Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

жащем переменную ординату х, части (П) поверхности (я), придется пользоваться первои из формул (30), и получится интеграл по (П), а во второи интеграле, содержащем зи придется пользоваться втоРои из формул (ЗО), и получится интеграл по (1): ) (( 'г!' " *! г = ! ! г (, г *! (., Вгг~- (г) (и) +~~)с(х, у, х) соз(л, 2)((3. ((! пачки у з можно уже не писать, тзк как указано, по какой именно чзс™ поверхности производится интегрирование В прзвон части онт сумма интегралов по частям (П) и (!), т. е.

мнтеграл по всей З В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ абб Пря выводе формулы (31) мы предполагали, что прямые, парал„ьные оси ОЛ, пересекают поверхность (8) областя (о) не более м в двух точках. Нетрудно обобшять эту формулу н на области более обшего вида. Заметим прежде всего, что если поверхность (8):, кроне верхней части (П) я нижней части (!), имеет цилиндрическую боковую часть с образуюшями, параллельнымя оси Ос, то на этой боковой частя соз(п, В)= О, и добавление этой части к правой части формулы (31) не меняет величяны интеграла по поверхности, так ато все доказательство формулы остается справедлнвым. В более пбшем случае лостаточно при помоши цилиндрических поверхностей с обраауюшимн, параллельными ося ОЛ, разбить (о) на кокечное число частей, удовлетворяюших предыдушим условиям, я применить к каждой части формулу (31).

Складывая полученные таким образом формулы, булем иметь в левой части тройной ннтеграл по всему пбмму (о). В правой части будем иметь сумму ннтегралов по всем поверхностям тех частей, на которые мы разбили (о). Интегралы по приведенным вспо- с'лу мбгательным цилиндрическим поверхностям, как.указано выше, равны нулю. Таким образом в результате сложеняя в правой части мм будем иметь интеграл по поверхности (8) первоначального объеыа (о).

Итак, формула (3!) оказывается справедливой и ддя областей (о) более обшего вида. Заметим, что эти рассуждения справедливы и для того случая, когда (о) ограничено несколькими поверхностимн: одноя по- рке. ПП верхностью извне и остальными изнутри. Нз ряс. 61 изображен тот случай, когда (о) ограничено двумя поверхностямп. Прн етом в правой части (31) надо интегрировать по всем поверхносТам, огранячиваюшим (о), и направление (и) будет на внутренних поверхностях направлено внутрь этих поверхностей (т. е. вовне (о)!.

йу. Интегралы по определенной стороне поверхности. Иногда поаьаумтся другни определением и другой формой записи интеграла по поверхности, Рассмотрим сначала тот случай, когда поверхность (3), изображенная ИХ рвс 50, удовлетворяет усаовиин, указанным в начале предыдущего номера. В каждой точке поверхности можно придать иормави двв противо$озомпых ивправвеиив: одно направленное во зие (г), в другов внутрь (ЪГЬ В соответствии с этим у поверхности можно рвззичвть двс стороны— Мммнюю и аиушрсииюю. Пусть сс(х, у, с), квк и выше,— фуикпия, заданваа вв (8). Рассмотрим интеграл ) '! сс сов (и, 2) к3. что Веанчииа этого иигвгрваа зависит ог выбора направления нормали или„ то то же, от указаиив иа то, по квкоя стороне поверхности (3! производится интегрирование.

При интегрировании по внешней стороне сов(й, 4 ) д в с(м (л, 2) ЛЗ = Пглг на части Н, в пРн ннтегРнРованен по частя сан(л,2)(0, н сов(л, Х) пЗ вЂ” Ллх, где пг — проекция влемента площади поверхности (3) на плоскость ХО)', т. е. элементы площади области хг (т) в формуле (29). В коордянатах (х, у) мы можем наансать Пл»х~пхпг, так чта ннтеграл (33) приведется к ннтегралу по области (л) плоскости ХОУ; ) '! )т [х, у, у(х, у)[ Лх пу нли — ) '! )3 [х, у, у(х, у)[ Лх лу, (34) (Г( (1 смотря по тому, по какой части (! нлн П) поверхности' производится ин. тсгрнрованне. Но часто его в обоих случаяк записывают одинаково ~~яехпу, (й (35) указывая, по какой стороне (внешней нлн внутренней) поверхности производится интегрирование.

Если интегрирование пранзволлтся, например, по внешней стороне и части !, то интеграл (35) сводятся ко второму из интегралов (34). Можно определить интеграл (35) непосредственна, как предел суммы произведений ); )г(М»)Ь»» значений функции )((М) в точнак поверх. ности на площади Ьэ* проекциЯ на плоскость ХО)г элементов ЬЗ», на которые разбита поверхность (3), причем Ьа» считаются положительными, если интегрирование совершается по внешней стороне поверхности н части ![.

и атрнцательнымн, если оно совершается толе по внешней стороне, но по частя (. Рассмотрим теперь общий случай поверхностн (3). Пусть М,— некого. рая точка этой поверхности. Фиксируем определенное направленйе нормали (л) в втой точке н будем, выходя мз точки М, н двигаясь непрерывно на (3), следить за непрерывнйм изменением направленнв нормали (л). Если орн любом нсорерывном движении это приведет нас к определенному направинию нормали в любой тачке поверхности, то поверхность называется дв)- сторонней.

Если бы на такой поверхности мм фиксировали направление (л( в исходной точке М, иначе, то прн непрерывном двнженни мы н во всех остальных тачках позучилн бы противоположное направление нормали. Вта дает нам возможность говорить о двух сторонах поверхности (3), смотра по тому, какое направление нормали мы фиксировали в точке М„ а тгч самым н в остальных точках, Фиксируя сторону поверхности, мы получаса определенное значение для интеграла (33), и этот интеграа записывают ора этом в виде (35) с указанием, по какой стороне поверхности произвадпия интегрирование. Авала(нчным образом определвются интегралы ) '! Р ((у пг и ~ '! О Лх ((г, Ф (зз где Р(х, у, л) н О(х, у, л) — функции, заданные на (3).

Интегралы эти совпадают с ннтеграламй ~ Р сов(л, Х)ЛЗ н ) ~ 0 соа(л, У)ПЗ. !Е( Прн таком определеннн этих ннтегралов формулу (32) можно записать так: где в правой части ннтегрнроваене производится по внешней стороне поверх- ности (3). 206 ГЛ. П!. КРАТНЫВ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ю 2ОУ В Ь. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3лиетнм, что сушествуют н олностороннне поверхности, на которых пря непрерывном движении вдоль поверхности нормаль, непрерйвно меняясь по направлению, может пеРейти в протнвопоаожнос направление прн возвращеннп в нсходную точку. Простейшим прнмером валяется так называемый лист Ме.

бнусз. Для его получения надо взять прямоугольный лист бумаги АВС(), перекрутить его один раз н склеить сторону АВ со стороной С() так, чтобы точкз А совпадала с С, в В с с) (рнс. 52). Если полученное кольцо начать красить, то, ВЮ не переходя через границу кольца, его можно покРасить с обеих сторон. .Рнс. 52 63. Моменты. Одно нз приложений понятия о кратном ннтеграле— к теормн моментов различны* порядков материальных систем. Пусть дана система и материальных точек: Мг, Ма,..., Мя, массы которых равны соответственно аь тм ..., а„.

Мимгпвом й-го порядка данной спсагмы отиосиаелаяо плоскости (4), прямой (й) или точки (Р) называется сумма произведений массы каждой точки системы на й-ю степень расстояния от (д), (й) нля (щ ~ г;в. г-! С втой точки арення момент нулевого порядка есть просто вся масса системы ~ ( т ( хт) л! ~' (х) +у!) ат! т= ~, 'аь ! ! Момеят первого порадка относительно данной плоскости (б) нззывается септическим моментом системы отяогивелано атой плоскости.

Статические моменты относительно координатных плоскостей мы встречаем в выражениях дла координат пекари тяжести системы а а и ~ ', атк! т ! !'! ~Р ~ага! ! ! г=! г-! хе —— , у=, г (36) й ванном случае расстояния кг, уг, т до координатных плоскостен берутся алгсбранческп, т. е. как положительными, так н отрицательными. Моменты второго порядка называются обыкновенно моментами икерЧии системы. Так, выражения ч ч я ~ утт ~ага ! ! ! суть! моменты инерйии системы откогиаелаяо координатных плоскоевей! выражения ч л я ~ (уг ) а!) в, ! ! есть момент инерции оюпогпшеяьно мочки О.

Кроме указанных' выше выражений, приходится иметь дело с выражениями л л л у(л,ш(, ~ т(х(м(, ~ к(у;ш(, ! ! ! которые называется ценшробгамными момента.чи системы ошяогпшельчо осей ОХ, ОУ, ОХ. Если ны имеем дело не с системами конечного числа точек, а с непрерывно распределенными массами, то предыдущие суммы заменится определенными интегралами, простыми, двукратными и г трехкратными, в зависимости от того, будут ли массы распределены по прямым, поверхностям илп объемам; вместо множителя ж( йужно будет тогда ввести произведение плотности у(М) в данной точке М на заемеит длины, площади или объема. Так, например, момент инерции трехмерной области (и) относительно оси ОХ выразится тройным интегралом Рис. 53.

Если считать плотность у(М) настоенной Уэ то втот постоянный множитель будет выноситься из-пол знака интеграла, и в формулах (36) в числителе будут стоять интегралы с полынтегральйой функцией к, у и з, а в знаменателе — объем или площадь всей области, причем постоянная у» сократится. П р и и е р ы.

Характеристики

Список файлов книги