Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Нетрудно Са показать, что это геометрическое место и й,) будет искомой эвольвентой (рис. 102). Рис. 102. Чтобы обнаружить это, достаточно дока- вать, что отрезок СМ будет служить нормалью к кривой (Е). Пусть, как и выше, г и г, — радиусы-векторы кривых (Е) и ().,), 1,— единичный вектор касательной к (1-~). По построению г=г, — (а,+а) 1ь откуда, дифференцируя по аь Сг «1, аг а'1, — =1, — 1, — (а,+а) — ', то есть — = — (а, +а) — ', лэ, Фэ,' аэ~ аэ~ Отсюда видно, что вектор —, параллельный касательной к (Е), и'г Иэ,' а1, в то же время параллелен вектору †', т.
е. параллелен нормали Фэ, ' к (у.,), а отсюда следует, что касательная СМ к (~,) есть нор. маль к (Е). $ кь кРиВые нл плОскости и В пРОстРанстВВ 393 1551 136. Естественное уравнение кривой. Вдоль всякой кривой кривизна есть определенная функция длины дуги (12) Покажем, наоборот, что всякому уравнению вида (12) соответствует одна определенная кривая. Действительно, выберем какое-нибудь направление за направление оси Х и пусть у есть угол, обра- 1 пв зованный касательной кривой с этой осью. Как известно, — = +' — „ р И'5 ' и уравнение (12) дает — '-=+ У[5), я'5 откуда 7 = -+- ~ т (5) ага+ С.
а Можно считать, что направление оси ОХ совпадает с направлением касательной при 5=0, так что в последней формуле мовьно считать С=О, т. е. мы получаем выражение для угла р: 5 е=.+.Р[5), где Р(з)=)г" [5)в15. о Далее мы знаем, что [1, 70) и'.х И5 — = соз чь Иа — = 51П 1ь, откуда, в силу предыдущего равенства, у = + ~ 51п [Р (5)) ~Ь + См х=~ соз [Р[5)]115+С„ Помещая начало координат в точку кривой, для которой 5= О, мы должны будем считать С, = Ся — О и получим вполне опреде.
Мы можем придавать произвольное значение постоянной а в форыулеСМ=5,+а, а потому можем получить бесчисленное множество эвольвент для заданной эвол1оты. Из самого способа построения следует, что любые две эвольвенты будут иметь общие нормали и что отрезок нормали между этими двумя эвольвентаьпи будет сохранять постоянную длину, равную разности значений постоянной а, соответствующих Взятым эвольвентам. Такие две кривые называ1отся иараллельнылт кривылги. !13а ГЛ, Ч.
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНБИАЛЬНОЯ ГЕОМЕТРИИ ленную кригую х = ~ соз [р(з)[с(з, у=-1- ~ гбп [р(з)[ с(а. (121) а и Двойной знак дает только симметрию относительно оси ОХ. Мы показали таким образом, что уравнению (12) может соотгетствовать определенная в указанном выше смысле кривая и что гри выбранной системе координат уравнения (12,) должны давать параметрическое вадание этой кривой. Петрудно проверить, что, действительно, для кривой, определяемой уравнениями (12,), кривизна имеет значение, определяемое формулой (12). Уравнение (12) называется естестаеннылс ураенением кривой в том смысле, что уравнение это не связано ни с каких! случапнсям гыбором осей координат н ему соответствует одна вполне определеннзя кривзя (с точностью до симметрии).
П р и и е р ы. 1. Если урзвнеине (!2) имеет зил — =С, т. е. радиус кри- 1 Р гиэны Р есть величина постоянная, то, как мы знаем, такому уравнению ) дозлетворяет окружность [1, 7![. Из предыдущего следует, что окружиисть есть единственная кривая с лостояннылс радиусом кривизны. ! 2. Положим, что кривизна — пропор- Р пиональиа длине дуги 1 д — = 2аз, Р где 2а — положительный коэффициент иропорниоиальности. Предыдущие вычисления дадут а данном случае к=~соя!аз')с!з, у=~оп(аз')дз. (13) и В силу сходимости интегралов [86[ )соз(аз') дз, ~ яп(аз') дз Ь Ь можно утверждать, что при беспредельном возрастании з кривая будет стрелниься к точке плоскости с координатзмн, равными значениям вышснаиисанных интегралов, причем оиз будст спиралеобразно закручиваться вохр)т втой точки (рис.
103), Если в формулах (!3) будем придавать а и отрииательные значения, то получим часть кривой, солсржащуюся в третьем координатном угле. Полученная здесь кривая называется спиралью Корню. Оиа встречается в оптике. 136. Основные влементы кривой в пространстве. Кривая (Е) в пространстве может быть определена заданием переменного радиуса- вектора г(1) из начала в переменную точку кривой ТИ (рис. 104). % !2. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 397 ! За! Принимая за параметр 1 длину дуги кривой з и дифференцируя г по з, получим единичный вектор касательной к кривой [119! — =1 а'г дз (14) ! Ы= — п.
Р (16) Введем еше один единичный вектор, перпендикулярный к 1 и и: Ь=1Х' (17) Этот вектор называется единичным век!па- рис. 104, уолг бинорлгали. Три единичных вектора 1, п и Ь, имеюших ту же ориентировку, что и координатные оси, составляют, как говорят, перел1енный трпэдр, связанный с кривой (А). Если кривая плоская, то векторы ! и и находятся в плоскости кривой и, следовательно, единичный ~ектор бинормали Ь есть постоянный вектср длины единица, перпендикулярный к плоскости кривой. Для кривой неплоской производная — харзктеризует отклонение кривой от плоской формы и дз называется векторолг кручения.
Докажем, что векигор крученая параллелен главной нормалп. Согласно формуле (17) — =Ь[ Х и+1Х вЂ”. дЬ дп аз дз ' Но векторы М и и совпадзют по направлению, и, следовательно, их векторное произведение равно нулю, т. е. дЬ дп — =1Х вЂ”. аз= аз' дЬ откуда вытекает перпендикулярность векторов — и 1. С другой стоа'Ь Роны, как всегда производная единичного вектора — перпендику- Э дз (18) Производная от 1 по з называется векторолг кривизны: — =Х, ат да (15) 1 и длина этого вектора кривизны дает кривизну кривой †, а обрат- Р ная величина р называется радпусом крпвпэны. Как и в случае плоской кривой, вектор Ь[ перпендикулярен к 1, и направление вектора Ь[ называется направлением главной нормали кривой.
Вводя единичный вектор главной нормали и, можно написать 898 ГЛ. 7. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОИ ГЕОМЕТРИИ 1таа иь лярна к самоыу вектору Ь. Таким образом вектор „—, перпендикулярный векторам 1 и Ь, будет действительно параллелен вектору п, н мы можем записать иь — = — и, иа (19) Г=х(+у)+Лс, 1= — 1+ — 1+ — „К, откуда для длины вектора Р1 получим (20) Из формулы (19) вытекает, что кручение — можно выразить как 1 скалярное произведение 1 иЬ я иа или, в силу (18), Заменяя и его выражением из формулы (16) п=рь1, получим 1 Где численный козффициент — называется нрученпел1 кривой, а об.
ратная величина т — радиусом кру1ення, или раднусол1 второй мрп- 1 внзны. Заметим, что величина — может быть кзк положительной, так 1 и отрицательной, в противоположность кривизне —, которая всегда не отрицательна. Существование вектора касательной, вектора кривизны и вектора кручения связано, конечно, с существованием производных, через которые они выража1отся. Выведем теперь формулы для вычисления кривизны и кручения.. Вводя координатные оси ОХ, ОУ, ОЛ и соответствующие им единичные векторы 1, 1 и к, можно нзписать $15.
КРИВ|ЯЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 399 !551 Но векторное произведение 1 )( Х перпендикулярно вектору Я, а потому первое нз слагаемых в последнем выражении равно нулю, н мы получаем —,=Р'(1Х вЂ”,) М, пли, перестзвляя множителя в векторном произведении, —,= — Р''(«, Х1) 3|. Совершая круговую перестановку векторов и пользуясь форму лами (14) и (13), получим окончательно (21) Заметим, что коэффициент пря ( — рз) есть объем параллелепипеда, »г змг «зг построенного на векторзх — †,, — 11171 »з ~ «55 «55 Возвратимся к формуле (20) для кривизны.
В ней предполагается, ло координаты х, у, л выражены как функции длины дуги. Преобразуем теперь формулу (20) к новому виду, годному для л|обого параметрического задания кривой. Для этого нам надо будет вырааять производную от коордвнат по длине дуги через дифференциалы координат. Дифференцируя формулу азз = г(х'+»уз+»гз, (22) получим (23) «5»зз = «х «зх+ «у»зу+ «г «зг. Кроме того, имеем [1, 74) Их»зх»5 «55 «х «зу «зу «з — «55 «у «55 «'3 «3 »'5 «з -2 . (24) «55 ю»55 55 Подставляя это в формулу (20), будем иметь в силу (22) 1 г «55((«зх)5+(»5У)5+(«з)) — 2«5 «55(«х «зх+«У «5У+ «з «зг) +(«55)5«55 нлн, в силу (22) н (23), | («х +»у + «з) [(»зх) + («-'у) + (»зз)51 — («х «зх + «у»зу +»5»55) (23) 400 гл. ч.
ОснОВы диФФеренцнальнои Гяометрин нз\ Применяя это тождество к числителю в выражении (26), можем на- писать окончательную формулу для квадрата кривизны 1 А'+ В'+ С' рз 1«лз+ «уз+ «гз)з (27) где А = ау «зг — с(г «зу, В= «г «зх — «х «зг, С= «х «зу — «у «зх. Если кривая (Ь) есть траектория движущейся точки, то вектор скорости определится нз формулы «т «5 ч = — = — т. «с «г Дифференцируя еще раз по времени, получим вектрр ускорения «Ч «'5 «3 ж= — = — 1+ — ° —, «г «т' «с «с ' наи, в силу (15) и (16), «'З «З «З «т ЛФЗ О' / «З 1 тч = — т+ — — — = — 1+ — и 1ч= — ), И' «с гй «з «г' р 1 «г)' откуда видно, что вектор ускорения имеет составляющую по касательной, Рз Чз рзвную — и по главной нормали — равную — а составляющая по бниор«гз ' Э мали равна нулю. 187.
Формулы Френе. Введем обозначение для направляющих косинусов осей подвижного триэдра относительно неподвижных координатных осей, указанное в прилагаемой таблице. Формулы Френе дают выражения производной от написанных девяти направляющих косинусов по ж Составляющие единичного вектора суть и, р и 7, и формула «т 1 — =М= — п «а дает первые три формулы Френе: ««у а, «) 6, «1 т, — — — — — — (28) «з р ' «з р ' «з р ' Точно так же формула (19) приводит к следующим трем формулам Вспомним теперь элементарное алгебраическое тождество, необходимое нам в дальнейшем [116]: (а'+ Ь'+ с') (а,'+ Ь,'+ с,') — (аа, + ЬЬ, + сс,)' = =(Ьс, — ЕЬ,)'+ (са, — ас,)з+(аЬ, — Ьа,)'. (26) % 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
