Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(75) 242 ГН. П!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ют 2ч3 в т. коиволннапныв ннтвгиалы Накоисп, при постоянном объеме ин писем до=о, и Щ=сьду, Щ=с„(уь — Т1, если газ перехолит от температуры Т, к температуре Тн (181 где С в произвольная постоянная. Геометрически уравнение (78) дает семейство поверхностей в пространстве.
Если левая часть (77) не есть полный дифференциал, то будем искать интегрирующий множитель, т. е такую функцию р(х, у, г), чтобы левая часть уравнения р (Р с)х+ () ау+ й й«) = О была полным дифференциалом. Условия (39) дают при ятом: д (ий) д ги(71 д ЬР1 д (иЯ) д (и® д (ир1 — — =О, — — — =О, — — — =О, ду дх ' да дк ' дх ду (79) что можно переписать так: (80) где др1 ди ди р'- — — '=Р— — Я вЂ”. 1дх ду ) ду дк' Умножая вти равенства почленно на Р, ъ), й, складывая и сокращая на р, получим соотношение между Р, О и й: Таким образом, предполагая существование интегрирующего мно. жителя р, мы пришли к необходимому условию (81), которому должны удовлетворять коэффициенты Р, (), й. Можно показать (на чеи мы не останавливаемся), что зто условие и достаточно, т.
е. уравнение (77) не всегда имеет интегрирующий множитель, и равенсиьво (81) дает необходимое и достаточное условие существования такого лисожителл. Если (ь существует, то левая часть уравнения (79) есть полный дифференциал некоторой функции У, и равенство (78) дает общий интеграл уравнений (79) и (77). Если же условие (81) не 79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трек переменных. Обобщая уравнение (55) на три переменные, получим Рах+ Яйу+йа«=О, (77) где Р, Я и й — заданные функции (х, у, «). Если выполнены условия (39), то левая часть уравнения (77) есть полный дифференциа.ч некоторой функции (7(х, у, г), и общий интеграл уравнения (77) будет (у(х, у, «)=С, (78) 244 ГЛ.
Пь КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ йи выполнено, то уравнение (77) не имеет общего интеграла вида (78). Условие (8() называется иногда условием полной интегрируемости уравнения (77). Выясним геометрический смысл уравнения (77) и его общего интеграла (78), если последний существует. Функции Р(х, у, «), Я(х, у, «), )с(л, у, «) определяют в каждой точке некоторый вектор Р(х, у, «), проел.
пнями которого на оси онн и являются. Система дифференциальнык двнений ур л'л лу л« Р г1 гг определяет семейство некоторых линий (Е) в пространстве, в каягдой точке которых соответствующий вектор к направлен по касательной. Уравнение (77) равносильно условию перпендикулярности бесконечно малого перемещения с составляющими Ых, Иу, 1«к вектору ч, т. е. уравнение (77) определяет в каждой точке некоторый плоский элемент, перпендикулярный к ч или, что то же, лежащий в нормальной плоскости к той нз линий (Е), которая проходит через взятую точку.
Общий интеграл (78) и дает семейство поверхностей, касательяые плоскости которых в каждой точке удовлетворяют этому условию, т. е. нормальны к ч. Иначе говоря, поверхности (78) будут ортогональны к линиям (Е). Если задано семейство линий (Ц, заполняющих пространство, то можно определить в каждой точке касательный к ннм вектор Р, взяв его длину хотя бы равной единице, его составляющие Р, (), Я и построить уравнение (77). Равенство (8!) дает прн этом условие, чтобы заданное семейство линия (Е) было ортогонально к некоторому сеиейству поверхностей.
80. Замена переменных в двойном интеграле. В заключение настоящего параграфа дадим вывод формулы замены переменныч з двойном интеграле, указанной нами в [60). Пусть имеется преобра. зование переменных х=у(л, ъ), у=ф(и, о), (82) причем мы рассматриваем (х, у) и (и, Р) как прямолинейные прююугольные координаты точек на плоскости. Формулы (82) дают нам точечное преобразование плоскости, прн котором точка (и, и) переходит в точку (х, у).
Положим, что мы имеем на плоскости область (сч) с контуром (1,) и область (а) с контуром (1). Предположим, что: )) функции (82) непрерывны вместе со своими производными первого порядка в области (сч) вплоть до (Егу 2) формулы (82) дают биоднозначное соответствие области (еч) с контуром (1,) и области (а) с контуром (1), т. е. всякой точке (и, о) из (сч) соответствует определенная точка (л, у) из (а) и, наоборот, точкам (1г) — точки (1); Ф т. кРиполинепные интеГРАлы 3) функционзльный определитель от функций (82) по переменным (и, э)( Р(н 4) су(и, а) др(и, а) дт(и, а) др(и, а) Р(и, а) ди да да ди сохраняет определенный знак в области (а,). Будем говорить, что голтве(латвие между (а) и (а,) прил(ае, если при обходе по (7() против часовой стрелки соответствующая точка (х, у) обходит (() тоже против часовои стрелки.
В противном случае, когда обходу по (4() соответствует обход в противоположном направлении по ((), назовем соответствие обратным. Площадь а области (а) выражается интегралом [11[( а= )х((у, (О где интегрирование совершается против часовой стрелки. Вводя новые переменные по форйулам (82), получим.
а=-+ ~ р(и, в)(зр(и, э)=+ р --„((и+ р — (тэ. (84) Р дф др и!1 ( з( Мы уславливаемся интегрировать по ((() против часовой стрелки. Если соответствие прямое, то в результате преобразования и полу- чится именно вто направление у (!(), а потов(у в формуле (84) надо брать знак (+). Если же соответствие обратное, то на (() в резуль- тате преобразования получится противоположное направление, но, приписав знак ( †), мы можем опять интегрировать против часовой стрелки.
Применим к интегралу (84) формулу Грина (!8), полагая х = и, у=в, Р= р — Я= а — Прн атом получи~ся дф дф ди' дЯ дР Р(т Р) (85) в, следовательно Применяя к двойному иитегрзлу теорему о среднем [64[, получим (88) где значение функционального определителя (83) берется в некотоРой точке (им т(,), принадлежащей (а,). Из последней формулы следует, между прочим, в силу положительности а и а„что если соответствие прямое, то определитель (83) имеет знак (+), а при обратном соответствии — знак ( — ). Перейден теперь к выводу форчулы замены переменных. Пусть 1(х~ у) — функция, непрерывная в области (а() и тем самым в (а). Разделим (а,) на части: т,', чт', ..., т„'.
Этим частям будет соответствовать, в силу (82), разбиение (ч) на некоторые частн ть т», „„ ;„. Будем обозначать теми же буквами т» и я» площади этнх частей. По формуле (86) имеем где (и», о,) — некоторая точка из т». Ей точка х»=о(и„о»), у„=ф(и», о»), н мы и Ю у /(х», у»)т»= ~~ /[у(и», о„), ф(и», соответствует некоторая можем написать »-[ »-[ Переходя к пределу, получим формулу замены переменных в даоднолг интеграле ~~/(х, у)»[хну= ~~Яр(и, о); ф(и, о)][,. ~' [а[иаЪ, (87) [1 Н1) которая совпздает с формулой (13) из [60]. Отметим одно следствие формулы (86).
Положим, что область (ч,) беспредельно сжимается к точке (и, о). Прн этом (о) будет беспредельно сжиматься к соответствующей точке (х, у), и точка (и,, и„), принадлежащая (ч[), будет стремиться к (и, о), Переходя к пределу, получим нз (86) ~~~(Т' ~~ [=1[ш —, т. е. отношение плошадей булет иметь своим пределом абсолютное значение фуккционального определителя в соответствующей точке, как мы об этом уже упоминали в [60!. Совершенно так же, если рассматривать функцию одной переменной х=/(и), как точечное преобразование на прямой, при котором точка с абсциссой и переходит в точку с абсциссой х, то абсолютное значение производной [/'(и)! лает предел отношения соответствующих длин на упомяну»он прямой, т. е., иными словами, дает коэффициент линейного искаженна в данной точке с абсциссой и прн упомянутом точечном преобразования.
Заметил[, что при выводе формулы (85) нам приходится пользод'ч ваться второй производной — н ее независимостью от порядка ди дэ дифференцирования. Таким образом, строго говоря, к сделанным в начале настоящего номера предположениям надо добавить еше суд'т шествование и непрерывность —, откудз, как известно [1, 166! дид следует н ее независнмость от порядка дифференцирования. 246 ГЛ.
[П. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [аа 247 % а. несовстэехные интеГРАлы ал1 Если (и) — область в пространстве, ограниченная поверхностью (5), то, применяя формулу Остроградского [86), люжем, полагая р=()=0 и !Т=г, выразить обьем э этой области в виде интеграла по поверхности: и=)) г ссз (л, с)ао'. Пользуясь этим вырзжением объема, можно доказать формулу замены переменных в тройном интеграле [63[ приблизительно тем же путем, каким мы это сделали выше для двойного интеграла.
9 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 81. Интегрирование под вилком интеграла. !1ри вычислении кратных интегралов мы встретились с определенными интегралами, у которых подынтегральная функция и даже пределы интегрировании взвисят от некоторого переменного параметра. Здесь мы остановимся несколько подробнее на таких интегралах. Мы исследуем интегрзл в котором перел1енная интегрирования обозначена через х, подынтегральная же функция зависит ие только от х, но и от параметра у, от которого зависят и пределы интегрирования х, и хэ В этом случае очевидно и результат интегрирования !(у) будет, вообще говоря, функцией от у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
