Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 53
Текст из файла (страница 53)
слить только В З. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ массу шара а гго цгкшре. Пришяжгяиг жг а а!очке зкушри шара лроиор«изяальли расс<яоякию иримягизасмой точки ош центра <лара. для простоты вычислений мы выбрали осп координат специальным образом, направив ось Ол в точку С, так что в предыдущих формулах г сеть расстояние точки С до центра сферы.
Прп любом расйоложснии н««рлнизтных осей с началом в центре сферы надо заменить г из )~х" +у!+ а", <лс (л,у, а), как всегда, коорлинаты точки С. Форы>лы (74! и (75) да;ц г (/= . (С вне сферы), )' ".+у" +г" 1 0=7яв ит — —,— (л<+ут+г<)~ (С вн>три сферы). 3 Первое пз нырял<сппй лля 0 очевидно удовлетворяет <равнению (71). Дифференцируя второс выражение два раза по к, у и г, пол>чим >(7 ди дО дл' ду' дс' — + — + — = — 4ян (С внутри сферы). (79) Как мы увидим в лзльнсй<псм, зто уравнение оказывается справедливым п для любого объема (и) с переменной плотностью, сслп С находится внут и (о).
Положим, что притягивающие массы распределены по поверхности (5) с яоверхностсой плотностью Р(М), которая является функцией переменной точки М поверю<ости (5). Обозначая, как и вып<с, чср<з С<к,у, г) иритя<иваемую точку с массой единица н чсрсз г расстоиине ) СМ ~, йолучнм для потенциала 0 выражение (79) г < и дая проекций притяжения У(= - — = 1 1 Р(М)д— Н Ж Р= — = 1 1 Р(М) — ( — ) дф. <гз <Э г=~~= ~ ~Р(Л!)-~ ( — ') дЗ.
<з< Потенциал (79) называется обычно потенциалом яросшого слоя. Выше мы рассматривали тот случай, когда С находится ис на <з! (внутри нли вне (8)), так что ясс интегралы собсп<сииыс. 11рп атом потенциал (79) уловаетворяет, как н в примере 4, >равнсюпо (71). 5 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВП Предвйрительиые понятия.
При изложении теории простого и кратного иилсгралов мы исходили из интуитивного прслстаилеиия площади и объема. В пзстоя<цсм парагрзфе мы дздим обоснование ятях понятий и строгое илло>кение основ теории крэтных иптсгрзлон. Отсюда будет, естественно, следовать и теория простого (однократного) ~итеграла. Теория измерения длин, площалей и объемов пазыпаетсн обычно об<пни термином — и<сория леры. Глачала мы изложим бо"ев элементарную теорию меры — тлк мазывземую меру у!<ардона Гл. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИИТЕГРАЛЫ [9! (французский математик второй половины Х!Х начала ХХ веков), сляпанную с понятием он»Леграна Римана, которым мы пользовались п на. стоящей главе, В настоящее время она уже не играет большой роли п математическом анализе, и л~ы приводим ее для того, чтобы дать законченное теоретическое изложение интеграла Римана.
1(алое мы переходим к теории меры Е7ебега (фрзнцуаский мате. матик первой полонины ХХ века), которая спязана с новым понятием интеграла — с интеграла,и .7ебега. Вгот и следующий номера содержзт некоторые спедения о мпожестпах точек, необходимые как для теории Жордзнз, так и для теории Лебсга. Рассматриваются п основном множестпа на плоскости, но псе сказанное легко переносится иа случай прямой и трехмерного пространстпа.
Мы будем пользопаться геометрической терминологией (точкз, линия, область и т. д.), но п основе будет лежать арифметизиропзниая плоскость, п которой точка определяется парой чисел (х, у) — координзтамн. Пззопем а-окрестностью точки М(а, Ь) круг с центром М и радиусом ь, т. е. множество тех точек (х, у), координаты которых удовлетворяют нерапенстпу (х — а)Я + (у — Ь)т ( зз. Будем рассматрипать множества точек на плоскости, солержа|цие конечное или бесконечное число точек. В первом случае множество назыпается конечным, а по ягором — бесконечным.
Пусть Š— бесконечное множество. Введем некоторые лажные для дальнейшего понятия. Точка М иазыпается предельной елочкой множестпа Е, если любой з-окрестности М принадлежит бесконечное число точек Е. (:ачз точка М может как принадлежать, тшг и не принадлежать Е. Коне Р иое множество, очепидно, не имеет предельных точек. Миожестпо Е нззыпзется огранлченным, если псе его точки принадлежат некоторому квадрату: а(х(Ь, с. у =б (Ь вЂ” а =б — г) со сторонами, параллельными осям. В следующем номере мы покажем, что всякое бесконечное ограниченное миожестпо имеет по крзинен мере одну предельную точку. Множество Е, содержащее зсе спок предельные точки, нззыпзется зомкнуглым лгнолгеггнво.н. Если Е не имеег предельных точек, то его тзкже естественно назыазть ззикнутыи.
Точка М, прииаллежаншя Е, иззыпастся внутренней точкой Е, если этому чножестпу нрниздлежзт псе точки некоторой в-окрестнос|и точки М Онгкрыглы.в .Енолсеенгвом нззыпзется множесгпо (', пс ' точки которого суть пиутреннне точки, и облашнью (огг|кпывгой об.гагнгью) — такое открытое множество Г, что любые лис точки ьюжно соединить ломаной линней (состоящей из конечного числ' огрезкоп прямых), исе точки ко~арой прннздлежзг Г.
Огиетигь что иногда пместо термина чоткрытое ьщожесгпо» нрииенюог терищ1 за, мпл н тсогия интвгггшовлния 285 область», и при этом вышеуказанный термин «область» заменяют тср„ином «связная область». й1ы будем применять указанную выше тсри инолог и ю. квадрата 0 <! О< в внутренние точки двух квадратов, не имеюингх общих точек, обра~ют открытое»шожесг по, но не область.
Вся нлоскосгь Е ес ~ к одновременно и замкнутое н сокрытое множсссво. Назовем граннип1 открытого множества множество 1 точек Л!', обладающих следующим свойством: сама точка М' не припздлежит Е, но является предельной ддя Е точкой. Отметим, что всякая точка М, принадлежащая открытому множеству Е, является и предельной для Е, ибо все точки некоторой в-окрестности М принадлежат Е. Покажем, что 1- замкнутое множество. Пусть И- предельная точка й Нздо доказать, что М нринадлежнг б 1!о определению прейельной точки в любой е-окрестности д! находятся точки 1, а нотоиу и точки Е, ибо 1 — грашща Е; Но точка Ф ие принадлежит Е, ибо всв точки Е- внутрен~ее. Таким образом, Ф вЂ” предельная точка !'.
ве принадлежащая Е, т. е. 1л! нринадлехсит 4, что н требовалось докаЗвмь Если нрнсоедгснить к открытому иножеству Е его границу !, оо иолученпое множество Е, как нетрудно показать, замкнуто. Переход от Е к Е обычно называется за.имканиелс Е. Замыкание открытого квадрата 0 (х(1, 0 <у < ! приводит к аамкнутому квадрагу О«а,ха 1, 0;у -1. Отметим, что все точки ! или некоторые из нвх могут стать внутренними точка»ш Е. Эго будет иметь нес~о, например, если Š— все точки плоскости, кроме точек окружносги Ха+уз *1.
При шон Ь есть вся плоскоссь. Если Е есть круг ля+уз(! с исключеншам радиусом из точки !О, 0) в точку (1, О), т. е. с мсключенными точками (х, 0), где О.-.=.х(1, то Е есть весь замкнутый круг х'+уа ( 1. Точки исключенного радиуса стали внутренними точками Е. Если Š— область, то Е называют часто за.икабстой обласнга ю. Введем еще некоторые понятия, связанные с лсобым множесавом точек плоскости.
Назовем лроизводнызг мнозкеетаом рр множссгва Е совокупность всех предельных точек Е. !'ак н выше для 1, можно доказать, что всякое производное множество Е' — замкнуго. Пусть Е,— множество всех точен плоскости, не принадлежащих Е Оно называется обычно дополнггтельнм.и для Е. Границей 1 любого множества Е называется множество точек, принадлежащих одному иа мнотмаетв Е или Ег и производной другого, т. е.
Е и Е' или Ет и Е'. 'иля открытого множества это определение границы равносильно прийеденному выше. дадим и другое определение границы любого множества Е, рзвнойильиое. как нетрудно показать, укааанному выше, Назовем точку М вв Е изолированной точкой Е, если сущесгвуег е-окрестность М, 286 ГЛ. ГП. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНГПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1ья пе содержащих точек Е; отличных от М. Границей 1 множества Е назовем множество изолированных точек Е и тех предельных точек Е, которые не являкгтся внутренними точками этого множества.
Можно, как и выше, показзгь, что 1 — замкнутое множество. Точки 1 могуг как принадлежать, ззк н не принадлежать к Е. Если присоединить к Е, то получим замкнутое множество Е) Это доказывается, как и вып~е, лля открытого множесгва. 92. Основные теоремы. Покажем две теоремы, связанные с введенными понятиями. '!' е о р е и а 1. Есякое бесконечное, огранггтенное множес~гво гг.яеенг гю крайней' мере одну предельную гночку. В силу ограниченности множества Е все его точки принадлежат некоторому квадрату: а(х.-Ь, с(у» б, которын мы будем обозначать символом 1а, Ь; с, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
