Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 68
Текст из файла (страница 68)
по любому направлению и что проиаводная по любому фиксированному направлению (!) есть непрерывная функция точки М в м. Дальнейшие рассуждения будут относиться к упомвнутой области. Как мы видим, функция У(М) имеет в каждой точке бесчисленное множество производных, но нетрудно показать, что производная по любому направлению выражается через производные по трем взаимно перпендикулярным направлениям Х, У, Е по фориуле д(Г(М) д(Г(М) дО(М! дс/(М) — д) — — — — д — соз(Е Х)+ соэ(Е У)+ — д — соз(Е 2),(27) Заметим прежде всего, что при составлении производной (26) мы могли бы проводить через точку М не прямую, а какую.
нибудь направленную кривую (Е) (рнс. 88). Вместо формулы (26) нам надо было бы рассматривать предел Ег(М,)- и СМ) мм, Этот предел есть очевидно не что иное, как производная от функ. ции 0(М) по длине дуги э взятой кривой (Е), и, пользуясь правилои дифференцирования сложных функций, мы можем написать (г(м,)- и(М) ди(м) д д(7(М) дт ди(м) г. (28) и м ~гММ~ дл да + ~уЯ да + оа да Но, как известно [1, 166], —,, -„,,— „суть направляющие кос я. нусы касательной к линии (Е) в точке М, и в случае, когда (Е) ес прямая, мы и получаем как раз формулу (27).
Крометого,формула (28) З П. ТЕОРИЙ ПОЛЯ 355 (29) „взывает, что произвошыя по кривой совпадает с производной по направлению (т), касательному к кривой в точке М. В~едем теперь в рассмотрение поверхности уровня нашего ска- яриого поля. Этн поверхности характеризуются тем условием, что во О всех точках такой поверхности функция у(М) сохраняет одно и то же постоянное О е значение С. Придавая этой постоянной рзз- йу личине численные значения, получим семейство поверхностей уровня У(М) С. Будем сг считать, что через каждую точку М неко- гг торой области ю проходит гладкая поверх- ) ность уровня )(ля случая нагретого тела г (с, поверхности уровня суть поверхности рваной температуры.
Пусть (Ю) есть поверхность Вве ровня, проходящая через точку М (рис. 89). Ряс. й9. дем в этой точке три взаимно перпендикулярных направления: направление (и), нормальное к поверхности (Я), в два направления (Г,) и (Га), лежащих в касательной плоскости. На. правления (Ф>) н (Г,) являются касательными к некоторым кривим (с,) н ((. ), лежащим на поверхности уровня. Вдоль этих кривых функция Ц(М) сохраняет постоянное значение, а потому дУ (М) дУ (М) — у —- Возьмем теперь любое направление (().
Применяя формулу (27) к трен взаимно перпендикулярным направлениям (и), (Г,) и (ез) и принимая во внимание (29), будем иметь ду д сов(1~ и). дУ (М) дУ (М) (30) Вели мы отложим на направлении (и) вектор, равный — с учетом дУ (М) ди дУ (М) знака — т„— ъ то, согласно (30), проекция этого вектора на любое направление (у) дает производную дУ (М) дт Построенный по вышеуказанному правилу вектор называется градиентом функции У(М), т. е.
градиентом скалярного поля называется векторное иоле, построенное по следующему правилу: в каждой точке вектор направлен по нормали к соответствующей поверхности Уровни а по алгебраической величине равен производной от функции и(М ' (М) по направлению упомянутой нормали.
Градиент скалярного йолв У(М) обозначается символом йгаб (г'(М), н формула (30) может быть записзна в виде дУ (М) ягвбФ (М) (3() тйч йбб !Л. $Ч. ВСКТОРНЫН АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ (тю где йгад! У(М) есть проекция вектора йгаб У(М) на направле. нне (!'). Нетрудно видеть, что выбор направления нормали (и) к поверх. ности уровня (8) не вляяет на направление йгаб У(М). Этот вектор всегда направлен в ту сторону нормали к (8), куда функция У(М) возрастает. Отнесем пространство к декартовой системе координат ХУЕ, Вместо У(М) можем писать У(х,у, л), и величины проекций вектора йгаб У(х, у, г) на указанные осн раины частным производным функ.
ции У (х, у, г) по х, у, л. Упомянутое выше определение градиента с помощью поверхностей уровня может оказаться неприменимым, например, в таких точках, где поверхность уровня вырождается в точку или линию, а также если эта поверхность не имеет определенной кзсательной плоскости. Рассмотрим три функции: Ц=хт+ут+аз, Уз=ха+уз, Уз мха+ +у' — 4ху, В точке (О, О, 0) поверхность уровня Ц вырождается в точку, Уа — в линию (ось 02), а уравнение х" +у' — 4ху=О есть совокупность двух плоскостей, проходящих через ось 02, и в точках втой оси указанная поверхность уровня не имеет определенной касательной плоскости. Йля всех трех функций частные производныв первого порядка равны нулю в точке (О, О, 0), и в этих точкак градиент указанных функций надо считать равным нулю (нулевой вектор).
Примеры. Е Пале тяготения, которое мы рассматривали в (90), приводит к скалярному полю потенциала тяготения !я! где Р(М,) есть плотность материн, занимающей объем (о), и г — расстояине точки М до псремсиной точки М, интегрирования. Мы ймели следующие выражения для слагающих силы тяготещщ: аи(м) аи(м) аи(м) где Р„, Р„, Р— составляющие вектора силы Р. Отсюда непосредственно аи(м) следует что вообще Р! = — , т.
с. векторное поле силы тяготения аг есть градиент помгяциала и(м). Работа силы тяготение выражается фар. музой !н! !и! ) Раах+Рт ау+ Ран - ~ац(М)=ц(В)-и(АЪ т. е. работа вта зырян!ется разностью потенциала в точках А и В. Последним свойством обладает, очевидно, всякое консервативное силовое поле, т. е. такое поле, дая которого р = йгаб и(МЬ Часто намгяциалап называют не самую функцию и(м), а — и(м).
2. Если различные точки тела имеют различную температуру и(М>, га в поае будет проислолнть лвиженне тепла от более нагретыа частей з мс 1 П тГОРНя ПОЛЯ 357 (32) (Ва.. Векторное поле; расходиыость н вихрь. Обратинся теперь к рассмотрению аекглорного поля А(М), В каждой точке М той части пространства, где поле задано, А(М) есть определенный вектор. Нзпрйнер, при течении жидкости в каждый заданный ыоыент времени ны йнеен векторное поле скоростей ч(М). Веллчорног) линией поля называется такая кривая (Ц, в каждой точке которой касательная имеет направление вектора А (М) (рис.
90). Совершенно тзк же, как и в (26), нетрудно видеть, что дифференциаль- л(м) ный уравнения векторных линий поля ножйо написать в виде ыл ау аз Аз Ад Аг (34) гдй составлюощие А„, А, н А, суть (гт) определенные функции х, у, э. В силу тейреыы существования и единственности через каждую точку М, при соблюдении условий втой теоремы, О будет проходить одна определенная Рис. ЗО. векторная линию Если провести все векторные линии, проходящие через точки некоторого кускз поверхности (8) то их совокупность даст векторную трубку (рис.
90). Выделин в векторном поле некоторый объем (и), и пусть (о) есть ность, ограничивающая втот объем, а (л) — направление порви « (8), впещпей по отношению к объему (и). Применим формулу ° Роградского (66) к фУнкпнвм А„ Ан А,, считзи, что зтн фУнкнепрерывпы и имеют непрерывные частные производные первого нагретым. Возьмем какую.нибудь поверхность н па игй малый эземгиг йр около гочки Лп В теории тспаопрозодиосги иринимэстсз, что кознчес зо тсоаа з0. ппоходиасго чсРеэ элемент аЗ зз эрсин аг, пропорциоиазыю «гя и иормзэьиой производной температуры — г.
е. а0(М) дл ' =-"!'Т'! коэффинисит пропорциональности, который извивается коэффнпигн„ знутрсиисй тспзопроводиости, з (л) — направление нормали к И$. у)встроив вектор — а йгаб 0(М), который иаэызаетси вектором потока 1З сида; эиак ( — ) иы ставим в силу того, что тепло течет ог бозсс высокид Трннератур к более ннэкнм, а вектор йгаб0(М) направлен по нормали 'й ноаевзиости уроаин в сторону возрастания функции 0(М). В силу форЙулы (32) иожио сказать, что количество таила д(), пйоходншсс эа зРемн « варев элемент аЗ, будет ЛО = а «аЗ ) йгаб„0(М) !. (33) Ответим, что мы рассматриваем иэогропиое тсзо. Если оио однородно, та й — постомииаз.
При неоднородности гела Л вЂ” фуизчин точки. 333 ГЛ. (Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ на порядка в облзсти (о) вплоть до ее гранины: 1,1,1('"-+Ф+'":)"= = ')) [ А„соз (п, Х) + А „соз (п, У)+ А, соз (и, 2)] ()3 (сч или [114]; ш й+'-." +'— ."')"=Л" ' (ч( (и (33) Интеграл но поверхностн, стояшей в правой части равенства, назыяается потоком поля через поверхность. Физический смысл его будет выяснен в дальнейшем. Подынтегрзльная функния в объемном интеграле нвзывзстся расходимостью (дивергенцией) векторного поля') н обозначается символом б(ЧА( Таким образом формулу Остроградского можно записать так: $жйчАб =ЦА.б8 (ч( (Э (37) ДА„ИЗ б)ЧА]м, о( — — ) ) А„((8, то есть б!ч А~„ (Фг( где значение б!ч А берется в некоторой точке М, объема (о(А н о, есть величина етого объема.
Прн беспредельном сжнмзнии объема к точке М, точка М, будет стремяться к точке М, и предыдущая формула в пределе даст велнчнну расходнмостн в самой точке М: 1~ Ач (!3 6!ЧА~ На (яд м о! ') д(ч-первые три букам фрзнцузсяого слова 4(чегйеясе, что зязчят рвсходнмость. т. е. обьемпый иптеграл от расходимоети равен потоку полл через поаерхпоеть втого обьема. Определенне расходнмостн (Зб) связано с выбором координатных осей Х, У, 2, но, пользуясь фор. мулой (37), нетрудно дать другое определение расходнмостн, ие связзнное с выбором координатных осей. Окружим точку М небольшиы объемом (о,), а пусть (8() есть поверхность этого объемя, Применяя формулу (37) н Пользуясь теоремой о среднем [64], можем написать вм! а н.
теОРия пОля ~Аг~й Ц го1„АдЮ, (41) ии Ь ' ' '~" 'к'- «с ~ е у- И-1 что аначит ерюиение, а сиг1 есть английское слово, которое раеиоио русскому термину „вихрь". т. е. раскодпмость иолЯ в точке М есть пРедеЛ отноатенин но- ока ноля через малую замкнутую поверхность, окрухсаютую „«» гИ, к одаему, ограниченному втод поверхностью. Предыдущие рассуждения показывают, что всякое векторное ле А дает некотоРое скалЯРное поле б(ч А, а именно поле свосп „одимости. Мы покажем сеичас, что, пользуясь формулои Стокса, мы естественно придем кроме того и к некоторому векторному полю, порождаемому исходным полем А. Принимая Р А (г= Ам Й=*А напашем ФормУЛУ Стокса, считаЯ, что ФУнкции А„, Ам А, непРЕРывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в неко- торои области, внутри которой находится поверхность (О): ~ А„Ах+ Аьг(у+Ад» 16 дАР аз 1 1[( д ' — дг ) с0$(л, Х)+( у, — дк )соя(л, «')+ + ( д — д " ) соз (и, 2)) ь(8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
