Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 73
Текст из файла (страница 73)
е. частная производная по времени, характеризует изменение величины в данном месте, а второе слагаемое является результатом движения самой среды. Мы установим теперь некоторые формулы для дифференцирования интегралов по областям, связанным с движущейся средой. В данном случае зависимость величины интеграла от времени будет иметь место как вследствие того, что подынтегральная функция зависит от Г, так и потому, что область интегрирования меняется с течением времени. Мы можем здесь при вычислении производной по Г считать эту двоякую зависимость от Г за аависимость двух переменных и применить правило дифференцировании сложных 13ж Операция дифференцирования для случая переменного поля. Положим, что мы имеем в пространстве некоторое скалярное поле У(г, М) или векторное поле А (Г, М), причем в обоих случаях это поле меняетея с течением времени, т.
е. в каждой точке величина скаляра или вектор суть функции времени г. Положим, кроме того, что все пространство находится з движении, которое характеризуется полем вектора скорости ч. Последний вектор мы также считаем зависящим от врел1ени. Буделл следить за изменением величины У с течением времени. Мы ион<ем сделать это двояким образом.
1, фиксируя свое внимание на определенной точке пространства, мы б> дем определять скорость изменения величины У в этой точке пространства. дУ Таким образом мы придем к частной производной — которую можно над« звать локальной цронзлодяой, поскольку мы связываем себя с определенным местом пространства. 2. Иначе мы можем определить скорость изменения величины У, фиксир)я свое внимание на определенной частичке движущейся среды (субстанции).
Прн этом мы должны, дифференцируя по времени, принимать во знпмзние и движение самих точек среды, т. е. мы должны дифференцировать величину У не только непосредственно по Г, но также и через посредство координат (х, у, «) точки М Мы приходим в этом случае к полной производной или, как иначе говорят, к субстанциональной производной: дУ дУ дУ дх дУ ду дУ д«дУ дУ дУ дУ вЂ” = — + — — + — — + — — = — +о— о„+ — о + — о, дГ д« дхдх ду дс д«дс д« дх " ду У д« что мозгно переписать в следующей сжатой форме.' дУ дУ вЂ” — + ч йгаб У.
гй де (1! 4) Мы уже имели пример субстанциональной производной в [126[, где мы рассматривали полную производную по времени от плотности частицы движущейся непрерывной среды. точно так же для переменного вектора А (г, м) в движущейся среде будет иметь место формула г!А дА дА дА дА гй д« дх " ду У д« вЂ” ~ — + — о.т+ — о + — о 384 ГЛ.
1Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [)аз гю Каждый элемент л)8 поверхности (8), ограничивающей область (о), за прол(ежуток времени дт опишет объем дтоядЗ, где (я) — направлснис внешней нормали к поверхности (8) (1268 Деля на дг и добавляя слагаемое, происшедшее от изменении оодынте. гральной функции, получим выражение производной интеграла в виде -'.(, ~ ~ ~ () до = ~ ~ ~ —, до+ ~ ~ ио„д8, (ч) (ь) (л) откуда, применяя формулу Остроградского, будем иметь (116) ди д(7 Заменяя — его выражением через — согласно формуле (П4) и польдс да зуясь формулой (57,) (124) б(ч (()ч) = 0 ейч ч + ч ° 81 ад Ц можем переписать формулу (116) в виде — ~ ~ ~ (7((о = ~ ~ ~ ~ — + (7 дгкч(~ дз. (ч) (я) (117) 2.
Рассмотрим теперь производную от потока переменного вектора поля А(А М) через движущуюся поверхность (8): ~ ~ Ал88 сп Здесь (8) — некоторая поверхность, связанная с движущейся средой, и (я) — определенное направление нормали к (8). Одним нз слагаемых в искомом выражении производной будет д (118) Определим теперь второе слагаемое, происходящее от движения самой поверхности (8).
Пусть (!) — контур этой поверхности и дз — направленный функций [1, 69). Дело по существу приведется к принципу наложения бесконечно малых действий. Пройзводная от интеграла по г будет состоять из дв>'х слагаемых: первое саагаемое, вычисленное л предположении 'неизменности области интегрирования, определяется простым дифференцированием по Г под знаком интеграла (83],а второе слагаемое учитывает лишь аффект от изме. пения самой области интегрирования, и при его вычислении подынтегральная функция считается неизменной с течением времени.
Переходим к рассмотрению ряда случаев. 1. Пусть (о) — некоторый перел(енный объем и (7(Г, М) — скалярная функция. Установим формулу для производной 885 % 11. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1ЗЗ! „, еят этого контура, причем в дальнейшем мы определим направление контура РП (рпс. 94). За промежуток времени лг поверхность (3) опишет объем (Ыг), ограниченный тремя поверхностями: положением (3,) поверхности (5) в момент т, положением (3,+ю) поверхности (3) в момент 1+ г(т и поверхностью (3'), описанной контуром (!) за промежуток времени г(й 4(л) Элемент площади поверхности (3') будет 113' = [ й Х в [ гй.
Пусть (л) — направление нориали на (31) п (31,п), взлтое в однУ и тУ же стоРонУ, а (лу) нненйо положим, что на (5,+„1) оно направлено вовне объема (ЬР). Обозначим также черсз (и) направление нормали к (3'), внешней для (ЬЪ'), и придадим (1) такое направление, (51) чтобы лгз, к и (и) иа (5') имели ту же ориентировку, что и координатные оси. При этом (л) очевидно А„Ы5' = А ° (лгз х ч) гй, Рис. 94. так что 1рормула Остроградского дает нам А„г(3 ~ ~ А„Л5+ г(1 ~ А ° (лгз Х к) = ~ ~ ~ бгк А г(о. (119) '1З11 91 '(1'Ю Знак ( †) перед интегралом по (31) поставлен в силу того, что на (3,) нор- маль (и) направлена внутрь (ЬР).
Но, как известно [117[, А ° (г(з Х в) = гтз (в Х А) =(ч Х А), ал, где (в Х А), — проекции к Х А на направление г(з, и, следовательно, по фор- муле Стокса [11 А ° (бз Х в) = ~ (к Х А) г(э = ~ ~ го1л (в Х А) 1(3. [н 1З11 Разбивая объем (ЬР) на элементарные объемы т(о=па г(3 лг, где и†элемент площади поверхности (51), мы получим из формулы (!19): Ая лг5 — ~ ~ Ал 63 = ага ~ ~ [пл 111т А — гщл(ч Х А)[ Л5. Стгэж1 [511 1З11 Деля обе части на г(т и переходя к пределу, мы будем иметь то слагаемое в вырзжении производной, которое происходит от движениа поверхности (5).
Прибавляя еще слагаемое (118), получим окончательно — Ал л5= ~ ~ [ — "+ол б(т А+ го1„(А Х к)~ 65. (120) Ю 15~ Если (5) есть замкнУтаЯ повеРхносттч то в выРажении пРоизводной бУдет отсутствовать член, содержащий го1„(А Х в), и соответствующая этому случаю формула непосредственно вытекает иэ (116). Действительно, "усть (о) — переменный объем, ограниченный замкнутой поверхностью (5).
тя 386 ГЛ. \Ч, ВЕКТОРИЬ >Т АИАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [>ая Пользуясь формулой Остроградского и (116), получим — ~ Ал ((5 = — ~ ~ ~ Йч А((о= ~ ~ ~ ~ — Йч А+Йч(чйч А)~ >[о= <з> (ч) (ч) ~ б!ч [ — + ч йч А~ ((о= ~ ~ ( — "+о„йч А) д5. (ч) (з> 3. Рассмотрим теперь производную от циркуляцяи переменного вектора по движущейся ириной — ~ А,дз. (и Одним нз слагаемых в искомом выражении, как всегда, будет ((з. дА> д1 (121) (!) Определим теперь добавочное слагаемое, происходящее от дни>кения самой кривой, За промежуток времени Й кривая (1) опишет поверхность (65), ограниченную четырьмя линиями (рис.
95): кривой А,Аз, которая является положением (1Д линии (1) в момент времени 1; кривой В,Вз, которая дает положение (1>чн!) линии в момент 1+Й; наконец, кривыми А,В, н АзВ„ которые опишут концы А, и Аз кривой (1) за проне>куток времени д1, Формула Стокса дает А ,Ь ! ~ А >Ь вЂ” $ А (Ь + ~ Аз (Ь = ) 1 го!ч А >(5, (122) (18 <л,в,> (>,+,,() <в,л,> (ва> причем интегрирование по (1Д и ((,е,(,) производится в направлении от А< и В> к Аз и Ве, и (л) — направление нор- 6( мали к (65) такое, что на (1,) векторы (Ь, ч и (л) имеют ту >ке ориентировку, что и оси. Интегралы по малым кривым (АеВе) и (В>А>) могкно заменить одним злементоч, т.
е. й! ([й произведением величины подыитсгральной функции на длину пути интегрирования. l Мы получим для них скалярные произве(л> денна вектора А на малое перемещение чй: ((а йй А А'з' ° ч'е' Й и — А'<' ° ч'<' Й, Рнс. 95. где знак ( †) постанлен ввиду того, что по кривой В,А, иктегриронаннс производится от В! к А>, т. е. противоположно ч, и значки наверху показывают, что значение соответствующих величин надо брать в точках А, и Аз Элемент площади поверхности ((5 будет (<5 = ) ((5 Х ч [ Й, и нормаль (а) к поверхности будет иметь направлсние вектора (<з Х ч, таи что, очевидно, го[„ А (Ь= ((Ь Х ч) го! А Й =-(ч Х го1 А) (Ь Й, и формула (122) дает А,>Ь вЂ” ~ А,([з=АОЛ ° чол Ж вЂ” Асо чсой+Й '! (го! А Х ч),([з.
('(+ нд (1!) 387 $ И, ТЕОРИЯ ПОЛЯ тзз! дели обе части на ДГ, переходя н пределу и добавляя слагаемое (121), пол)чнм искомое выражение для производной, причем вместо (1<) мы пишем просто (!)! — Аз<!а=Ам' ° чои — Ан' ° ч'и+ — '+ (го! А Х ч)хаба. (123) «, «< Если кривая (1) за а<кнут а я, то вн с пи тегра пыл ы е сз ага с мы е пропадут, и л! ы пол) чин д ' ~ +(г<и ) 1~ ч! к", (124) о< Дз = ч ч'~~ — ч~~ и "~+ —,д + (го! ч Х «) ~ Дз = ьч Ф =(чз 1 —;ч' < + ~ +(го!чХ ч)1дз. [ дг н, (125) Состзвляющзя вектора го! ч Х ч по оси ОХ будет Дох Дох Доу Дох (го! ч Х ч)х = ~ — к — — х) о, — ( — У- — —." ) О .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
