Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 59
Текст из файла (страница 59)
нри нечетном л. л л(л — 2)...! !02. Внешняя мера Лебега. Переходя к теории меры и интеграла Лебега, отметим прежде всего, что некоторые из результатов втой теории мы приводим без доказательства, В соответствующих местах мы приводим ссылку на том Ч, содержащий доказательства упомянутых результатов. В дальнейшем мы часто будем встречаться с суммами конечного илн счетного числа неотрицательных слагаемых. При атом мы будеч допускать, что отдельные слагаемые или суммы равны (+со).
Если кзкое.либо слагаемое равно ( + оо), то н сумма естественно считается равной ( +со). Но сумма счетного числа слагаемых (предел суммы первых л слагаемых при л -ь оо) может быть равна (+ оо) и тогда, когда среди слагаемых нет равных (+ оо). Отметим еще, что сумма неотрицательных слагаемых пе зависит от их порядка. В теории л!еры Лебега допускаются как ограниченные, так и неограниченные множества. Мы начнем с определения внешней меры. Существенное различие по сравнению с мерой Жордана состоит в том, что при определении внешней меры допускается покрытие множества не только конечным, но и счетным числом квадратов Ь„ 308 гл.
ш, кв»тные и квнволннснные интсгпллы 1на (п=1, 2, ...) со сторонамн, параллельными осям. Эти квадраты могут принадлежать разным сеткам квадратов и перекрываться. Мы будем считать Ь„открытыми квадратами, что несущественно, но вто будет нам удобнее, поскольку в дальнейшем изложении открытые множества играют важную роль.
О п р е деле н не. Внешней мерой любого точечного множества Е назмваетгя нвжняя граница сумм ~ил. Ь„ (30) ) ~ Е» ~ ~ ~ ~ Е» ~. (31) Пусть задано а~О. В силу определения точной нижней гранины, существует такое покрытие А» множеств Е», что е(А») ~~Е» )+2», Берем квадраты, входящие хотя бы в одно из А» (их конечное или счетное число [93)).
Они совершают некоторое покрытие А суммы Е», и длв него имеем в(А) = 'Я в(А») ~~~ Е» ~+» ~у ~ ~ч~~~~ Е»~+ в, » »» откуда и, в силу произвольности а, получаем (31). площадей квадратов Ь„при всевозможных покрытиях Е этими квадратами. Если при любом покрытии сумма (30) равна (+со), то внешняя мера Е считается равной (+со). Если Š— ограниченное множество, то его можно покрыть одним квадратом Ь, и, следовательно, его внешняя мера конечна. Но внепшяя мера может быть конечной и для неограниченного точечного множества. Внешняя мера пустого множества естественно считается равной нулю.
Внешнюю меру всякого множества Е обозначаем символом ~1Е'1 В дальнейшем сумму (30) для какого-либо покрытия А некоторого множества Е будем обозначать через в(А). Переходим к доказательству основных свойств внешней меры. Теорема 1. Если Е,с=Еь то ~Е»/и-'1Е, !. Непосредственно следует из того, что всякое покрытие Е, есть и покрытие Еь Т е о р е м а 2. Для конечного и счетного числа слагаемых внеаняя мера суммы не бол»те суммы внешних мер слагаемых: 1аз! э 9. ИГРА и ТБОРия иптсгРиРОВАпия Отметим, что в формуле (3!) может иметь мсс>о знзк ~ даже в том случае, когда Еь не имеют попарно общих ~очек.
Таким образом, для внешней меры мы пе пмссм свойства аддитивности. В Лальнсй>псм мы часто булем обозначать открыгые множества буквою О (фраппузское слово опчег! — о>крытый), а замкнутые множества буквою Г (франпузское слово (сппс — замкнутый). Теорема 3. Для вгтгого множества Е при любо.и заданнолг е) й существует такое отлры>пое л>ножество О, покрывающее Г, чгпо ( О ) -.'! Е )+ е. (32) Если ~ Е~ + со, то это очевидно при любом О„покрываю>пем Е.
Положим, что ! Е ~ конечна. Прн любом заданном е ) О выбираем такое покрытие А множества Е, чго о(А) == ( Е >+е. (33) Сумыа открытых квалратов д>гь вхолящих а А, есть открытое множество О. Опо покрывается промежутками >ь„и покрывает Е. По'опре- ДЕЛЕПИЮ ЗНС>пнсй МЕРЫ, / О ! == и (А) и из (33) следует (32). 103. Измеримые множества. Мы пе будем ввалить понятия впутреш>ей меры, как эго мы лелали в теории меры Жорлана, а с помощью откр>лтых множеств непосрелстяе>шо перейдем к понятию измеримого множества (аналог квалрируемосги по Жордзну).
Свойство, выражаемое теоремой 3, имеет место лля всякого множества Е. Но не для всякого множества Е зпсп>пяя мера разности Π— Е соответству>ощим выбором О может быть сделана ~ е, где е ) б— задано. Если Е обладает такал> сяопсгиом, то мы булем называть его изнернмым. Оп рсде ле ив с. д(пожег>ива Е называсп>гя пз.иерплгылг, если пр>г любом заданно.и е) О сущеппвует лга>гос откры>пг>е множество О. ч>по Е ~ О и ~ Π— Е! === е. Внешнюю меру измеримого лнюжества Е будем называть просто мерою Е и обозначать символом т (Е).
Переходим к выяснению свойств измеримых множеств. Отметим, что пустое множество считается измеримым и его мерз — равной пулю. Прежде всего возникает вопрос — будет ли всякий квадрат или прямоугольник (открытый или замкнутый) со сторонами, параллельными осям, измеримым множеством, и если это так, то чему равна его мера. Не останавливаясь на доказательстве, сформулируем результат. Теорема 4. А(ножество точек замкнутого или открытого прямоугольника со сгпороналги, параллельнымп осям, есть измеримое множество и его лгера равна произведению длин его сторон. 810 гл.
Иг. КРАТ!!ые и кэиволинвпнын интягэллы 1!чз Тео рема 5. Открытые множества измеримы. Если Е-открытое множество, то для проверки его измеримости достаточно взять 0 совпздаюшим с Е, н при этом 10-Е1=*0. Теорема 6. Если (Е'1 = О, то Е-измеримое множество и т (Е) = О. Если Е- измеримое множество и т(Е) = О, то ~Е'=0. Если 1Е1=* О, то, согласно теореме 3, для любого заданного е) О, су!пествует такое О, что ЕсО и 10~(е, а потому, и силу тсорсм!л 1, тем более 10-Е! =е, т. е. Е измсримо и т(Е)=0, ибо гл(Е) совпадает, по определению, с внешней мерой. 11аоборот, если Е измеримо и т(Е)=0, то и 1Е~=О.
Теорема доказзна. В силу доказанного измеримое множество Е меры нуль, или, как обычно говорят, множество Е меры нуль, определяется следующим свойствои: при любом заданном в~0 можно покрыть Е конечным и!н счетным числом квадрзтов, сумма площадей которых ~е. Теорема 7. Сумма конечного или счетного числа измеримых лгножеств есть измеримое множество. Пусть Ел(п 1, 2, ...)-измеримые множества, Е-их сумма и е ) 0 — зздзнное числа Согласно определению измеримого множествэ, сунгествуют такие открытые множества Ол, что Ел с Ол и ) Ол - Е, ( ~ -. '„'-.
Сумма Ол есть некоторое открытое множество 0 и Ес О. По дпя ЛЮбЫХ МНОжЕСтВ Рл И С)„ЛЕГКО ПрОВЕрИтЬ, Чта Применяя это к Ол и Ел, имеем 0 — Е С ~Ч ,'(΄— Ел). Пользуясь теоремами 1 и 2, получаем ! 0 — Е ~ ~ ~ ~Ч~, (Ол — Ел) ~ ~ ~Ч~, ~ Ол — Ел ! л л н, в силу ~Ол — Ел1=--я, 10 — Е~(е, что и доказывает измернмость Е Теорема 8.
Замкнутые множества измери.чы. Не приводя довольно сложного доказательства этой теорем!а, и! сформулируем епге лемму, на которой оно основано ~Ч, ЗБ!. ,11 е м м а. Есмг расстояние лгежду двумя множествами Еь и Е яоложтлельно, то 1Ет+Ез~=) Е,~1+~Ез!. 311 З э.,мвРА и теооия интегРИРОВА!!Ия Теорема 9. Если Š— измеримое множество, то и СЕ измеримо. В силу измеримости Е существуют такие открытые множества О„, что Ес".О„и10„— Е)( — (и= 1, 2, ...).
Введем замкнутые миожс. 1 стив Р„=СО„. Из Ес-О„следует Г„~СЕ, и и силу (4) из 193) имеем СŠ— Р„= 0„— П. Заменяя в левой части Р„иа сумму / „, получим СŠ— г,' Р„с: О,— Е, откуда и ! Левая часть ие зависит от п, а правая стремится к пулю при и-ь со и, следовательно, СП У;Р. =О, т, с.
разность, стоящая слева, есть множество Еь меры нуль. Посколысу Р„с: СП, мы имеем СЕ= Еь+ ~, Рл и из теоремы 7 и 8 следует, что СП вЂ” измеримое множество. С л е д с т в и е. Из измеримости СЕ следует измеримосгнь Е=С(СЕ). Следующая теорема дэет критерий измеримости Е ие через открытые миожества, покрывающие Е (опрсделеиие измеримых множеств), а чсрез замкнутые миожествз„содержавгиеся в П.
Теорема 1О. Длп того чтобы лгножество Е было измеримым, необходимо и доспгаточно следующее! при любом заданном в ~0 сущесгнвуегн !покое замкнутое множесгпво Р, что Рс: П и ) Пг- Р1..- е. Измсримость Е раииосильиа измсримости СЕ, а для этого необходимо и достаточно, чтоб!л для любого заданного е О существовало !экос от<рытов множество О, что СЕ~ 0 и /Π— СП! ==е. Если положить Р=СО и принять во внимание, что, и силу (4) из (93), 0-СП=Е-СО=Š— Г, то ~10 — СЕ~ ~в можно переписать и яиас )Е-Р(" е и Рс П, ибо СЕс:0 193$.
Теорема доказана. Т с о р е м а 1!. Произведение конечного или счетного чигла измеримых лгножеалв есть измеримое множество. Разносгпь «змерил!ых множеств есть измеримое множество, 3!2 гл. ш. квлтныв н кпнволннвнные ннтегвллы 1мз П Е„=С,У; СЕ. и теорем 9 и 7. Измеримость разности следует нз очевидное формулы А — В=А СВ и измеримости проязведения. Теорема 12. Мера суммы конечного или счетного числа измеримых многместв лоларно без обцих точен разно сумме мер слагаемых мнолсеста. Пусть Е,— измеримые множества попарно без общих точек. Изме.
римость их суммы следует из теоремы 7. Проведем доказательство при предположении, что все Е„ ограничены, но их число бесконечно. Согласно теореме 10 при любом заданном ч)0 существуют такие замкнутые множества Р„, что Р,с:Е, и 1ń— Р,!ы., — '„. Множества Р„, очезидгю, ограничены и не имеют попарно общих точек. Из формулы Е„=Р„+(ń— Р„) непосредственно следует 1Е„! ~ ! Р„! + р. (34) Для конечнон суммы Р„имеем по теореме 1: ! Х, '!~!Х,Е.! $ч $$$ откуда ! ~~ Р„!и::,! ~ Е„!. $$ ! л ! Применяя лемму к сумме Р„и пользуясь (34), получим Ю и 6$ ЯО Л$ ~ Х Е.~- »Х ~Р.~ Х ~Е.~- Х ~;= Х ~Е.~-; ч ! $$ ! я ! ч ! л ! откуда при т -ь оо $0 О$ ! Х;!-,У; ~Е.~ — «, ч-! ч-! или, ввиду произволыюсти а, ! Х,Е!- Х,~ Сравнивая с неравенством (31), получаем ! ~ Е.! ~ !Е.! Если ń— измеримые множества, то измеримость их произведеннзи вытекает из формулы [93]: 313 % 9 МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ газ! или, в салу нэмеримости слагаемых и суммы, т ( ~.1 Ел) к ! т (Ел)' Свойство, выражаемое теоремой 12, называется обычно ионной аддитианостаю меры Лебези.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
