Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Прилагательное «полныи» выражает тот факт, что алдитивность меры имеет место не только для конечного, но и для счетного числа множеств, не имеющих попарно общих точек. Таким свойством не обладает мерз Жордана. Замечание. Отметим, что из теорем 2 н 6 следует, что сумма конечного или счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. При этом не предполагается, что слагаемые множества попарно без общих точек. Теорема 13. Если А и В измеримы, В~А и  — конечной меры, во т(А — В)=т(А) — т(В).' Разность А — В= Р измерима по теореме 11. В силу Вс= А имеем А =В+ О, причем В и 0 без общих точек и, следовательно, в (А) = т (В) + т (В). Вычитая почленно т (В) (+ со, получаем в (А — В) = в (А) — ги (В).
Приведем еще дза результата, касающиеся предельного перехода для множеств. Пусть Рл — невозрастающая последовательность измеримых множеств, т. е. Р,=эР«-зР»:э... Пределом Рл при л-»со назовем произведение всех Р„: 0» Р= '1 Р.= П Р (' ~Р ~ ") (35) ! Множество Р может быть и пустым. Множество Р, состоит, очевидно, вз элементов (точек) Р и тех элементов, которые входят в какое- либо Ра, а, следовательно, и во все Р, при !( й, но не входят в Ра«Р Мы можем, таким образом, представить Р, в виде следующей суммй множеств, не имеющих попарно общих точек: «« Р!=Р+ Х (Ра — Рл«!) л ! откуда лэ в(Р!)=т(Р)+ ~ (т(РА) — т(РА,!)) = а ! л-! + Х( ( )1 л «ля и из этой формулы непосредственно следует т (Р) = й щ т (Рл), (36) 914 ГЛ.
Н!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !1М Отметим одно следствие полученной формулы. Пусть имеется бес. конечная сумма измеримых множеств: Е=Е,+Е,+..., и положим Я„= Š— (Е, + Ея+... + Е„). Последовательность Я„не возрастает, и предельное множество Я пусто. Лействительно, если предположить, что имеется точка М, приналлежашая Я, т.
е. всем Я„, то отсюла следует, что М принадлежит Е, но ие принадлежит пи одному из Еа(Ь=!, 2...,), а это противоречит тому, что Е есть сумма Е„. Тзкии образом, мы можем утверждать, что т(Я„)-ьО при н-ьсо. Если ч„— неубывающая последовательность измеримых множеств Е„, т. с.
9<С 8<С'..., то лределалыж л<нолсествол< 8 называется сумма всех о'„, и нетрудно показатть что т (8) = 1!а т (8„). л л< (37) 104. Измеримые функции. 11среходим к выяснению того класса функций, который является основным в теории Лебега. Мы будем рассма<рнвать функции точки /(х), определенные на измеримых множествах и принимающие всшественные значения.
буква х обозначает точку измеримого мнои<ества на прямой илн па плоскости, или вообп<е в и.мерном пространстве. )Аля Г(х) считаются допустимыии и значс- Вся изложенная вып<е теория меры легко псреносится па случай прямой и л-мерного пространства !971. Отметим, что в случае прямой всякое открытое множество есть сумма конечного или счетного числа открытых промежутков. Как и для меры >Корлапа, можно показать, что мера Лебега не зависит от выбора осей координат. Привслем некоторые замечания, связанные с теорией меры. Введем полуоткрытые квалрзты, опрелеляемые неравенствами: а ( х ( Ь, с(у~<( (Ь вЂ” а=<! — с), и нанесем па плоскости сетку таких квадратов.
Они не имеют попарно обших точек. Пусть Π— некоторое ограниченное открытое множество. Отметим те квадраты, которые входят в О (их конечное число). Каждый из оставшихся квадратои поделим на четыре равные части и отметим те из полученных квадратов, которые вхолят в О, и т. д. Поскольку расстояние любой точки О до ее грт<нцы положительно, всякая точка О попадает в один нз отмеченных квадратов, т. е. О есть сумма счетного числа полуоткрытых квадратов, а мера О равна сумме плошадей этих квадратов. Отсюда видно, что мера Лебега множества О совпадает с внутренней мерой Жордана. Если присоединить к множеству О его границу б то получим замкну гое множество.
Оно измеримо по Лебегу, по его мерз может быть больше меры О. Если Š— ограпичепнос аамкнутое множество, то мы можем покрыть его открыпам кяалрзтом О и разность О, =Π— ( есть откры. тое множество, причем Я= Π— Оь и т(Е)=т(О) — л<(О<). Таким образом, мерз Р определяется через меры открыгых множеств. 313 9 9, МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ния (+ оо). Если ~(х) не принимает этих значений, то будем говорить, что функция принимает конечные значения.
Функция называется ограниченной, если абсолютная величина всех ее значений не превышает некоторого числа (конечного). Введем некоторые обозначения. Пусть функция У(х) задана на множестве Е. Символ ЕЦ(х)) а] или Е]~) а] обозначает множество тех точек х из Е, в которых ~(х))а. Аналогичный символ применяется и для других типов неравенств или равенств.
Если ~(х) и й(х) — две функции, определенные на Е, то символ Е(~)й] обозначает множество тех точек х из Е, в которых ~(х))й(х). Аналогичный смысл имеет символ Е]/=й] и т. д. Введем егце новый термин: почти вездею Если некоторое свойство имеет место во всех точках некоторого измеряемого множествз Е, кроме, может быть, множества точек меры нуль, то будем говорить, что это свойство имеет место почти везде на Е. Определим теперь клзсс функций, который лежит в основе теории Лебега. Определение. функция У(х), определенная ни измергглгом множестве Е, называется измеримой (или измеримой на Е), если для любого естественного числа а, как конечного так и бескокечного (+ оо), измеримы множества; Е]~= а], Е(У(а], Е])) а], Е]У'( а], Е]г = а].
(38) В дальнейшем мы будем иметь депо с измеримыми множествзми и измеримыми функциями, определенными на измеримых множествах, Введем еще одно важное в теории Лебега понятие. Определение. Дее функцгггг У(х) и й(х), определенные на Е, называются екаивалентными на Е, если они равны почти везде на Е, т. е. если мера множества Е]У~ 8] равна нулю. Отметим, что если мера Е равна нулю, то любая функция на нем измерима и любые две функции эквивалентны. Это следует непосредствешю из того, что всякая часть Е имеет меру нуль.
Нетрудно показать, что если функция у» вквивалентна и» и у» эквивалентна и„ то г»+уа эквивалентна й»+йь 1~9 эквивалентна 81к» и — ' эквивалентна ~', если соответствующие действия имеют смысл. Если мы й» изменим значение у(х) на множестве меры нуль, то получим функцию, зквивалентную у(х). Отметим еще, что функция, равная постоянной ка Е, очевидно, измерима. Переходим к теоремам, связанным с понятием измеримых функций и эквявалентных функций. Теорема 1. Для измеримости множесте (38) лри любом а достал»очно, чтобы одно из атпх множеств, кроме пятого, было измеримо прп любом а.
31В гл. !и. квлтные и конволинеиныи ннтагиллы па! Множества К~а] и Е[у(а] — дополнительные множества, и измеримость одного из них при любом а равносильна измеримости другого. Точно так же нзмеримосп третьего из множеств (38) при любом а равносилыы нэиеримости четвертого. Множество пятое есть разность первого и третьего множеств. Докажем, например, что из измеримостн третьего множества при любом а следует измеримость остальных множеств. Лействителы!о, иэ измеримости третьего множества следует измеримость четвертого, а также иэмеримость первого, в силу формулы Е[У= а]= и Е~Ю) а — „'~, н ! а тем самым и второго, Заметим, что множества Е [у =+ со] и Е[У= — со] могут быть представлены в виде Е[У=+оо]= Ц Е[У)п], о ! Е[У= — оо]= Ц Е[У( — и].
н ! Теорема 2; Если ~(х) измерима на Е, то она измерима и на любой измеримой его части Е'. Если /(х) измерима на конечном или счетном числе множеств Е„то она измерима и на их гумме. Утверждения теоремы вытекают иэ следую!них формул: Ь" [~) а] = Е [т) а] К Е [/) а] = ~ ', Е„[У) а]. Теорема 3. Если У(х) и и(х) вквиваленлгны на Е и одна из них и.тмерима, то и другая измерима. По условию теоремы, множество А=Е[~~д] имеет меру нуль. На измеримом множестве Е'=Š— А имеем У(х)=й(х), и иэ измернмости у(х) на Е, и тем самым на Е', следует иэмеримость к(х) на Е.
! 1о е(х)'измерима на А (меры нуль), а тем самым и на Е= Е'+А. Теорема 4. Если г(х) — измеримая функция, то и ]т(х)[— пзлгеримая функция Утверждение теоремы непосредственно следует нз формулы Е[]г ])а]=ЕД)а]-] Е[У( — а] (а)О). Теорема б. Если /(х) — измеримая функция и с — вещественное число, то у(х)+с и сДх) — измеримые функции. При с=О теорема очевидна. Считаем, что с ФО. 11ервое утверждение следует из формулы Е[/+ с)а]=Е[у) а — с], а В. меРА и теоРия ннтеГРиРОВАния а второе нз формул Е[су>а]= Е[у> — ~ при с)0, Е[с/)а]=Е[/< — ~ при с<0. Те о р ем а 6. Если у(х) и 6(х) — измеримые функции, то мио- вкество Е[/) и] измеримо.
Пронумеруем все раниональные числа [93]: г„га, ... Утверждение теоремы следует нз формулы ЕУ)6]=* ~ ЕУ) г„]Е[Е(г,]. ч ! Теорема 7. Если /(х) и у(х) — измеримые фуикцгги, прини- мающие конечные значении, то функции У вЂ” е, /'+е, /е и (ири 6~0) измеримы. Измеримость /'-к следует из формулы Е[/-6) а] = Е[/) и+ а] и теорем б и 6. Измеримость суммы — из формулы ~+у у-( — л) и теоремы б при с — 1.
Измеримость /ч — из формулы ЕЮ а]= Е[У) Уа[+Е[У<- Ма [ (а ) О], а нзмеримость /и нз формулы '/б 4 ['/ ! Иамернмость — (при 6~ 0) следует из формул !/ Е~ — >а Е[и ° 0]Е~д( — ~ при а)0, Е~ — ) а1=Е[у)0]+Е~у( — 1 при а(0, Е[ — = 'а~ Е[к)0] Г! прн а О. [.а Наколем, измеримость частного следует из формулы — у —. Ого- / 1 К У порка о конечных значениях необходима, нбо в противном случае действия над функциями могут потерять смысл. Если в некоторая точке у=* + со н и — со, то сумма ~+6 не имеет смысла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
