Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 50
Текст из файла (страница 50)
( — 1) О и„-1- (38) будет сходящимся [1, 123!. Положим теперь, что ь~т. ь < рг(т+ П н, (39) 87. Равномерно сходящиеся интегралы.') Если подынтегрвльная функния несобственного интеграла зависит от параметра у, то числа 7) и М, о которых говорилось в общих прнзнакзх 1 и 2 из !86), вообще говоря, зависят от у Если при из»калении у в нролгежутке гл<у =() числа ц и )т! в условиях ! Ь вЂ” ВО у"(х, у) )!х <б прп 0<е' и е" <г), (41) <б лрп Ь и Ь")М (42) ') Перед чтением настоящего параграфа полезно вспомнить теорию равно. мерно сходящихся рядов нз тома 1. в расслютрим интеграл ь 7'л Г зл 1 Ол 5)П (» ) 1!ХОО ~ Ып (Х ) ).Х+ 1 51П (Хз) дх+ + ~ Вн) (»5) Г )л Г Ои — Нл ь + )Г нп (хз) да=из — и)-1-.
-(-( 1)т-)и 1 Ь ( цл ц (40) )гтл где 0<6<1, так как последний промежуток (!'тп, Ь) составляет лишь часть промежутна ()утл, !'(т+1) л) илн даже отсутствует при Ь=!'тл. При Ь-»+со н иелое число т, определяемое неравенством (39), стремится к (+со), и нз сходнмости ряда (38) и равенства (40) вытекает существова- ние несобственного интеграла + ОО ь ып (хе) О)х= !Нп )г ып (х') ах=из — и,-ри — и,-)- ...
Ь +ООО В настоящем случае существование несобственного интеграла обусло- вливается знакопсремснностью подынтсгральной функпии, а также тон, что последовательные площади, находящиеся иад н под осью ОХ, по мере уда- ления от начала по величине убывают и стремятся к нулю, причем послед- нее обстоятельство происходит не от того, что нх высота стремится к пулю, но от беспредельного суживания этих площадей. Совершенно так же можно рассмотреть н интеграл (36).
В томе П1 мы получим следующее значение для интеграла (37)1 + ОО + ОО ып (хз) дх= со5 (хз) да= — ~/ 2 )О 2 о Написанные интегралы называются интеграеами Френеля или интегра- лами дирракции. Последнее название связано с той ролью, которую играют зги интегралы в оптике, 268 ГЛ, Нк КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ свт лсолсно выбрать независимо от значений у, то несобственные интегралы ь + аа ~У(х, у)бх, ~ Дх, у)с(х (43) (44) е„е, е, ..., ел...„ можем написать Ь вЂ” в, Ь вЂ” е, ).с(х,у)бх= $ .с(х,у)бх+ $ + $ +" + а а Ь вЂ” е, Ь вЂ” в, Ь влас + $ + ... =и,с(У)+и,(сс)+ив(гс)+ ...
+ал(У)+ ..., (4о) Ь вЂ” е л ГДЕ Ь вЂ” вл с и,(у)= ~ Дх, у)бх. (46) ь — ел В случае второго нз интегралов (43), задав ряд беспредельно возрастающих чисел (47) дс, дв, дв . дл будем иметь + аа ь, ь, ь, Ь ,у(х, у) бх = ( у(х, у) бх + ( + ( + ... ( ~ + ... = а а ь, ь, Ьл =ив(у)+и,(у)+ссв(у)+ ... +нл(у)+ „, (43) Из определения равномерной сходимостн интеграла в ряда 11, 143) непосредственно вытекает, что если несобственный интеграл сходится равномерно, то н соответсгвуюсцнй ему ряд будет равномерно сходящимся при любом выборе чисел (44) иля (47). Действсстельно, например, сумма далеких членов ряда (4о) равна нпс ггралу по отрезку, близкому к д, для которого соблюдено неравенство (41).
а а называются равно. мерно сходямСимися относительно у. В частности, интегралы, ссоторые встречаются при применении признаков Коан, будут равномерно сходящимися, если постоянные А и р не зависят от у. Всякий сходящийся несобственный ннтегрзл мы можем предстзвить в виде сходящегося ряда, каждый член которого есть уже обычный интеграл. Этим приемом мы уже пользовались в предыдусцем.
Обратимся к первому из интегралов (43). Задав ряд положительных, убывающих и стремящихся к нулю чисел 269 $8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Свойства равномерно сходящихся интегралов аналогичны свой. ствам равномерно сходящихся рядов [1, 146]. )(ля определенности формулируем их для второго из интегралов (43), но сказанное применимо и для первого.
1) Если функция 1(х, у) непрерывна лрп а =.х и лрп »затенении у в некотором конечном промехсутке «(у(~, и интеграл + СО г(х, у)дх О (49) равномерно сход»гнея, то он есть непрерывная функция от у нрп «а у а;р. 2) При тех гке условиях имеет место п формула интегрирования яод знаком интеграла: Ь СО +сО а ~с(у~ У(х, у) 8(х= ~ с(х~У'(х, у)с(у.
(50) а а а С 3) Есл» при непрерывности г(х, у) п ' У интеграл (49) д/(х, у) ду сходится, а интеграл др(х у) ф ду а (51) (52) Докажем для примера свойства 1) и 3). Члены ряда (48) л+1 и„(у)= ) г(х, у)фх, (53) ьл по доказанному в [83), суть непрерывные функции, и, в силу равномерной сходимости интеграла, этот ряд сходится равномерно, н, следовательно, сумма ряда, т. е. интеграл (49), тоже есть непрерывная функции [1, 146). для доказательства (3) заметим, что из [83) следует, что интегралы (53) можно дифференцировать под знаком интеграла, т.
е. и„' (у) = ~ — 3-' — сьх. " ' др(х, у) ьа сходится равномерно, то имеет место формула дифференцирования под знагсом интеграла: + ОО + СО ' 1 у(х, уих= 1 ю~7 з0 фх, О О 270 ГЛ. Нх КРАТНЫЕ И КРИИОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !аа Но, и силу равномерной сходимостн интеграла (51), мы имеем разномерно сходящийся ряд + ОЭ ч> ьи (О ~ 'У(; У) дх='~ ~ '", ! д = ~ „(у). (54) ду, ду О к-ч ь„ л О Нгзк, ряд (48) сходится, а ряд нз пропзяодных сходится раппомсрпо.
Огскщз следует !1, 146), что сумма ряда (54) есть произволнзя ог суммы рядз (48), что и прниодпт к формуле (52). укажси простой признак абсототпой и рзиноиерной сходнмостн нссобс|зснного нптсгрзлз, аналогичный признаку абсосиотной и разном»рапп сходнмостп ряда !1, 147!. Сдслзем это для второго нз интегралов (4:!). Аналогичный признак имеег место и для первого интеграла. !!УС Нч КЗК ПСЕГДЗ, У (Х, У) НЕПРЕРЫнна ПРИ а ~ Х И Кч-„.у Если существует пгакая непрерывная при к(х а пололсипгельнаи фунацптг 9(х), чпго !7(х, у)',-- 7(х) при ак-х и к--ук--.З и ингпсграл !Г(х, у)!в!х, а что и доказывает наше утверждение.
88. Примеры. 1. Рассмотрим более подробно пример 3 нз [84(: СО /(к, 'Р) = ~ е кк — дх. а!п Рх х а Считаем пока, что а — фиксироаанное положительное число, и расска триааем интеграл (56) как интеграл, заансящия от параметра Р, Заметим, ч™ (56) + ОЪ р (х) а'х (55) сходится, гпо интеграл (49) сходится абсолюгпно и равнолгерно (относительно у). В силу сходимосги (55) прн любом заданном 8)Р существует А! такое, что ь" ') о(х)дх(З прн Ь' и Ь")М, причем это М пе зависит от у, так кзк 7(х) не содержит у. Но из !г' (х у)1('р(у) вытекает ь" ь" ь У)дх)~ С! !ге(х, у)~дх = ( е(х)дх(8 при Ь' н Ь")Аг, ь ь ь т. е.
то же самое Аг, не зависящее оту, годится н для интеграла (49) и даже для интеграла 27[ 3 а несовстиенные интегралы зв! сношение — — со»Раииет испРсРывность и пРЯ х=О н обРа)паетса пРп з)н [)х х в 6, так что интеграл (56) является несобственным только вследствие ! яп [)х бесконечного предела. Прн положитсльных») ! мы имеем ~ ~(! и, х „„зи) 5» ! следовательно, ~ с "" — ~ ( с "', а интеграл 1 1г =аз ! е-агдх — ~ с-и» =- ..е" а 1~=1 а 1 сходится, и, следовательно, по доказанному признаку, интеграл (56) сходится равномерно относительно 5. Дифференцируя сто по 5 под знаком интеграла, получим интеграл ~ е "»сот 5»с!», Й который, в силу !с ""сга[)х)(е "», также сходится равномерно. Отсюда вытекает, что интеграл (56) есть непрерывная функния от Д н что сто можно дифференцировать под знаком интеграла.
Для оправдания всех вычнслсишт упомянутого примера остается епш доказать, что )пп ! (а, Б)=) (О, 5), т, с. а +о что интеграл (56) при фиксированном () сеть непрерывная функция от а справа от нуля. Мы докажем, что он есть непрерывная функция от а при а=и. Выше мы уже показали, что он сходится и при а=О. Не огра)пчнвзя общности, можем считать [) )О, так как случай [) (О приводится к случаю [)) 0 простой псрсменои знака интеграла, в случае же [) 0 утверждение очевидно. Будем поступать аналогично тому, как зто мы делалп в [66[ с интегралом Френеля. Разобьем весь промежуток (О, -[-сс) на части ( и) (и» ) ( (я+!)и) такие, что в первой части подынтегральпая функция /(х)=е "' — ' (а~б н [) >0) мп [)х х имеет знак (+), во второй — знак ( — ) и т.
д. Положим 1»+1) я и и (а)=( — !)» [~ е и» вЂ” 6», мп [)х х »я и лп Вводя вместо х новую перемени) ю Г=»-- -, получим [) ' р »аи з)п [)Г г+ [) откуда видно, что и„(а)-положительиые н убывают прн возрастании н. 272 гл, ш, кратный и криволинейный инткгрдлы (ач Кроме того, из неравенства [ и. (*) [ С Г вЂ” И ия и (87) о слслтст, что и„(а) О ирн я--[-сю, Итак, мы можеы ирелстав|нь ори а)О наш иигсграл в виде суммы знако- иеремсиного ряда + <о -а» ав| рХ е "" — <Гх= иа(а) — и,(а)+из(а) —...+( — 1)" и„(*)+ ... (ДЧ) х л Остзточный член этого ряда, в силу (57) н теоремы [1, 123[, имев» оценку 1 [гя(а)[([ия <(а)[(„— + — 1, 1 ие зависящую от а, причем — О нри и -[-со.
Отсюда вытскасг разя+1 номерная сходимость ряла ирн а =. О и, следовательно [1, 146[, нснрерывнос|ь его суммы, поскольку члены ряла и„(а), в силу [89[, суть, непрерывные функции. Заметим, что из одной равномерной сходимостн ряда (ЗК) ири а ~ О бе< доиолшнсльных рассуждений с|це ие следует равномерной схоаимостн ни<<- <раза. В ланиом случае можно доказать, что и ишсграл равномерно сади»»я нри «)О. Заметим, что интеграл а» ми рх л <ух, о равный -,- при р ~ О, < — —,~< при Р ( О и нулю нри Ч = О, ласт б<уикцню от Ч, 2 27 имеющую разрыв нсирсрыв«ости ири |Ч= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
