Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 33
Текст из файла (страница 33)
предельного цикла(83,) при Г + со. Вьппе мы отметили, что окружность (83,) разбивается точками М, и М, на две траектории 1, и 1,. Касательная к окружности (83,) в точке М, является касательной к !, н йм а остальные траектории имеют другую общую касательную в этой точке (ср. 84]. Аналогичным образом, в седле М, две траекторни, отличные от !, н 1„имеют в М, общую касательную, отлнчную от касательной к окружности. Интегрируя уравнение (82), получим = Се (84) (а Ив н при р ~ 3, т.
е. для траекторнй, находящнхся вне окружности (83,), постоянная С должна быть положительной, Левая часть (84) стремнтся к единице прн р +оз, н для'указанных траекторий промежуток изменения а нмсет 1 внд — со~1( — — 18 С. Как н в примере 2, определим производную от 144 угла у по П дополнит'. сведения ИО ЛНФФерениилльным урАВнениям 17! ч ~сняв в уравненнн (85) р на о н деля полученное уравненне почленно на уИ енве (бб), прядем к уравнению 0Ф о (! — 2о соэ ф -8оз! Йу (оэ — () (! — 9оз) Для этого уравнения о=О н любое ф не является особой точкой, я, в снлу ревы существования н единственности для этого уравнсння на плоскостн (и ф), легко видеть, что для каждой йз траекторнй системы (8!) йрн удаленкн ее на бесконечность ф сгремнтся к определенном> пределу, к этн пределы различны для различных траекторий.
Нэ рис. 27 представлен характер расположения траекторнй нэ плоскости Х,ОХз с указанием движеяня по ннм прн возрастания 8 э)рнмеры 2 н 3 взяты нз нзвестнвй работы Пуанкаре «0 кривых, щтрецеляемых днфференцнальнымв уравненвямнэ. 4. Рассмотрвм еще олин пример общего характера яхэ — лте (х,'+ х!) — хз, (87) нхз — хзы (х, + х!) + кю э э где е(т) — непрерывная н непре- Рнс.
27. рывпо днфференцнруемая функцвя в промежутке 0<«<+со. Начало (О, 0) есть точка покоя системы (87). Других точек покоя нет. Зто нетрудно показать так же, как н з примере 2, Переходя к полярным коордннатам, получим систему уравненнй бр бф б! ' я! — = ры (рз) — 1 (р ) 0). (88) Если ы(т) имеет корень т=тр(те)0), то сн«тема (88) имеет очевидное решение р У'тэ— окружность с центром в начале. Если прн этом т=тэ — нзолнрованный корень ы (т), т. е. ы (т) чь О прн всех т достаточно близких к т, н отлнчных от тз, то окружность р г' тэ— предельный цикл.
Еелн ы(т) ве равна нулю прн тг<э< гз, а ы(т,) ы(тэ) О, то окруж. ностн р=ргтг к р ггтз суть эамкнугые траектории системы, а траекторнн, находящиеся Рнс. 28, в кольце между ннын, суть спнрзлеобразные кривые, которые закручиваются вокруг этих ы(т )О траекторий, прн ! — со в ! +со. Если ( ) ~0 прн тг <т < та, то этн кривые закручиваются вокруг окружности э прн ! — -со, а если ю(т)<0, то — вокруг р ~~ прн ! — -оз, м(т) 0 прн «э~«~те н отлична от нуля прн т<т, в близких к т„ 172 гн. и. линейные диФФеРенБНАльные УРАВнениЯ [аа а также пРи т>ча н близких к та, то все окРУжности Р=ргч пРи ч,~тстав суть замкнутые траектории, и вокруг окружности ч* )Гч, закручиваются с одной стороны траектории; аналогично для т = Рг г,.
Возможны, естественно, и более сложные случаи распределение корней фуйкцни н(т). б. Рассмотрим систему г[х, — =х,(х,+х3 — 1) — х, й гуг 1 (89) — = х, (х', + хг а— 1)' + х,. [[х, ос Она имеет единственную точку покоя (О, 0), которая является фокусон. В полярных координатах система имеет внд — =2а (Р— 1), — =1. па а а а [[Р нг ~й Единственной замкнутои траекторией является окружность (77), которая является прелельным циклом. Величина р возрастает как внутри, так и вне втой окружности, и позтому траектории наматываются на нее изнутри прн г + со, а извне при à — со.
Причиною етого является тот факт, что уравнения (89) содержат квадрат выражения х', + х,' — 1. Внутренние траектории наматываются на фокус при à — оо. Так же, как н в примере 3, легко показать, что внешние траектории при р +со имеют предельные значения для Р, различные для рааличных траекторий. На рис. 28 изображена схема расположения траекторий с указанием направления иа ник при возрастании Е ГЛАВА 11! КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Б б КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 67. Объемы. До сих пор мы рассматривали определенный интеграл ь ) г (х) с(х, О как предел суммы для того случая, когда функпяя 1(х) определена на отрезке (а, Ь) осн ОХ. Иначе говоря, областью интегрирования являлся всегда некоторый прямолинейный отрезок. В настоящем параграфе мы обобщим понятие об интеграле на тот случай, когда областью ннтегрирования является некоторая область на плоскости, или некоторая область в пространстве, или, наконеп. область на какой-либо поверхности, При изложении настоящего параграфа мы будем пользоваться интуитивным представлением площади и объема н нв будем останавливаться на обосновании некоторых рассуждений, связанных с переходом к пределу. Основные моменты строгого изложения читатель может найти в последнем параграфе настоящей главы.
Мы начнем с понятна о двойном интеграле, которое связано с вопросом о вычислении объема, так же кзк написанный выше интеграл связан с вычислением площади, а потому, прежде чем вводить понятие о двойном интеграле, мы ззймемся вопросом о вычислении объемов. Мы внаем, что вопрос о вычислении площади, ограниченной кривой У=У(х). осью ОХ н двумя ординатами: х=а, х= Ь, решается с помощью понятия об определенном интеграле, а именно указанная плошадь выражается написанным выше определенным интегралом 11, 87).
Займемся аналогичной задачей для объема в тела, ограниченного данной поверхностью (8), уравнение которой «=У(» у) (1) 174 гл. ш. келтные и кеиволинениые интегеллы 1и д а и а б Рис. 30. которых является местом входа в область (в) прямых, параллельных осв ОГ, а другая — местом выхода (рис. 30). Каждая из этих частей имеет свое уравнение у„=<~,(х), у,= ря(х). (2) Плошадь сечения тела с плоскостью РО, проведенной на расстоянии х от г'Ох,, зависит от х обозначим ее через 8(х). )бы имеем 11, 1041 о = ~ 8(х) Ых.
Я (3) плоскостью ХОг' и цилиндром (С) с образуюшими, параллельными оси Ос. Пусть (а) — проекция (8) иа плоскость ХОг" (рис. 29). г В [1, 1041 мы привели вычисление У объема тела также к определенному интег грзлу, для чего нужно только знать плошади параллельных сечений тела; этот ! способ мы применим и в нзшей задаче. ~ | М' Допустим для простоты, что поверх- ность (8) целиком находится над пло- 1 ( скостью ХОУ' и что контур (г), ограни- Р чивающий (а), пересекается лишь в двух Р (б) точках прямыми, параллельными координатным осям.
Будем рзссекать рассматриваемое тело б л л в плоскостями, параллельными плоскости 'гОЕ, следы которых на плоскости ХОУ Рис. 29. суть прямые, параллельные оси О У (рис. 29 и 30). Абсциссы крайних сечений обозначим через а и Ь. Это будут, вместе с тем, абсциссы точек контура, разделяюших этот контур на две части (1) и (2), одна из % а, кРАтные интеГРАлы 175 Остается найти выражение для функции 8(х).
Это есть площадь фигуры М1ЛГ,гтаМА; она лежит в плоскости РО и ограничена кривой )р,й(я пересечения плоскости РО с поверхностью (Ю), прямой М,Мь параллельной оси ОУ, и двумя ординатамн М,И, и Ма%я. Так как для всех точек рассматриваемого сечения х постоянно, ординату кривой Ж,Л!, можно считать функцией от у, определяемой авненнем ур а=У(х, у) при постоянном х; независимая переменная у будет при этом меняться в промежутке (ун у,), где у, и у, суть ординаты точек входа пря« мой М,М, в область (а) и выхода из этой области. В силу 11, 87), можем писать 8(х) = ~ у (х, у) Фу У1 подставив в (3), имеем ь у, в=~г(х~ 7(х, у)Г(у.
(4) У1 Мы получаем, таким образом, выражение объема в виде лоалаорирао гпппеграла, в котором интегрирование сперва выполняется поу при постоянном х, а ззтем полученный результат интегрируется по х. Рассекая данное тело плоскостями, параллельными плоскости Х03, мы получим для того же объема выражение а «з и = ~ с(у ~ 1(х, у) дх, (5) а «1 прачем х, и х, суть известные функции от у: х,=ф,(у), х,=ф,(у), (6) з в и 3 означают крайние значения у,на контуре (1) (рис.
29 и 30). формулы (4) и (5) были вы- Рис. 31. всдены при двух предположениях: ) поверхность (Ю) лежит целиком нзд плоскостью ХО)' и 2) конур (а) ограничиваюгций проекцию (а) поверхности (8) на плоскость ХОУ пересекается лишь в двух точках со всякой прямой, параллель"ой одной иэ координатных осей. Если не выполнено условие 1, то ираюае частя формул (4) и (5) дадут не объем, а алгебраическую е)ьилгр обвалов, причем со знаком (+) получатся те объемы, котоиод рмв лежат над плоскостью ХОу, со знаком ( — ) те, которые лежат д "ей Если же не выполнено условие 2, например (рис.
31) имеется 176 Гл. пь кРАтные и кРиВОлинеЙные интегРАлы [аа П р н м е р ы, 1. Объем усеченной прямоугольной призмы (рис. 32). Основание образовано осями ОХ ОУ н прямыми х=й, у= 1. Секущая плоскость имеет уравнение х у а — + — + — =1. 1 Формула (4) в данном случае дает а а о= ~ ах ~ аду=~ ах~ (1 — — — «)Лу= ~ Фх(у — — у — у — )~ о о о о о х1 1э~ ( ЬЧ д13! ( д 1! =. ('(1 — — — — ~йх=т(Й1 — — — — 1=Д!.т(1 — — 1=ел, о где е есть площадь основания, И вЂ” ординага точки пересечения диагоналей д т верхнего сечения ! соответствующая значениям х 2' 2)' 2.
Объем эллипсоидв х у лэ — + — + — =1. а' Ь' с' При пересечении зллипсоида плоскостями л = сопят получаются эллипсы с полуосями а ~/1 — —,*„, Ь ~/ 1 — — ', и с площадью лэ т 3(а) =яаа (1 — — э), Рис. 32. а поэтому искомый объем будет с'т 4 о = ~ яаЬ ~! — — ) аа = — яаас. с') 3 68. Двукратный интеграл. Для получения приближенного представления площади кривой у=1'(х) мы [1, 87) разбивали ее на вер.
тикальные полосы и заменяли площвдь каждой из них прямоугольником с тем же основанием и высотой, рваной некоторому среднему несколько пар точен пересечения контура (1) с прямой х=сопа1, то надо разбить область (а) на части, каждая из которых удовлетворяет условию 2. В соответствии с этим поверхность (8) и объем и ра. вобьются на части, и для вычисления объема каждой из этих частей будет годиться формула (4). В а. кРАтные интеГРАлы 177 виню ординаты кривой для данной полосы. При увеличеняи числа ж и стремлении каждой из них к нулю, ошибка -ь О, а прибли~~ое выражение в пределе обращается в определенный интеграл, щи» точное выражение для плошади. р,нзлогичное построение можно пролелать и прн вычислении объ- (,в. Область (ч) (рис. 33) разбиваем на большое число малых зле- ~ив Да произвольной формы, причем через да обозначаем как сами этн ъ(алые области, так и их плошади.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
