Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Замечание. Аналогичный результат справедлив н для нсаовРастаюшей последовательности суммируемых Функций 1„(х), причем предельная Функция может иметь интеграл, равный ( — ОО). Он не"осреаственно получается из доказанной теоремы ааменою ~„(х) на ]-у.(ХВ йаб гл. пг. кздтныи и кимволииепные мнтнгзалы гиа Отметян еще важное следствие доказанной теоремы. Теорема 4. Если функции иь(х)(а=1, 2, ...) неотрицатвльн» и суммируем» на Е и ряд с неотрицательн»ми членами я ~', ~иа(х)Ых (86) ь-~л сходитея, то почти везде на Е сходится ряд ~л и„(х) (87) а 1 и и„(х) — О лри я — со почти везде на Е. Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных суммируемых на Е функций у.
(х) = Х на(х) а-1 110, Теорема Фубинн. Для кратного интеграла Лебега теоремы е сведении такого интеграла к одномерным интегралам имеют очень простую и общую форму. Мы приведем лишь результат (Ч, 68). Сначала сформулируем теорему для двойного интеграла на прямоугольнике, Теорема 1. Пусть /(х, у) — суммируемая функция на лря. моугольнике Ь(аа х(Ь; см у~И). При атом 7(х, у) измерима и суммируема ио у на иромехсутке с ~ ум 4 для всех или почти всех значений х из лромехсутка аяц,х~д, функция й(х)=$г(х, у)Ыу (88) с еуммируема ио лромехсутку ам,хи Ь и гвмеет место равенство ь е Я/(х, У)бхЫУ=) Цг(х, У)ЫУ~Аа.
ь а ь (89) и применим теорему 3. В силу сяодимости ряда (86), интеграл от /„(х) при и — оо ииеет конечный предел. Следовательно, прелельная функция, в данном случае выражаемая радам (87) у(х)= ~, 'иь(х), а-1 суммируемая на Е, а потому имеет на Е почти везде конечные зна. чения, т. е. ряд (87) саодитса почти везде на Е, откуда непосрыственно следует, что и„(х) — О прн й — оо почти везде на Е. 888 аз. мввд и таопня ннтегеивованмя ын )1у(х, у)Охи=((( е( ь е а (90) Отметям, что если функция Ь(х) определена лишь почти везде. то ее можно доопределить на множестве меры нуль, полагая ее, например, равной нулю на атом множестве.
Совершенно такое же аамечанне относится и к функции ь у(у) = ) у(х, у) Ых, (9! ) О определенной везде или почти везде на промежутке с амуе-А Указанная выше теорема была установлена итальянским математиком фубнни. Из (89) и (90) следует ье еь ЯУ(х, у)г(у1 !ух= ЯУ(х, у) ах~ Ыу„ (92) т, е. возможность для суммируемой на Ь функция менять порядок интегрнрованяя.
При предположении суммируемости у'(х, у) на А мы имели формулы (89) я (90). Обратное заключение о существовании двойного интеграла по Ь, если имеют смысл повторные интегралы, стоящие в правык частях формул — неправильно. Но если 1(х, у) неотрицательна на Ь, то имеет место следующая Теорема 2. Если )(х, у) измерима и неотрьгиательна на Ь и сутестеуее! поеторный интеграл ираеой части формулы (89) или (90), то 1(х, у) суммпруема на а. Но из суммируемости г(х, у) на А следуют формулы (89), (90) и (92).
Замечание. Если 1(х, у) меняет знак, но для )/(х,у)~ существует повторный интеграл, правой части формулы (89) или (90). то, согласно теореме 2, щх, у) ! суммируена на Е, но при атом и г (х, у) сунмируема на Е. Таким образом, формулы (49), (90) и (92) имеюл! "есто, еглп мы убедьглпсь, что один из поеторных интегралое супаестеует длл !у(х,у)~, исаи у(х, у) суммируема на измеримом ограниченном множестве Е. то имеет место формула ))у(х'у)йх4'= $ [3 у(х у) уу1г(х=|Ц у(х,у)ь(х~ (у, (98) и,' а, е' ""е Š— множество точек Е, имеющях заданную абсциссу х, Е,— аналогичное множество, а Е~ и Е' — проекции Е нз осн ОХ и Ог. Совершенно аналогичные утвержаения ямеют место я нря перемене порядка интегрированию ззв гл.
пь квлтные и квнволинвнные ннтегвьлы !нз Интегрзлы по Е и Е могут не нметь смысля для значений х п у, обрззуюшнх нз осях ОХ н ОУ множества меры нуль. (Е, н Е» могут быть на втни множествах меры нуль неизмеримы.) Для доказательства формулы (93) достаточно покрыть Е конечным промежутком А и применить формулы (09) н (90) к функция»ь(х, у), определенной нз й, равной У(х,у) на Е н нулю на оставшейся части й. Формула (93) имеет место н для функций, суммируемых на неогрзннченных множествзх конечной меры. Все скзззнное выше об измеримых множествах. измеримых функциях н интегрзле Лебегз сохраняет справедливость как в линейном случае, так н в п-мерном пространстве [ср.
100[. В лннейном случае теорема Фубнни, естественно, отсутствует, Сформулируем зту теорему в многомерном случзе. Теореме 3. Пусть а +,— промежуток в пространстве Я имеющем т+ и измсреннй: й„„ь. 'а ~хгч-Ьь аь~хз~дь ..., а,„+ «-х „° Ь„,+, а й и й„следующггв промслсутки з пространствах Я и Я„.' й: а,н-„-х,ч-дь аьч-хь~дь ..., а,х я-Ьт й„: а „н-«„„~Ь „, аыьяя=,хм»за;Ь„„н ..., а ь~х ~Ь„ Пусть, далее, /(хь х„..., х„„) — функция, суммпрусмая на й Если мы фиксируем некоторую точку М из йт то»(хь хь ...
..., х +„)будет измеримой и суммируемой в й„нри любом выборе Й кроме, молссгп быть, множестпва точек меры нуль В Д„. Ингпегнал от этой функции по йь й(хь «з..., х ) ~ »с(хь «ь .., «„)бх ы ...бхн~ ь дает сумлтруемую в о функцию и имеют место формула » (хь хн ..., х„+„)бх, бхь ... йх,„= ьи+ а = $ ~11(хи хм...,х +„)йх„„...бх +,~йх,...бх . (94) 'н 'ь Приведем еше два результата, непосредственно связанных с тео.
ремоя Фубинн. Мы формулируем нх для случая функции двух нева. внснмых переменных /(х, у), определенной на конечном промежутке й [а -- х ~ Ь; с м.„",у,.- й[. 1. Еслн7(х, у) ггзлгсрима на й, то для почти всех х пз промслгутка а~х~Ь она измерима по у на промезкупгке сж.у(а 1'олн х и у при этом можно поменять 69У аз.мяол н твовия ннтеггнвовання 2, Еслиу(х,у) измерима на А и для почти всех х из а ~ха-,.д суиьестеует интеграл в(х)=)у(х у)й„ с то 9(х) измерима на лромезку и 111.
Интегралы по множеству бесконечной меры. Ло сия пор мы рассматривали интегралы на измеримых множествак конечной меры. Рас~нирение понятия интеграла на случай множества бесконечной меры производится по сугцеству так же, как и для интеграла Римана [99[. Пусть на измеримом множестве Е бесконечной меры задана измеримая неотрицательная функция У(х). Рассмотрим какую- либо возрастаюгцую последовательность множеств конечной меры Е~ С Еь С Еь С ° ° ° (96) для которой Е является предельным множеством [103[. Мы можем, например, считатгь что Е„есть произведение Е и промежутка й„( — я =х,~л; — н~х, ~л). 1(ля ограниченнык множеств суиаествуют интегралы Дх) ах, л (96) (97) которые в силу неотрицательности /(х) не убывают при возрастании и.
Предел монотонной лоследовательности (96) называется интегра вм от у(х) ло Е /(х)ах= 11ю '1 Г(х)ах, а ФгТ в и Янкция у(х) называелься су.имируемой на Е, если указанный г(авдея конечен. Нетрудно показать, что этот предел не зависит от выбора возРастаюпаей последовательности Е„, имеюцгей Е сепии предельным множеством [ср. 69[. Отметим что интегралы (96) могут равняться (+со) При этом интеграл от у(х) по Е также равен (+оо).
Но может случиться. что все интегралы (96) конечны, а предел втой последовательности равен (-[ оо). Измеримая на /(х) функция, не удовлетворяющая условию у(х)~ ~ 0 называется суммируемой на Е, если суммируемы неотрицательные функции /'(х) н г (х), и величина интеграла от г (х) цз Е определается фо(гмулой ~ У (х) ах = '1 г+(х) йх — $/(х) Фх. (ОЗ) и д и 898 гл, пь квлтные н квнволннвйные ннтеггалы [И$ (99) Если только одна яэ функцяй гч(х) яли г (х) суммируема, то, как и в [108[, интеграл от /(х) по Е имеет смысл, но его величина рвана ( — со) или (+ со). Для интеграла на измеримом множестве бесконечной меры спра. ведливо все сказанное в [108[, а также теоремы из [109[ и теорема Фубини.
Доказательства проводятся в основном следующим образом; сначала используются соответствующие свойства интегралов на множествах Е„или на произведении некоторого множества и множества Е„, а затем проводится предельный переход прн л-ьсо. Напомним, что при изложении несобственных кратнык интегралов Римана мы указали на то, что эти интегралы сходятся абсолютно [89[. Это относится и к интегралам по бесконечным областям, например к интегралу по все» плоскости.
Несобственный простой интеграл определялся при помощи предельного перехода [86[ +Ф ь ~ г(х)йх= Ищ Ъ„у(х)бх, а +со а если указанный предел существует (сходящийся интеграл). Прн втом из сходимости интеграла не следует его абсолютная сходнмость. Указанное выше определение интеграла по множеству Е бесконечной меры таково, что иэ суммируемости функции г(х) на Е следует и ее абсолютная суммируемость, т.
е. суммируемость [/(х)[ =г+(х)+г"(х). Если мы для функции, суммируемой на промежутке пядях а" Ь при любом Ь)а, определим интеграл по промежутку п~х(+со фориулой (99), причем укаэанный в втой формуле предел (конечный) существует, то вто определение отлично от укаэанного выше, и может оказаться, что для [у(х)[ предел, входящий в формулу (99), равен (+со). ГЛАВА 11Г ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ В 1О. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ !12. Сложение и вычитание векторов. 11астоящая глава будет посвящена главным образом изложению векторного анализа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
