Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Положение перелсеиной точки Л4 на поверхности харасыернзуется значениями параметров сс и о, и эти параметры называются обычно координатами точек поверхности или координатными параметрами. Придавая параметрам и и о постоянные значения, получим два семейства линий на поверхности, которые мы назовем координатными линиями повепхности: координатные линии и = Си вдоль которых меняется только о, и координатные линии о= С„ вдоль которых меняется только и. Эти два семеиства координатных линии дают координатную сетку на поверхности. В качестве примера рассмотрим сферу с центром в начале координат и радиусом сс. Параметрические уравнения таков сферы могут быль написаны в виде х = сс 51п и со5 о, у = сс зсп и 51п 'о, « = сс соз сс, Координатные линии и=С, и о=С, представлясот собой в данном случае, очевидно, параллели и меридианы нашей сферы.
Отвлекаясь от координатных осев, мы можем охарактеризовать поверхность переменным радиусом-вектором г(и, о), идуссслыс из постоянноп точки О в переменную точку Л4 нашей поверхности. Частные производные от этого радиуса-вектора по параметрам ги и го дадут, очевидно, векторы, направленные по касательным к коорди натным линиям. Составляющие этих векторов по осям ОХ, ОУ, ОЯ $11 ЭЛЕМЕИТЫ ТЕОРИИ ПОЭЕРХИОСТЕЙ Ы11 будут, согласно (38), о„', ф„', в>,', и ф'„, ф„', щ,', и отсюда видно, что коэффициенты в уравнении касательной плоскости (39) суть составляющие векторного произведения г„'>(г„. Это векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к касательным г„и г„т.
е. вектор, направлеш!ый по нормали поверхности. Квадрат длины этого вектора выра>каегся, очевидно, скалярным произведением вектора г„,'>( г„на самого себя, т. е. проще говоря, квадратом этого вектора'). В дальнейшем будет играть существенну!о роль единичный вектор нормали к поверхпост~, который мы мом!ем, очевидно, написать в виде г,',Х г,' !и= у'(г,', Х г„')з (40) Из>геняя порядок сомножителей в написанном векторном произведении, мы получим для векторз (40) противоположное направление.
!1!ы будем в дальнейшем определенн!зм образом фиксировать порядок множителей, т. е. будем определенным образом фиксировать направление нормали к поверхности. Возьмем на поверхности некоторую точку Л и проведем через эту точку какую-либо кривую (й), лежащую на поверхности. Эта кривая, вообще говоря, не координатная линия, и вдоль нее будут меняться как и, так и О. Направление касательнцй к этой кривой будет опредепг' ляться вектором г„ + ㄠ†, если считать, что вдоль (Е) в окрестности "пи' точки Л4 параметр О есть функция от и, имеющая производну!о. Отсюда видно, что направление касательной к кривой, проведенной на поверхностгг, в какой-либо точке А4 эпгой кривой, вполне характеридо вуетсп величиной — в втой точке. При определении «асательной сга плоскости н выводе ее уравнения (39) мы считали, что функции (38) в рассматриваемой точке и ее окрестности имеют непрерывные частные производные и что, по крайней мере, один из коэффициентов УРавнения (39) отличен от нуля в рассматриваемой точке.
Если †"' и' -0 при гс = из, и = оа, то то же будет иметь место п(х, у) п(и, о) и в некоторой окрестности указанных значений. Согласно первым двум из формул (38) эта окрестность перейдет в окрестность значений хз=гг(гг„пз), У,=ф(из, эз), и длЯ значений (х, У), достаточно близких к (х,, у,), первые два из уравнений (38) могут быть решены относительно и н и [$, 157), т. е. (и, О) могут быть вырам!ены чеРез х и у. Подстановка этих выражений в третье из уравнений (38) дает в окрестности рассматриваемой точки уравнение поверхности в явной форме в=ге(х у). г ) Вообще, ссли А есть некоторый вектор, то мы будем обозначать чгйсз А' квадрат длины этого вектора, т.
е. скалярное произведение А А. 408 ГЛ. Я ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНПИАЛЬНОй ГЕОМЕТРИИ пьа 142. Первая дифференциальная форма Гаусса. Рассмотрим теперь квадрат дифференциала дуги какой-нибудь кривой на нашей поверхности дат = ахг + г(уг + дгг = =(д — йг+ — 'сЬ) +(д. йг+д — сЬ) +(д — ди+<ядо) Открывая скобки, будем иметь так нааываемую пеРвую дифференциальную форму Гаусса: Ыа' = Е(и, о) йр + 2Е (и, о) аи сЬ+ О (и, О) дог, (41) где Е(и, о)=(д — ) + (д — ) +(д — ) е дх дх ду ду дг дг Е(гп о)= — — + — ° — + — ° —, ди до ди до ди ~Ь ' ( ) (дх)Я+ (ду) + (дг)Я (42) или Е=г„' г,', О=г,",. Е= г„', (42,) Имеем для квадрата длины вектора г дх ду ду дх1Я + 'тди ди ди до! Совершенно так же, как и в (131), мох<но показать„что равенство нулю коэффициента Е является необходимым и достаточным условием того, чтобы координатные линии и=С, и О=С были взаимно перпендикулярны. В этом частном случае криволинейные координаты и, о на поверхности называются ортогональныхгн ноордггнаталш.
Выведем теперь выражение для элемента площади поверхности через коэффициенты выражения (4!). Рассмотрим на поверхгюсти малую площадку, ограниченную двумя и парами близких координатных ли- ния (рис. 106)..Пусть (и, о) — ко. л С о+да ординаты основной вершины А. и де Стороны А() и АВ будут соответственно г„ йг и г„' до. Принимая рассматриваемую малую плоРнс. 106. щадку за параллелограмм 1ср.
60), мы можем написзть вырзженне площади этого параллелограмма как длины вектора, получаемого при векторном перемножении упомянутых векторов, т. е. дЕ = ! г„' йг )с,' г„' сЬ ! = ~ г„' )с,' г„'( дп Ып. 409 з за. элвминты творим поверхностен 143! откуда, в силу тождества (26) иа 1!36], (г„' Х г,')' = ЕΠ— Ег, (43) Точно так же, подставляя (43) в формулу (40), можем написать выражение единичного вектора нормали к поверхности в виде г„' Х г„' )Г ЕΠ— Е" Заметим, что, в силу (43), разность ЕΠ— Ез положительна. (45) 143.
Вторая дифференциальная форма Гаусса. Рассмотрим какую-нибудь линию (Е) нз поверхности и пусть 1 — ее единичный вектор кзсательнои. Он, очевидно, перпендикулярен к единичному вектору нормали к поверхности, т. е. 1 в=О. Лифференцируя это соотношение по длине дуги з кривой (Е), будем иметь ит йв 1 ~йп из пз —.в+1 ° — =0 или — (п п!)+1 ° — =О, р из где р — радиус кривизны и п — единичнып вектор главной нормали кривой (Е).
Предыдущее равенство можно переписать в виде и ° в иг йп — — — — или р дз' дз созе дг йв дз где ~р — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой (Е). Выражая дифференциалы Ыг и йп через координатные параметры и и и, можно написать ссз т — (ги гти + гь ии) . (гли Ии + ш,' йв) (46) Раскрывая в числителе скобки, получим вторую дггффвренцпальную Фора!у Гаусса: (ги Й! + гз (Ко) (пги Йг+ !Пи сКо)— = Е (гг, и) йпз + 2М (и, п) йи г!и+ И (гг, о) с!пз, где 1, .
! Е= — г„' в„', М= — — (г,' в„') — — (г,' в,',), Ф= — г,' в.' " ФОРмула (46) окончательно примет вид соз т А ди'+ 2М гги до+ ЛГ низ р Е гри" + 2Е Ии йи+ О низ ' (47) (48) п для элемента плошади поверхности будем окончательно иметь г(8= ъ/ЕΠ— Рг7пг7п. (44) 410 ГЛ.
Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИЛЛЪНОП ГЕОМЕТРИИ паа Укажем теперь другие выражения для коэффициентов Ь, т)4 и М. Дифференцируя очевидные соотношения г„' в=О, г,' ГИ=О по независимым переменным и н о, получим четыре соотнопгенпя г,'„щ+г,', т,=О, г„и ш+г„' ш„'=О, г,",. ш+г,', ГН„=О, г,и в+г,.|п,',=О, и отсюда можем, вместо формул (47), написать следующие выражения для коэффициентов второй дифференциальной формы Гаусса: Д = г„"и ш, )ч'= г",. ш, 54= Гии 1П вЂ” — Ги'П3и= Ги'Ши.
(49) Вспоминая выражение (45) для вектора щ, можем переписать равенства (49) в виде г„", ° (г,', Х г„') )~'В0 — Г' г", ° (г„' Х ги) Г' Е0 — Ри г,",, ° (г,', Х г,') и и У В0 — Г" (50) рассмотрим теперь тот случаи, когда уравнение поверхностн дано в явном виде (51) е=г(х, у). В данном случае роль параметров играют ж и у, и мы будем иметь следующие выражения для составляющих радиуса-вектора и его производных по параметрам: г(х, у, г), г„'(1, О, р), г',(О, 1, д), гии(0, О, Г), г„(0, О, з), гу.(0, О, 1), ГДЕ ду д'У д-У дЧ 9=а '=) " '=д ) ' д' у х ху у' Применяя формулы (42,) и (50), получим выражения коэффициентов в обеих формах Гаусса: а=1-4-дэ, Е= )т'=, (53) У 1+д*+ У 1+д'+4' Выберем теперь координатные оси определенным образом, а именно поместим начало координат в некоторую точку А, на поверхности> 411 о!!.
элементы тиогни повеяхностеи !о41 оси ОХ и ОУ возьмеч в касательной плоскости к поверхности в точке А, и ось ОЛ направим по нормали поверхности. Значкоо! нуль будем обозначать тот факт, что соответствующая величина взята в точке А,. При сделанном выборе координатных осей косинусы углов, образованных нормалью к поверхности с осями ОХ и Ог', будут в точке А, равны нулю, мы получим ]65] ро =по= О, и формулы (53) дадут в точке А,: Во=го Мо=во о!о=(о (54) 144. О кривизне линий, начерченных на поверхности. Вернемся к рассмотрению формулы (48). Ее правая часть зависит от ви значений коэффициентов двух форм Гаусса и от отношения —. Поди' следнее обстоятельство станет непосредственно ясным, если разделять числитель и знаменатель на аио.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
