Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Окружзв кзжлци 9' кяядрат, ирииздлсжщшщ к (Ь"), воссиью ирилсгщощими квзлратзии Сяткя> я иричислвв их к (Ь"), сали оии рзиьше ис вхоЛили в (у), придем к следуюв<сму результату: лри любом зпдпннп.и а)0 множвсаеве меры нуль можнп зпьлючвюнь строго внунюрь множгснюва теда (а), нлощодь лоторого мснылс а. Ревультаты послед|и|я двух иоисров легко ириводвт к следующим утвярждеиивм: 1 Всякая час|на множссюнва меры нуль есть множество мглы Юувь. Сумма кпн<чного числа множсснюв меры нуль есть множввдаео мери нуль. 2г34 Гл.
311. КРлтные и квиволинейнме н!1теГРллы !»3 ул 1:глп множесгнва Е; и ń— квадрнруемы и Е, ь. Е», то т(1,)- -т(Е») :!. 1гли Е! и Е» — квадраруемие множегтвп, не имеющие общих внутренних еочск, то их гуммп Е=Е, + Г, — квпдрнруемое мггожгггпао и е(Е)= т(1',)+ е(Г»). Покажем последнее утнсржлснис. 1!ус»ь (Я») н (Я» +,С3) (д=-!, 2) — множества типз (д) для Еы а (т) н (Я+Ь) — для Е.!!33 )словню, (Я3) н (Я3) нс нчшог обно3х песк, но нрн сложении Е, и 1:„ лш3ут ношчыься н 1 новыс кнзлр»3ы, 3ш< ч3о 83-~-Я»- .Я. (: друго!! с!вроны, сум»3» лнн3жссгя (К3-)- К!) и (К,-3-5»), нокрышанннх !13 и Е» вчсстс с их гршннгами, нокрындсг н 13 с сс гранннсв, !!ба всякая точка гранины Е является 3раничнон но крдн33сн мсрс лля одного нз Е», откупа 8+8'ггс(Ь3+Ь )+(8»+8»).
Отметим, ио 3юко»орые нз квзлратов (8;) и (8») могут совпадать. Таким образом, приходим к неравенству Е» + .с» < 8 -= 8+ ~' ~ й + ~;) + (8»+ 8,') 11рн беспредельном измельчении сстки 8» — О, 83 т(Е,) и Ю» е(Г„), о!куда Ь' — В н б н»(Е3)+пг(Е»), т. е. Š— квадрируемос множс- С»ЯО И е (Е) = гп (Е,) + и! (Е,).
Показанное свойство имеет место и для конечного числа слагаемых 1», не имею!них попарно об1цнх внутренних точек (своаство аддитивности »геры). В дзльненгнсм мы часто будем иметь дело с открытыми множествами и областями. 1!усть Š— открытое кнадрируемое множество и 1 — его гранина (меры нуль).
Разобьем Е нри помощи конечного числа линий 1,(а=1, 2, ..., »п), кзждая из которых есп замкну!ос множество меры нут. (:у»гид замкнутых множеств 1, и множества 1сс3ь замкнутое множество»3сры нуль. Обозначим сто буквою 13. Вычитая нз 1 сумму 1„получим открытое квадрнрусмое»шожсство ЕР Все !очки с1о грзннны нрннздлсжзт 13. 1!оло»кнм, что р!дбнснис 1 нрондволнтся прямыми, ндрзллсльнь3чн гсямн, н рзссмотрнм »с чдстячныс прямоугольники (нлн кядлрты), ео!орые содержат !очки 1:;. '!исло !акнх прямоугольников конечно, и множество !очек !., внутри кзжлого 33» н1п, сс»ь некоторое 3,3- кр3»тое квалрнрусмос »3ножсстно, граничные точки ко3орого мо3! г лс кать нли нд 1: нлн на гршгннс соответствующего прямо>го»3- ннкд. !313» получаем, те!им образом, конечное число квалрнрусмы! о3кры3ых »33333ъсс333 1!» (11=1, 2, ..., е), гумна мер которых рав3ы лире Е и днзмгчр 1!» Ие боль!3!с лнагонали соо»нетствуюшего прямо)!ильинка.
В л331н33сг!и3с»! нри разбиении кндлрнрусмо3о открыто!о м!ю»ьсс3вд (131!и облдс133) 3ш часа! л!1» будем вседа нол!3дз) мсвзгь, а е. Л<ГРА и ТЕОРИЯ И<<ТГГРИРООА3<ИЯ <)(3(л это производится лиииями, имеющими меру пуль. Если П вЂ” аб. ласть, то ири некоторых свойствах <' мн и и каждом частичкам прямоугольиике будем иметь область. Дадим теперь простой пример линии )< меры нуль, а именна наложим, что Х имеет яииос урзииспие у = <)(х), гле <р(х) — испрсрни'иаяфуикиия пз конечном ироисжуп<с и--.
х =Ь. В силу рзииамсри<<о иецрерыипости <р(х), ири залшивм е)0 су<исстиуст такое 3) О, чга (<у(х") — у(х)! (< — —, если !х" — х'!:-,й. Выберем г лзк, пабы 3(Ь вЂ” и) ' оио было мсиьше Ь и мспшис: — -. 11ри настроении сетки 33Ь вЂ” и)' каадратои прам<жутак (и, Ь) рззабьс<ся <ш части: и=л,(х,(х„( (...С х„,(х„— Ь, ири км лляср<л мих часто)3 х„— х„, = г, з х, — и -, г и Ь вЂ” л 3- .г.
Возьмем тс кпалрзгы сетки, которые пзхадятся и алкай полосе мсжлу л. = х„, и х = — х„ (Ь=1, 2, ..., и) (рис. 78). В силу ха — х„, ° ' 3, можем утасржлагь, что колебание <р(.1) и промежутке (х„и хл) < МЕНЬШЕ: — -, КИЗДРЗГ, ИМСЮ<ИИИ 3!Ь-- и)' общую точку с самон 333<ж<<сй (верхи<Я) точкой линии у = у(х) из промежутке (ха 3, х„), малкст илти иииз (иаисрх), самое балшпсе из г. Таким абрззам, <т еа<,т, ..з„< а сумма иысат кизлрзтои сетки, имеющих общие точки с линией ), и садсржа<иихся и !' с. 73 уиомяиутой полссе,мсиьшс .- — + 2г, 3!а — и) л или, в силу г(; — .— -, этз суммз мспьшс -, з сумма плашзлсй 3!Ь вЂ” и)' Ь вЂ” и' этих киалрзтаи мень<по . — - (х„— х„,).
!.уммируя по й от Ь=1 Ь вЂ” и до Ь=, юлим, ч<о су. л ил<<ища и ш;лр т, . с< и х с ), точки, меиьше е, откулл, и аиду ироиз<юльпости е, следует, чла п().)=0. СовеР<псицо ты<же лилжио иакзззтть по липин л = — ф(У), тле У(У) иепрерыапз и искотаром конечном замкнутом промежутке, пмссг меру, равную ну<па. !1ззаисм лрасшай ясаку<а крикун<, которая мажет быть разбита из каисчиос число частей, кзждзя из кагарых имеет уравиеиие у=о(х) ити х=(<(у), глс <7(х) и ф(у) исирсрнииы и соотиетстиукииих копсчинх замкиутнх промежутках.
Из ирсдылу. щего следует, что простая кршюя также имеет люру, рзииую аул<<А акая 3<ризах люжст быть замкнутой кр<ию!3, к<)Га)<зя 33е 33<'1)ссекает сама себя. !!ри атом аиз является <Рзпицсд 3<издр<<1<уемад области. 996 ГЛ. ПЬ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ мь Можно показать, что если кривая ! имеет параметрическое пррр„ ставление х=ф(1), у=ф(1), где ф(!) и ф(!), а также их производ.
ные непрерывны на некотором конечном промежутке 1, ~1 ~1Р кривая не пересекает сама себя, и производные у'(1) и ф'(!) Не обращаются одновремшню в нуль, если 1 принадлежит к указанному промежутку, то т(!)=О. Если ф(1,)=у(!ь) и ф(1,)=ф(1,), но кривая не пересекает сама себя при 1,(1(1Р то ! — замкнутая, сама себя не пере. секающая кривая и, прп указанных условиях гладкости, ее мера равна нулю.
ь Интеграл ~ ф(х)ь(х, как нетрудно показать, дает площадь в укаи ванном в!гане смысле области, ограниченной кривой у=у(х), осью у=О и прямыми х=а и х=Ь, причем мы считаем, что ф(х) непрерывна при а(х~Ь н положительна. Отметим, что при определении внутренней н внешней меры и квадрируемости мы могли бы пользоваться не сеткой равных квадратов, а сеткой прямоугольников со сторонами, параллельныни осям, и считать прп этом площадь прямоугольника а~х(Ь, с~у ц:а равной (Ь вЂ” а)(4 — с), т. е.
произведению его сторона 96. Независимость от выбора осей. Определение внутренней и внешней меры, а также понятие квадрируемости тесно связано с выбором осей, поскольку мы проиаводнч измерение площадей с помощью сетки квадратов со сторонами, параллельными осям. Хорошо известны формулы для новых координат точки при параллельном переносе координатных осей и их повороте. Параллельный перенос оставляет направление осей прежними и ничто не меняется при определении площади. Иное будет прн повороте осей.
Граница любого квадрата есть простая ливия, и следовательно, любой квадрат квадрируем. Конечная сумма квадратов любой сетки также квадрнруема [96[. При параллельном переносе площадь квадрата, очевидно, не меняется. 1!окажем, что плоиладь любого квадрата равна квадрату длины его стороны. Йостаточно, очевидно, доказать следующую теорему: Теорема 1. Если повернуть квадрат са спгороналси, параллельнылт асам, вокруг начала, гпа площадь его асглаетсл прежней. Пусть (9) — исходный квадрат со стороной г и (91) — квадрат, полученный после поворота. Такини же буквами будем обозначать их площади и положни — =в.
При помощи параллельного переноса, не 9~ менюощего площади, мы можем совместить (д) с любым параллельным квадратом со стороною г и, следовательно, для всех квадратов со стороной г отношение ~' при данном повороте плоскости будет Ф одно и то же. Совершим теперь иад плоскостью преобразование подобия с центром в начале, при котором длины всех радиусов-векторов, з з, мезл и теоэия интегэиэовання пнйфдящих яз начала, умножаются на некоторое положительное ясдо й.
Такое преобразование сводится к переходу точки (х, у) и точку с координатами (лх, лу). При этом преобразовании все линейные размеры уь~ножаются на л. Всякий квадрат со сторонами, 1ззряллельными осям, переходит в такой же квадрат, но длины его счззрон умножаются на л. Отсюда следует, что плошади (внутренние н внешние) при этом умножаются нз и'. Обозначим через (л') и (л,') че квадраты, которые получаются из (д) и (д,) при помощи указан. йсяо преобразования подобия. Очевидно, что (и,') получается иэ (и') прн помон!и того же вращения, прн помощи которого (я,) получзется пв (л). Но я,'=Дад, и д'=Я~ай и, следовательно, ~! =ж Но, подбирая соответственным образом число л, мы можем перевести квалратп ° квадрат с любой длиной стороны. Таким образом, мы видим, что отношение х'-=а при джпюм повороте плоскости имеет одну я ту же Ф величину для всех исходных квадратов я.
Покажем теперь, что а= 1. Рассмотрим круг х' +у'( 1 с центром в начзле и радиусом едипппа, покрытый сеткой квадратов со сторонами, парзллельными осям. Втот круг есть, очевидно, квздрируемая обласж,. При повороте вокруг начала плошадь квадрата получит множитель а, я в силу определения площади и доказанной выше теоремы, площадь круга также должна умножаться на д Но при упомянутом повороте круг перейдет сам в себя, и его площадь не должна изменяться, т. е. а = 1, что и требовалось доказать. Положим, что имеются две различные по направлению сетки равных квадратов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
