Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 76
Текст из файла (страница 76)
КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 401 3331 Френе: (28,) Рассмотрение подвижного триэдра дает непосредственно п = — 1 г( Ь, и, дифференцируя по 3, получим аи 1 1 1 1 — = — — п Х 13 — — 1)(п= — — 1 — — )ь Р Это дает три последние формулы Френе: 1 Ь Ь ат т тг (28,) г!3 Р 3 Вз Р 3 йз откуда видно, что а, р и 7 суть постоянные.
Но, как известно ~1, 160], нзправляюшие косинусы касательной а, р и 7 равны соответственно —, — и —., и рав эти производные — постоянные, то сами вх ау ыг и'3 ' а'3 аз' координаты х, у, В суть полиномы первой степени от в, т. е. линия есть действительно прямая. Точно так же нетрудно покавзть, что если вдоль кривой кручение равно нулю, то эта кривая есть илоская кривая.
188. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, определяемая векторами 1 и п, называется соприкасающейся плоскостью кривой. Нормалью к этой плоскости служит вектор Ь. Найдем выражения для направляющих косинусов этого вектора. Ввиду того, что это — единичный вектор, его направляющие косинусы Равны его составлЯющим Ьх, Ь„Ь,. Иа фоРИУл (17) вытекает аз= Ьх =стиг !гну~ рз = Ьу = Тгнх — Тхаг Тз= г=ху —,х (29) , их,...— составляющие векторов 1 и п. Но, как мы видели в"ше 1„1н 1, пропорциональны Ых, йу, йг, а н„нн и,— пропораэх агу зрг циональны составляющим вектора М, которые равны —, — и— ггзг ' азз вз" Польауясь формулами (28), нетрудно показать, что если вдоль линии (Е) кривизна — равна нулю, то это есть ирялзая линия.
1 Р 1 Действительно, тождество — = О дает Р хг Т н — = — = — =О, г13 аз дз 402 ГЛ. Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ рвэ а эти последние в свою очередь, в силу (24), пропорциональны разностям г)ах грз — в~эх а~х, в>эу г(з — г(эз оРу, г(э« огз — йз г1«.
(30) Заменяя в формулах (29) Р„, Ру, Р, на Ых, огу, Ы«; п„ и„, и, — разностями (30) н производя сокрашения, убедимся в том, что напрапляюгцие косинусы бинормали пропорциональны выражениям А = Ыу огэ« — ог«г(эу, В = г(«г(>х — Ых У«, С = г(х апу — г(у в>эх, (31) которые мы ввели выше 1136).
Обозначая через (х, у, «) координаты переменной точки М кривой (~), можем написать уравнение соприкасающейся плоскости в виде А (Х вЂ” х) + В ( У вЂ” у) + С(Л вЂ” «) = О. В тех точках, где длина 1Х)=0, т. е. Р=ОО, все три величины (31) равны нулю, как это следует нз (27), и соприкаса>ошаяся плоскость не определена. Не определено и направление главной нормали и бинормали.
139. Интовые линии. Пусть имеется пияиндр с образующими, параллелы|ыэн оси ОЛ, н пусть (!) есть его направляющая, лежащая з плоскости ХОУ (рп 105), Введем в Рассмотрение длину дуги а кривой (1), отсчитываемую от точки А пересечения этой кривой г с осью ОХ в определенном направлении, и положим, что уравнение направляющей будет х=т(а), у=ф(а). (32) Откладываем на (1) некоторую дугу ААГ и строим отрезок ЯМ=да, параллельный оси ОХ, причем А есть онреде. ленный численный коэффипиент (ход винта).
Геометрическое место точек М дает винтовую линию (Ц, начерченную л' Х па нашем цилиндре. Параметрические уравнения этой линии будут очевидно Рис. 105. х=р(а), у=ф(а), «=Ла. (33) Пусть э — длина дуги кривой (Л), отсчитываемая от точки А. Имеем ела =ах'+ г>уа+ гтла = (р" (а)+ ф'."(а)+ Аа) П*'. Но а'(а) и ф'(а) равны косин>су и синусу угла, образованного касательной к кривой (1) с осью ОХ (1, 70), а потому р'(а)+ф'(а)=1, и предыдущую формулу можно переписать в виде бэ = )У 1+ М Ла, а=)/1+лая. откуда $11, кРиВые ид плОскОсти и В пРОстРАистВВ 403 199! Опреаезии теперь косинус >гла, образованного касательной к (Ц с осью 022 дг сг да й = дз = да дг = > 1, „а 1 это дает первое свойстпво винсповой линии: касаспельные к винпсовой линии образуюш иосшоянный угол с некоторызг неозыенныэс направлснпелп Обратимся к третьей пз формул (2В).
В данном случае опа дает О= — изп Т,=О, Т~ Р и, следовательно, главная нормаль винтовой лшши перпендикулярна к осп ОЕ, т. с. к образующей цилиндра. Но опа, с другой стороны, перпспдик>- ларив к касательной к винтовой лшпш. Образующая цилиндра и касательная к винтовой линии определнют, как нструлио видеть, касательную плоскость к цилиндру во взятой точке на винтовой линии, и пз предыдущего вытекает, что главпан нормаль винтовой линии перпсидик1ляриа к этой касательной плоскоспь Мы получаем таким образоч вшорое свойство впнсповой линиит главная норл аль к воншовой линсссг во все.г ее, шочкал говпадаеш с нормалью к цилиндру, на кошоролс эша встн(новая линия начерчена. Теперь обратимся к косинусзм Т, Тп Т, — углов, обрззоввпных осью 07 с направзс~пями подвижного триэдра винтовой линии.
Принимая во внимание, что Та+У)+У)=1 и что Т и Т,— настоянные, как мы видели >Оке, мы мотком заключить, что и Т, есть величина постошэная. Третья из формул (28а) ласт, в пашем случае,— — — — =О, откуда мы видим, что отношение Та Р— есть величина постоянная; итак, имеем трюпье саойсшво виншовой ли- Р пиит вдоль аннасовой линии отношение радиуса кривизны к радиусу кручения ссорь величина посшоянная. Обозначим буквой г радиус кривизны плоской кривой (!). Принимая во внимание, что квадрат кривизны равен сумме квалратов вторых производных от координат по длине дуги, мы ляжем написать — = Т"а(а) + ф (а) Г' откуда Ч" а (а) ф"' (а) + у)~ + (1+ А')' (1+ й')е г" нли Р=(1+де)г, т.
е. ради>с кривизны винтовой линии отличастсн от ралиуса кривизны направляющей в соответствующей точке лишь постоянным множителем. Если цилиндр круговой, т. е. направляющая (1) есть окруж~~сть, то г — постоянно, следовательно, и Р— постоянно, но тогда, согласно третьему свойству, и т тоже есть постоянная величина, т. е. викшовая линия на кр»говож циликдре иыееш постоянную кривизну и постоянное кручение, В заключение выясним еще одно важное свойство винтовых линий.
Ово за"лючается в том, что если взять на цилиндре две точки, то кратчайшее 404 ГЛ.Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ (нв рзсстояние между этими двумя точками нз цилиндре будет даваться винтовой линией, проходящей через эти две точки. В этом отношении винтовые линии на цилиндре совершенно аналогичны прямым линиям на паоскости. Указанное свойство обычно выражают, говоря, что винтовые линии суть геодезические линии цилиндра. Вообще геодезическими линиями на заданной поверхности называют линии, дающие кратчайшее расстояние между двумя точками позер»пассии. Если мы развернем цилиндр на плоскость ХОУ, поаорачиваа его вокруг образующей, проходьщей через точку А, то, в силу того, что отношенйе 1 д)ти А)У к отрезку ЛЪ! сохраняет постоянное значение — винтовая линия й' на плоскости окажется прял~ой линией.
При указанной развертке цилиндра на плоскость длины сохраняются, н упомянутое выше свойство винтовой линии — давать кратчайшее расстоянйе на цилиндре — становится очевидным. Замети»ц что это свойство стоит в непосредственной связи со вторым свойством винтовой линии, т.
е. с тем фактом, что главные нормали винтовой линии совпадают с норл1алами к цилиндру. В геометрии вообще доказывают, что главные нормали к геодезической линии на любой поверхности совпадают с норлгалями к этой поверхности. 140. Поле единичных векторов. Пусть 1 — поле еаиничных векторов, т. е.
в каткдой точке пространства задан единичный вектор 1. Выведем простую и важную формулу для вектора кривизны )Ы векторных линий этого полн. Вводя координаты (х, у, г) и длину д)чи з векторной линии, мы можем написать «х «у «г Определим составляющую дл вектора кривизны дгх «х дгл «у дг„«з х «з дх «з ду «з дг «з или дгх дгл дгх х д» х+ д т+ д 3' Дифференцируя тожлество ге +с',+ г'=1 по х, получим д~» дгт дге Вычитая зту сумму из полученного выше выражения тт)л, можем переписзть его в виде т. е. )Ух=(го11 Н 1), и то же самое, очевидно, получится п для двух других составляющих, что и дает исколсую формулу для вектора кривизны векторных линий: )т) = го1 1 Х 1. (34) Дла того чтобы линии были прялсыми, необходилш и достаточно, чтобы 1 длина (т) т. е.
кривизна —. была равна нулю (1Зуф Отсюда видно, что для г 405 а !з. элементы теОРии пОВеРхнОстей см! спало атаби лектариыг линии единичного поля 1 били прямые, необхо- дима и даспгаточно, чтобы го!1 )С 1=0. (35) Кроме того мы видели, что длн существовании семейства поверхностей, ортогональных «вс«торным линиям, необходимо и достаточно (!22) го)1 1= 0. (36) Совместное выполнение условий (35) и (36) возможно лишь в случае го!1=0, ибо если этот вектор отличен от нуля, то условие (Зб) равносильно параллельности векторов го!1 и 1, а условие (36) равносильно нх перпенди«улнрности. Отсюда следует, что векгпарнме ликии лола едииичнмх лектарол 1 будут нормалями к некоторому семейству поверхностей лшиь в снам случае, когда го!1=0.
Это предложение играет важную роль при изложен|и начал ссометричес«ой оптики. й !3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 141. Параметрические уравнения поверхности. До сих пор мы рзссматривали урзвнение поверхности в пространстве с координатными осями Х, У, Л в явной форме «=у(х, у) или в неявной форме гт (х, у, а) = О. (37) Можно написать уравнения поверхности в параметрической форме, выражая координаты ее точек в виде функций двух независимых переменных параметров и и о: хт Р(11, о), у=ф(и, п), а=м(гг, 11). (38) Мы будем предполагать, что эти функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные до второго порядка в некоторой области изменения параметров (и, о).
Если подставить эти вырамсения координат через и и о в левую часть уравнения (37), то мы должны получить тождество относительно и и о. Дифференцируя это тождество по независимым переменным и и о, будем иметь дРдт сдРдф, дРд 0 дхди' дуди'дг ди дРдчсдРдф дРдч дхдо'дуда дг да Рассмзтривая эти уравнения как два однородных уравнения отно- дР дР дР сительно — — — и применяя алгебраическую лемму, упомянутую дх' ду ' дл в 1116), получим й — некоторый коэффициент проп орциональности.
406 гл. ч. основы диээсояссцилльноп гсолсвтони рм Мы считаем, что множитель сс и по крайней мере одна из разностей, стоящих в правых частях последних формул, отличны от нулю Обознзчим для краткости нзписанные три разности следующим образом: дф длл ди дф д(ц «) дл до дг дл д(«, х) ди до ди до д(и, о) ' ди до ди до д(и, о)' дч дф дф ду д(х, у) ди до ди до д(и, о)' Как известно, уравнение касательной плоскости к нашей поверхности в некоторой ее точке (х, у, «) можно написать в виде [1, 1601 дР— (Х вЂ” х) + — ( У вЂ” у) + и- (2 — «) = О, дг" дг" дг" дР дг или, заменяя — — — пропорциональными величинами, можем педх' ду ' д« реписать уравнение касательной плоскости так; Коэффициенты в этом уравнении, как известно, пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
