуляцию сноростп вдоль некоторого двщкущегося контура (!). Согласно формуле (123) ГЛАВА Ч ОСНОВЫ ДИ И ВРЕНЦИАЛЬНОй ГЕОМЕТРИИ В 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 1ЗЗ. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта. В настояшея глазе мы дадим основы теории кривых и поверхностен, причем начнем с исследования плоских кривых, ззтем перейдем к кривым в пространстве и к поверхностям. При изложении мы будем пользоваться векторами, так что читателю необходимо твердо помнить содержание первых номеров предыдушея главы включительно до [1191, содержашего вопрос о дифференцировании вектора. Начнем с доказательства леммы: Лемма. Если А есшь векглор длина единицы (единичный век- дА тор), зависящий оль скаллрного ларалгепара 1, то — А = О, дА то есть — 1 А.
ес деиствительно, по условию леммы А А=1 и диффеРенциРУЯ зто равенство по 1, получим дА дА — ° А+А ° — =О, сй дс или, в силу независимости скалярного произведения от порядка мноьпителея: ВА — А=О, т.е. — 1А, а'А дт ' де причем условие — 1 А имеет очевидно смысл лишь а том случзе, дА ьй ФА если вектор — отличен от нуля. дс Здесь и в дальнейшем мы всегда предполагаем сушествование и непрерывность тех производных, о которых говорится в тексте. Пусть на плоскости имеется некоторая кривая (Е) и скалярный параметр 1 определяет положение переменной точки М на втой кривои. Мы можем охарактеризовать нашу кривую радиусом-вектором т(г) Ф 52.
КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 669 5551 из некоторой постоянной точки О в переменную точку кривои (рис. 96). Как мы видели [!!9), производная — дает вектор, направг Й пленный по касательной к кривоп, а если за параметр принять длину дуги з кривой, отсчитываемую от определенной точки кривой в опре- в'г деленном направлении, то производная — даст единичный вектор Ва касательной 1, направление которого совпадает с направлением увеличения параметра з вдоль кривой: иг иа Проиаводная от единичного вектора-касательнон по 5 называется ввиторолг кривизны: М= — „, (2) ))лина этого вектора характеризует быстроту изменения направления вектора 1 и называется кривизной кривой. Рис. 97. Рис.
96. В силу докззаннов леммы вектор кривизны перпендикулярен касательной, т. е. направлен по нормали. Кроме того из его определения непосредственно следует, что он направлен в сторону вогнутости кривой, так как в эту сторону направлена разность 1(з + Ьз) — 1(з) при Ьз ) О (рис. 97). )!лина вектора М, как мы уже указали, называется кривизной кривой, и если ввести обозначение )Х) = —, то величина Р, обратная кривизне, называется радггрсолг кривизны. Введем в рассмотрение единичный вектор кривизны п, тоесть вектор длины единипа, по направлению совпадаюший с М.
Если длина !Р!! = О, то надо считать р = со, я вектор п не определен. Если, например, (Е) — прямая, то во всех ее точках 8оО гл. у. основы диээепвицилльнои гсомвтгии пзз ~Х1=0, и мы можем выбирать любое из двух направлений нормали к прямой в той плоскости, в которой мы расс»атривае» прямую. В дальнейшем будем считать, что 1Х! и- 'О. В силу (3) имеем 1 Х= — п. Р (4) Х ° и+1 « — =О. Но векторы Х и п совпадают по направленшо, и, в силу (4), 1 «и 1 Х п = †, так что из последнего равенства следует 1 — = — — .
Р «3 «и «и Сопоставляя это с параллельностью векторов 1 и —, видим, что— «з' '' «а 1 по направлению противоположен 1 и имеет длину †, т. е. Р «и ! (5) «з Р Пусть, как и выше, г и з — радиус-вектор и длина дуги для кривой (Е), а г, и г! — те же величины для эволюты (/ч). Дифференцируя равенство (рис. 98) г,=г+рп по з, получим — '=1+ — и+ р— «г, «р «п «з /а /аз Отложим на направлении п, т. е: на направлении нормали кривой в сторону вогнутости, отрезок /ИС, равный радиусу кривизны р в точке Л4 (рис.
98). Его конец С называется центрож кривизны кривой Ю в точке М Если Л4 двигается вдоль л / // кривой (/.), то С меняется и опи/ г сывает некоторую кривую (/.,), котой) /' рая называется эеолютой кривой (Е), г Р т. е. эволютой кривой назывзется / / геометрическое место ее центров и / кривизны. Для дзльнейшего на» необхог й' «и г димо определять производную «з' 0 Вектор и есть единичный вектор, и, «п «и следовзтельно, — ) и, то есть Рис. 98. «з «з параллелен касательной.
Дифференцируя очевидное равенство ! п= О по з, будем иметь таз1 $ Кх КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 391 или, в силу (б), дг, в'Р да дв — '=1+ — п — 1, то есть — '= — 'ш дго до ив да (6) Правая часть этои формулы есть вектор, направленнып по нормали к (1.), а левая — вектор, направленный по касательнои к эволюте, и, следовательно, нормаль кривой (1.) параллельна касательная эволюты. Но обе эти линии проходят через одну и ту же точку С, а поэтому должны совпадать, и мы имеем первое свойство эволюты: нормаль к кривой касается зволюты в соответствующей точке. Вспоминая определение огибающих семеистя линий, мы можем высказать и следующее Второе свойство эволюты: зволюта есиаь огибающая семейства норлгалеи к кривой.
Естественным паРаметРом длЯ эволюты ЯвлаетсЯ ее длина дУги вэ и, согласно правилу дифференцирования сложных функций, дто Вто дао дао — = — ' — = — 1В иа ив~ ьа иа где 1, — единичный вектор касательной эволюты. Подставляя в (6), получим да, до — ',п, да ' да откуда, сравнивая длины векторов, стоящих в обеих частях этого равенства, будем иметь — т. е. /йз, )=)йр/. Считая для простоты, что на рассматриваемом участке кривой и эволюты величины з, и р увеличиваются, можно написать аз, =по.
Интегрируя это соотношение по рассматриваемому участку, обна- Ружим, что приращение длины дуги эволюты совпадает с прираще- нием радиуса кривизны исходной кривой. Таким образом мы полу- чаем третье свойство эяолюты: на участке лгонотонного излгенения радиуса кривизны приращение его равно приращению длины дуги ввалютм лгегкду соответсгнвующими точками. В случае рис. 98 это своиство выРазитса Равенством: МоСг — МС= „~ ССР Выберем на плоскости определенные координатные оси ОХ и ОУ, и "Усть 1о есть угол, образованный направлением касательной 1 с осью ОХ.
Выражая единичный вектор через его составляющие, получич 1 = соз оо 1+ 51п т 1, где 1 и а суть единичные векторы по осям ОХ и О)' Диффаренци. Руем предыдущее рзвенство по з: 1Ч = — з)п 1о -~1+ соз Р,—, 1, дт откуда квадрат длины вектора кривизны будет —,=( — з1П ч1 — ) +(соз у — ) нли Мы получим таким образом выражение для кривизны, которое мы уже приводили в 11, 71). Положим, что уравнение кривой (Е) дано в явной форме у = у(х). Семейство нормалей к втой кривой будет иметь уравнение 1' — у = — —, (Х вЂ” х) или (Х вЂ” х) + у' ( 1' — у) = О. (8) 1 Здесь (Х, У) суть текущие координаты нормали, а (х, у) — коор- динаты точки Л4 кривой (Е), причем у есть функция (7) от х.
Таким образом роль параметра в уравнении семейства нормалей (8) играет абсцисса х переменной точки кривой. Применяя к семейству (8) обычное правило нахомсдения огибающей 1131„мы должны написать два уравнения: уравнение (8) и новое уравнение, которое получается нз него дифференцированием цо параметру йа (Х вЂ” х)+ у'(1' — у) = О, (9) — 1.+у (У вЂ” у) — у'=О.
Исключая из этих уравнений параметр х, мы получим уравнение, связывающее Х и г'. Это и будет уравнение огибающей семейства нормалей, т. е. уравнение эволюты. Можно поступать и иначе, а именно, решая систему (9) относительно Х и У, мы выразим по- следние через параметр х, т. е. получили параметрическое уравнение вволюты у'(1+у') 1 +1+ум У У (10) Если уравнение кривой (Е) задано само в параметрической форме, то надо в формулах (10) вырааить производные от у по х через дифференциалы переменных [1, 74]: „(лд'1 1~У, ~цх) ЛлУ Лх — Ллх ЛУ У= У= Лх дх ах' и, подставляя эти выражения в (10), получим параметрическое уравнение эволюты для этого случая: г(1 (Дх'+ ИУ'] Фу дх — ллх Лу ' П р и и е р ы.
1. Найдем лволюты эллипса '-в,+ал —— 392 ГЛ. Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОИ ГЕОМЕТРИИ [1аа 393 ч 22 кРиВые ИА плОскОсти и В пРОгтРАнстВВ таз) Написав уравнение эллипса в пзраметрнческой Фппче х~~асозт, у=Ьнпт н подставляя в уравнение (11), найдем после несложных вычислений: а' — Ь' а' — Ьа Х = — сова с, У = — — мп" с. а Ь Исключим пзраметр с из этих двух уравнений. Умножая первое из уравне- 2 ппй на а, второе на Ь, возводя в степень — и складывая, получим уравнение 3 зволюты эллипса в неявной форме: 2 2 2 2 2 азХз ( Ьз Уз (аа Ьа) Нетрудна, пользуясь этими уравнениями Рис.
100. Рис. 99. построить зволюту эллипса. Заметим, что в вершинах эллипса его радиус кривизны принимает наименыпее и наибольшее знзчения, и в соответствующих точках эвоаюта имеет особые точки, а именно точки возврата (рис. 99). 2. Найдем эволюту параболы у = ах'. Пользуясь уравнениями (1О), получим без трупа ,(паха ) = + Зах'. 1 2а Искшочая отсюда параметр х, получим уравнение зволюты параболы в явной форме (рис. 100): 2 1 3 У= + — „.Х 2У 2а 3. Рассмотрим циклоиду х = а (С вЂ” а)п С), у = а (1 — ссм С).
Пользуясь формулами (11), найдем для ее эволюты нараметричесхое уравьсние Х = а (С + з1п С), у = — а (1 — соз СЬ 894 гл. ч. основы диевввснцилльноп геомитгии 1134 Нетрудно показать, что этл кривая будет такая же цяалоида, что и заданная кривая, но иначе Расположенная относительно осей (рис. 101). Рис. 10!. Действительно, полагая Г = л — и, последние формулы можно переписать в виде Х+ ая = а (т — а1п т), У+ 2а = а (1 — соэ л), опсуда н следует непосредственно наше утверждение.
134. Эвольвента, Сама кривая (Е) по отношению к своей эво« люте (1.,) называется эвольвенглой. Иа свойств эволюты нетрудно получить правило построения эвольвенты !и ьг по ыданной эволюте. Если С вЂ” перемена ная точка на (А,) и а, — длина дуги этой кривой, то, откладывая на касательной к (Е,) в точке С в отрицательном на- С правлении отрезок СМ=а, + а, где а— некоторая постоянная, получим геометрическое место (Е) концов М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
