Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Локазательство того, что условие (27) является необходимым н достаточным для того, чтобы криволинейный интеграл ~в~ 1 Рг(х+ Яг(у И! не зависел от пути, существенным образом основано на следующих лвух обстоятельствах: 1) функпии Р и () и их частные производные первого порядка непрерывны в рассматриваемой области (,0) изненения (х, у). 2) Если в области (О) начерчен какой-либо замкнутый контур(/), то вся часть плоскости, заключенная внутри (7), приналлежит той области, где выполнены условия непрерывности и условие (27).
Первое условие взжно потому, что упомянутые в нем функппи входят под знак интеграла при доказательстве. Второе существенно для применения формулы Грина, т. е. для преобразования криволинейного интеграла к двукратному. Оно равносильно тому, что всякий замкнутый контур, начерченный в области, может быть непрерывиык сужением приведен к точке, не яы. ходя из области, или проще говоря, в зто условие равносильно тону, что область ие имеет дыр.
Од. Положим теперь, что функщщ Р и Я непрерывны со своими проЬ изводными и условие (27) выпол- л кено в некоторой области, имею- О щей две дыры (рис. 64). Если в та- кой области взять замкнутый контур (7а) внутри которого нет дыр, то к такому контуру и области, нм ограниченной, приложима формула Грина (18), и в силу условия (27) интеграл по такол1у замкнутому контуру ()я) булет нуль. Возьмем теперь замкнутый контур (7,), обходящий вокруг дыры (1). Здесь формула (18) неприменима, и интеграл (28) по ()г), вообпге говоря, окажется отличным от нуля. Покажем, что величина итого интегРала не зависит от вида кюнтУРа ()а), и важно лишь, что атот 288 э т, канволинеиные интегэхлы „онтур сбхолит вокруг олной лыры (!).
Возьмем два контура (Е,) и (Е), обходаших вокРУг (1). г(ам надо покззатгь что велЯчины интеграла (28) по (Е,) и (Е,) одинаковы. Проведем вспомогательный контур (аЬ), соединяюший (Е,) с (Е,). Кривые (Ег), (Еэ) и (аЬ) совместно являются контуром области, уже не имеюшей дыр, причем этот контур должен обходиться в направлении, указанном стрелкой. К этому контуру, следовательно, приложима формула (18), м, в силу (27), интеграл по этому контуру будет нудь: О ко ~ье) . О кн ~аа~ При этом интегралы по (Ьа) и (аЬ), взятые в противоположных направлениях, сокрашаются, игпегрирование по (Е,) надо производить по часовой стрелке и по (Е,) — против часовой стрелкя.
Меняя направление интегрирования по (Е,) и знак при интеграле, что не меняет результата, получим 5 — 3 =о Оиы Ойо яля окончательно РгЕх+ (Еар = ~ РгЕх+ ь) агу, Ото О Ян т е действительно интегралы по (Е,) н (Е) взятые оба как всегда против часовой стрелка, одинаковы по величине. Такии образои дыре (1) соответствует определенная постоянная мь равная величине интеррала (28), взятого по любому замкнутому контуру, обходягиему вокруг (!э Точно тан лсе дыре (1!) соответствует другая постоянная мь Если в области (Е)) проведем два разреза (аЬ) и (сб) от дыр к внешнему контуру (рис. 85), то получится новая область, не имею.шая уже внутри дыр, и, в силу (27), в втой облэсти можно построить оано.
вначиую функцию ць з) ЕЕ~~ Е е ЕЕ(х, у)= 1 Рг(х+()бу, кчь чы Но, в силу предыдущего, значения втой г функции на противоположных краях Разреза (аЬ) отличаются на постоянную Рис. б5. "ь а иа (сЫ) — на постоянную мь Если Уничтожить разрезы и вернуться к исходной области (Е)), то в ней Фунииггя ЕЕ(х. у) будет многозначной. Обход вокруг дыр будет при. Давать ьгов фУнкции слагаемые и, и мь т.
е ФУннЦи» ЕЕ(х, У) бУдегл 234 гл. ш. квдтные н коиволинвиные интегралы рв содержать неопределенное слагаемое вида ттыт+игтют, где гп, н гл — любке целые числа. Все наши рассуждения очевидно годятся для любого числа дыр в области, причем дыры могут быть и точечными, т. е. состоять из одной лишь точки.
Число дыр, увеличенное на единицу, называется обычно стенанью связности области (О), а сама облвсть с дырами — лгногогалзной областью. Числа ы, н ы, называются циркуллцлямн выражения Рбх+()ау или нпкличесьнлгн настоянными функции (7(х, у). П р и м е р. Рассмотрим функцию Ч = агс >а —., у х определенную в обтастн (О), ограниченной двумя концентрическими окр>кгноствми с центром в начаае координат. Опрсдеаим Р н О но формуаам дт у дх х'+у' д; х (37) ду х'+у' ' Вти функции непрерывны в (О) со своими производными, и, как нетрудно проверить, >доваехворяют соотношению (27). Рассмотрим «рнвозннсйный интеграл Рдх+О>д =( У + н возьмем его по окружности (Г,) с центром в начале и некоторым радиусом а. По;ютаваяа к=асов г, у=амит получим тя (тд о В данном случае область (О) имеет одну дыру, и циклическая постоянная и, =2я.
Функцнв (7,(х, у) яваяется полярным угаом О, (х, у) = ~ Р ах+ О ду = ~ -х ах+ -У- ду ~ т г д д дх ду н прн обходе вокруг дыры приобретает саагаемое 2г- Заметим, что ради>с внутренней окртжности можно считать нулем, х. е. можно считать дыру точечно». Дело сведется н нскаючснню точки (О, О), В втой точке ф>нкшш Р О и О (37) принимают неопредеаснную форму —. О' 26. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве. Так же как и на плоскости, условие независимости крп. волинепного интеграла от пути в пространстве совпадает с условиеи, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.
Рассмотрим интеграл ~ Рбх+ Яду+Йт(а. (33) Ю я 7. кРизолинеиные иитеГРллы 235 дЯ д<) дР дЯ дО др — — — ~0, — — — ~ О. Если втн условия выполнены, то можно построить функцню точки О(х, у, е) <жям О(х, у, з)= ~ Р<<х+()<(у+Я<те, (40) <ю г<. г« причем совершенно так же, как я раньше, можно показат<ь что д<< д0 д<7 дх ' ду О" да Р <Ух + се ау + Я <Уа = б У <л< ~ Р <(х + Сс бу + Я <(с = О (В) — У(А).
<л< Кроме того, условия (39) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы выраженне Рбх+<1ау+Я«а было полнын днф- ференцнзлом некоторой функции (г<, и, если втн условия выполнены, то О< определяется по формуле <ю г. с> Ц = ~ Р <Ух+ 4) а'у+ Я «а+ С, <ли гь гп где С в произвольная постоянная. Понятие многосвязной области в пространстве представляет неко- торые особенности. В качестве примера рассмотрим область (О), образованную внутренностью сферы, нз которой выделены две трубки (1) и (П), концами упнраюшнеся в поверхность сферы, как это указано на рнс.
66. Если возьмем замкнутый контур (1,), обходящий вокруг тРубки (1), то на него нельзя натянуть поверхность, которая бы заключалась в области (О), и, следовательно, если даже в области (О) условия (39) и выполнены„ то все же нельзя к (Е<) применять формулу Стокса, и величина интеграла (38) по (г<) будет, нообше говоря, отлнчна от Рнс. Еб. нуля. Но зта велнчнна не будет зависеть от в"да (1<). Важно лишь, что (Е<) есть аамкнутый контур в (О), обходяшн» в"круг одной трубки (1), Таким образом получится циклическая постоян- (4! ) (43) Пользуясь формулой Стокса (22), люжно доказать так же, как Н В ПРЕДЫДУШЕ<<, Чта необходимые и достал<очные условия независимости инглеграла (38) о<я пути выражаются п<ремя п<ождесгя вами: 230 ГЛ.
Н!. КРАТНЫЕ И КРИПОЛИНЕИИЫЕ ИНТЕГРАЛЫ пт нзя ю, для трубки (1). Совершенно так же будем иметь вторую цикличе скую постоянную ыз для второй трубки (Н). Функция (г(х, у, х), опредс. ляемая по формуле (40), в этом случае есть многозначная функция и содержит неопределенное слагаемое т,ю,+ш,юн где гл! и глз — лю. бые целые числа. Заметим, что если область (О) есть часть пространства между двуня концентрическими сферами, и в этой области выполнены уело вия (39), то никзких циклических постопнных не будет, и функция (40) будет однозначной. )Аействительно, геометрически ясно, что на всякий замкнутый контур, находящийся в (О), )ложно в данном случае натянуть поверхность, также находящуюся в (О), а потому ко всякому замкнутому контуру в (О)лрименима формула Стокса(22), и из условия (39) вытекает равенство нулю интеграла по такому контуру.
Пример. Рассмотрим угол т, входящий в систему цилиндрических и сферических координат 7 =агс!й —, У к' и опредеаим Р и 12 по формулам (37). Эти выражения принимают неопре. О деленную форму — вдоль всей оси ОЕ Прн рассмотрении криволинейного О интеграла в пространстве !! )л 1 +О ~ — у их+ к ну (г! придется исключить трубку, пд ущ ую влоль оси 02, или просто саму ось, и ь еличия а написанного интеграла по любому замкнутому контуру вокруг т акоп трубки даст циклическую постоянную 2п.
77. Установившееся течей не жидкости. Пусть в плоском установившенся течении несжимаемой жидкости ч (к, у) — вектор скорости, а и (х, у) и е (х, у) — его прост цин на координатные оси. В примере 3 170) мы видели, что условие отсутствия источнмко в сао антея х тому, что интеграл — одх+и ну по любому замкнутому контуру сеть нуаь илн, что то же, что зтот интеграл не зависит от пути. В силу (Ет) алв этого необходимо и достаточно д( — о) ди ди до — Рн —, иаи -+ — юб, 145) ду дх' дх ду что и является характерным лля несжимаемой жидкости. При выполнении условия (45) выражение — них+иду оказываетсл полным дифференциалом некоторой функции т(Л1), которая определпется соотношением ф 4 (٠— ф (Я) = ) — о их + и ду.
(аб) ьа! 237 э т. кииполинеиные интеГРАлы ТН фтнкцвя ф(М) называется функцией тока н кисет простое фнзяческое „аченне: разность ф(В) — $(А) дает количество жидкости, нротекаюсией ла единицу времени через произвольный контур, начало и конец которого находятся а точках А и В. Это вытекает непосредственно нз формулы (101 (7О) дая количества протекающей жидкости. Если в отдельных точках области находятся нсточннкн, то, исключая атв точки, получим область с лырамн, в которых условие (4з) выполнено. циклическая постоянная лая некоторой лыры, равная интегралу (44) по замкнутому контуру вокруг этой дыры, даст, очевндно, количество зсндкостн 4, двкаемод соответственным источником в единицу времени. Функция типа 9(А() будет прн этом нногозначнон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
