Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 37
Текст из файла (страница 37)
г'+ л' = а' Закон изменения плотности выразится формулой г(г, т, )=д+ 193 В В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ З я г — известные постоянные. Прнненеяяе формулы (!9) дает гг т У юг гГ ЯГ(В+т)гдгдтд =$ дт$ гдг $ (З+ !дг Пувнзводя подстановку значений г я интегрирование, что мы предоставляем связать чятвтевю, пояучнн гв н 4 ' где в есть объем сегмента.
Рассмотрим еше сферические координаты илн, как иногда говорят тгйдрные координаты в лространстае. Пусть М вЂ” некоторая точка пространства н ОМ вЂ” отрезок, проведенщгй яз начала коордннат О в точку М. Положение точки М ыожно определить слсдуюшвмн тремя величинами: длиною р 1 ! отрезка ОМ; углом р, который полуплоскость, проходяшая через ось Ос н точку М, образует с плоскостью ХОЕ; углом В, который отрезок ОМ образует с положи- ',', у„' тельным направлением осн Ос (ряс. 44).
81(С' „' Р Прн втом р может изменяться от О до (+йод угол в отсчитывается против часа. вой 'стрелки от оси ОХ н может изменяться от (! до 2я! наконец, угол 8 отсчитывается от положнтельного нзправления оси 02 в мйжет язменяться от О до н. Опустим вв треки М перпендикуляр М(!! На плоскость ХОГ н нз основаннй' етого перпендикуляра И опустим перпендикуляр ФК на ось ОХ Отрезки ОК, КМ. ФМ дают, очевидно, прямоугольные кооРдннаты х, р, г точки М. Из прямоугольного треугольника ОгчМ нмеей ОМ р51п8 н пользуясь еше прямоугольным треугольником ОдгК, получим окончательно формулы перехода от прямоугольных координат к сферн« чесшгм х — р 51п 8 соз 6, у р 51п 8 5!и р, з р соз 8.
Рассмотрим семейства координатных поверхностей р=сь (=с„ 6=се т В. $!. Снввява 194 гл. щ. Евлтные и кРиВОлинеЙные интеГРАлы 1т Первое семейство есть, очевидно, семейство сфер с центром в начале координаг, второе — семейство полуплоскостей, проходя!цвх через ось Ос и третье — семейство г круговых конусов, для которых осью ма в ац юлу вращения является ось 02. Заметим, вв что началу координат 0 соответствует р = О, а значение двух другах координат !р и О неопрелеленно. 1(ля всех точек, лежащих на оси Ос, бу.
дет неопределенной координата 6, а 6=0 нли к. /Ь' Придавая переменным р, 6 и:р бесконечно малые приращения Ьр, ЬО н Ь!р, получим элементарный объем в сферических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняется только одна нз координат, Рис. 4тл и этн ребра попзрно ортогональны (рнс. 45). С точностью до малых высших порядков такой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами с(р, р бд, р з1п О бр, так что выражение влемента обаема а сферических координатах будет сЬ = ра з1п 6 !6р бд бр, откуда получаем выражение трехкратноао интеграла а сферических координатах $ $ $ ДМ) ~Ь = ~ 1 ~ 1(р, 6, !р) ра з1п 8 с(р М с(р.
(20) !н! !ю Приведение трехкратного интеграла к повторным можно выполнить здесь, например, следующим образом: находим центральную проекцию объема (о) -Л) из начала координат на сферу радиуса л )т единипа(рис. 46); пусть это будет облзсть (а) [если начало координат внутри (и), то ! (е) совпадает со всей поверхностью сферы). Проведем рзднусы-векторы через все точки (е); в простейшем случае каждый та- (о) кой луч будет иметь точку входа внутрь (в) н выхода вз (и); радиусы-векторы этих точек обозначим через р, и ря [в случае, когла начало координат лежит внутри (и), полагаем р!=О). Мы по лучим тогда Р! ~~~1(р, 6, у)р' 1 Обрбдс(О=Я '!т!Идбр5 у(р, О р)р'Ф т! мц Р! % 6.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГДЕ РР я Р,— известные функции 8 н бу. Пределы интегрирования я и и определяются по виду области (О). у? р я н е р. Оирелелять массу шара, состоящего из концентрических оев различной паотностн. Можем считать в данном случае, согласно услочто плотность зависит только от р. Обозначим ее у(р?, что дает т«О а О 5цу(р),' пап Пап = ~ ВТС спада) у(,) Ч =4.р(,), г,. нп а а о Осли ллотиость постоянна и равна единице, получаем выражение объема шара О 4ООР о=4«б р«яр=в 3 Вамечание. Множитель з?пба?д,с?з имеет весьма важное геометрическое значение: это есть элвмепгп площади поверхпоспгрр сферы радиуса единица, на которые она разбявается меридианами и параллель- л!з В р ными кругами (рис. 47).
Если мы р будем разбивать поверхность сферы ма Вбрр радяуса единица на элементы бхв ка- ВВ кой угодно формы, то получим ') б Бу(м)В =И" Р(д)Р' р. Рр ич Н) Рб 1 р где (в) есть область, в виде которой 1 проектируется нз поверхность сферы 1 рассматриваемый объем при помощи центральной проекции из начала коирдинат. Рнс. 4?. Построям элементарный конус, вершина которого в центре шара, а направляющая — контур элемента ртв. Раствор этого конуса, котоРый измеряется площадью с?в, называется телесным углом, под которым экзем яз центра элемент любой поверхности (Ю), вырезываемый из нее этим элементарным конусом.
бЗ Криволинейные координаты в пространстве. В общем случае криволинейных координат в пространстве положение точки определив?си тРемЯ числами уь б?ь б?„свззанными с пРЯмоУгольными кооРдинатами х, у, г по формулам. 'р(х, у, х)=?э ф(х, у, я)=бу„м(х, у, г)=рух. (21) П Рццзвая рь руь рх различные постоянные значения, получим трл Р * * ° р* «Э ° ° б- б брб б 196 гл.
ш. кэятнын и кэиволинипиыи интнгэялы образован тремя парана бесконечно близких координатных поверх. ностей. Не останавливаясь на доказательстве, приведем результат, анз. логичный результату из [60], для двух намерений. упомянутый эле. ментарный объем сЬ можно рассматривать с точностью до бесконечно малых высших порядков как параллелепипед, и если мы решим (21! относительно х, у, «: х=<Р~(йо аэ аз), У=о~(тп рз, аз), «=мл(чп рз, аз), (21~) то выражение Ыэ будет сЬ=[0 [да, Ва,Идя и формула замены переменных в трехкратном интеграле будсг выглядеть так: ~ ) ) р(х, у, «) Ых Ыу Ы« = ~ ~ ~ Р 67п Чь чз)1 П [ дри 4Ь Фз~ (ч! где р(~уо д„рл) получзется из 1(х, у, «) в результате преобрззовлния (21,), а Е) — функциональный определитель от х, у, «по ап ал, о.,: дда дть йл дал дяи' Так же, как в в [601, формулы (21) можно рассматривать иначе как деформацию пространства, причем точка с прямоугольными координатами (х, у, «) переходит в точку с прямоугольными координатами (рп д„дз).
При таком толковании [0[ дает коэффициент измененяяь объема в данном месте при переходе от (ан а„дз) к (х, у, «). Приведение тройного интеграла в координатах (дь р„д,) к трем квадратурам и определение пределов в этих квадратурах производится аналогично тому, как это делалось в случае двойного интеграла [60[. Для читателя, знакомого с понятием определителя, заметим, что зытажение О может быть написано в зиле слсдуюшего определителя грсгьс~о порядка: ду, дф, дч, де, да, дд, ду, дед, двл дел Щ дг, д(ч дэ, дэл двл ддв В томе 1!1 мы подробно займемся такими опредслителямн.
П р и ч с р. Пусть имеется тстразяр (о), ограниченный коорлиязтяняя плоскостями и плоскостью х+у+ « = а и опрслсляечый исразсястззял л>0, у>0, л>0, х+у+лса. 197 а а. кРАтные интеГРАлы бледен новые переменные х +у +л =Ч„ а ( .» в будем толковать (Ч! Чз Чз) как прямалияейяые ЙЗ яапнсаямыл формул следу~т а(у-» л) Ч)=«+у.» л, «+у+* а'л = Ч,Ч,Ч прямоугольные координаты. аз Чз =— у+л Ч, (а — Ч,) ЧзЧз (а - Чз) «в а з уаа а 3 ! л= —. ЧзЧзЧз аз Совершенно так же, аак и в [60), нетрудно видеть, что тетраэдр (а) переаадит в куб [а))! 0(Ч,(а; 0(Ч,(а; 0(Ч,(а.
Нетрудно к здесь опре. делвть О= — Ч)Чз так что формула преобразования будет а' з »[ ~/(х, У, л))тх)ГУ)тл= ~ ~ ~ г'(Чм Ч„Чз) ° ЧзЧ ))Ч, )ТЧ,)ГЧ, (а) )з!) ваи, есле определить пределы иитегрнровамвя, а а-.з а-л — у а а а 1 )Чзг )ГУ У(х, У, л) ))л = — з Чзз)ГЧ! Чз НЧз гз(Ч1$ Чз Чз) )ГЧз. Д ~ зл ())! ) )зза ! змз Ц [ зл (М) [ з!и 1 )з) и) 64. Основные свойства кратных интегралов. Раньше мы доказывали свойства определенного интеграла, пользуясь его определенвйаа, как предела сумм [», 94[.
Совершенно так же можно доказать в основные свойства кратных интегралов. Яля простоты мы все фунйрип будем считать непрерывными, так что интегралм от них безусловно имеют смысл. ) Постоянный множитель можро выносить за знак интеграла, и интеграл от конечной суммы функпий равен сумме интегралов от слагаемых: $5 Х ~лт = Х глФю(7Ч) ' ))з) л 1 л 1 )з) )) Если область (а) разложена на конечное число частей [ например на две часта (а)) и (ал)[, то интеграл по всей области равен сунне интегралов по всем частям: 3Р(ЛЪ( =~1У(7Ч)4+ЦУ(т ' )з) !з!) мз) Е» Если у())))(»)()))) в области (а), то ~ ~ у ()))) г(а ( ~ ~ !Ч(7)7)Йа.
ьч м) Е частности [», 94); 198 гл. н!. кялтные и кРиВОлинейные интегяалы )а) !Ч. Если ф (А)) сохраняет знак в области (о), то имеет место лгеоре.иа о среднеи), выражающаяся формулой ~1У(А)) ф(А'))(о =У(А)а) ~ 3 ф(А)))(о, )а) )а) где А)а — некоторая точка, лежащая внутри области (о). В частности, при ф()'))=1 получаем $ $ г (А)) до = ЯМ~) о, ю) где и — площадь области (и). Аналогичные свойства имеют место и для трехкратного интеграла. Заметим, что при определении двукратного и трехкратного инте- грала как предела суммы считается всегда, что область интегрирова- ния конечна и подынтегральная функция г(А)) во всяком случае огра- ничена, т. е.
существует такое положительное число А, что / г"(А)), '~ А во всех точках А) области интегрирования. Если эти условия не выполнены, то интеграл может существовать как несобственный инте- грал аналогично тому, кзк это имело место для простого определен- ного интеграла (1, 97 и 98]. Мы займемся несобственными кратнымн интегралами в 9 8. 68. Площадь поверхности. Предварительно рассмотрим искажение площади при проектировании плоских областей. Пусть на плоскости Р имеется область 8, (той же буквой обозначим ее площадь) и Ю,— ее проекция на плоскость (), которая образует с Р острый двугранный угол ф. Покроем Р сетью пряьюугольннков со сторонамн, параллельными и перпендикулярными липин 1 пересечения Р и се. При проектировании этой сетки нз плоскость ь) длины сторон, параллельных Е, остзнутся неизменными, а длины сторон, перпендикуляр ных (, умножатся на созф.
При соответству)ощем выборе осей ХУ будем иметь 8, = ~ ~ соз ф г)х ))у = соа ф ~ ~ )(х а)у = 8, соа)р, (зд )5,) т. е. прн проектировании площадь плоской фигуры умножается на соаф. Пусть имеется поверхность (Ю), уравнение которой имеет вид з=Х(х, у). (22) Положим, что цилиндр ().") проектирует (9) на плоскость ХО у в виде области (о) (рис. 48). Функция г"(х,у) определена и непрерывна на (о). Будем считать, что она имеет частные производные первого порядка непрерывные на (о) вплоть до границы, и обозначим д)(х, у) д/(х, у) % 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 199 )йы видели 11, !80), что направляющие косинусы нормали (п) к пов поверхности (8) в точке (х, у, г) пропорциональны р, 4 и ( — 1), как известно из аналитической геометрии, выражаются по т. е, формулам Р соэ (» Х) †.„)Г)+ р + 4 ' с05 (и, Л) = ж У1+р*+4' Определим плошадь части поверхности (Я), вырезываемои цилинд- ром (О), который проектирует эту часть на плоскость ХОГ' в зиле области (а) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
