Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рассмотрим ааяачу у =к +у У!л-« — ~ (32) Предполагая, что решения Различны на промежутке х,~х~х,+1, можем утверждать, что !у(х) — У(х)~ достигает на этом промежутке положительного наибольшего значения 3 при некотором значении х=(. Подставляя в неравенство (31) х='„придем, как н в (60), неравенству: 8~М3 или 1~И, а, по условию, л1(1. Это противоречие и доказывзет единственность на промежутке х»«-х~х»+1 и, аналогично, на промежутке х,— 1(х-~х». Мы показали, что сели (х, у ) — любая точка из В, то решение задачи (18), (19) единственно на некотором промежутке х« — 1~х х,+1, т.е.
мы доказали «единственность в малом». Положим теперь, что задача имеет решеняе у(х) на некотором промежутке 1, и решение 1'(х) на промежутке !в причем как !ь так и !з содержат х=хк Пусть 1 — промежуток, состоящий из точек, общих 1, и !в На 1 существуют оба решения, Покажем, что они совпадают на 1. Для определенности будем считать х~х«на 1, что несущественно. Докажем совпадение у(х) н г'(х) на ! от обратного. Положим, что у(х) и 'г (х) не совпадают на Л В силу доказанного выше, оии все же должны совпадать при всех х)х,, и достаточно бливквх к х. Пусть Š— множество таких значений х, что у(х) и У(х) совпадают на промежутке х,~хч-х'.
Если некоторое х'принадлежит Е, то всякое х', удовлетворяющее условию х»(х'с 'х', также принадлежит Е. По предположению, существуют такие значения х из 1, при которых упомянутые решения не совпадают, откуда следует, что множество Е должно иметь точную верхнюю грзнипу, принадлежащую !. 'Обозначим ее через хо На каждом промежутке хз~х~х при х»(х'(х, решения совпадают, и, в силу нх непрерывности, они совпадают и на промежутке ха(х~хь Но, по определению хь существуют такие х)хь и сколь угодно близкие хи при которых у(х) и г (х) не совпадают. С другой стороны, приняв хв и у(х,) = 3'(хд за начальные данные и применив доказанную выше «единственность в калом», мы можем утверждать, что у(х) и У(х) должны совпадать пРи всех х >х~ и достаточно близких к хв ПолУ- ченное противоречие доказывает совпаление у (х) и г'(х) на всем !. Отметим, что в Рассматриваемом случае промежуток (х,, х, + с) изменения х определяется сложнее, чем это было в случае систем линейных уравнений, где он совпадал с промежутком непрерывности коэффикиентов и свободных членов.
)50 гл. и. линппныв ди ьеершщилльные !равнения !аа Уравнение !20) будет х у (х)= ( (р+ул (!)) а!. Ь За область В мы можем брать всю плоскость ХОГ. Вычисляелл у„[х); ~ ""'= з х'т е гл л хз хт ул(х)= П+-- л(г= — + —, . о! =з бз ' Положительные числа а и Ь, определяющие прямоугольник Я, можно брать любылш. При атом М=а'+Ьл и неравенства, определяющие искомый про- межуток изменения х, имеют вид существует на бесконечном промежутке — со сх <+оп. 82. Дополнения к теореме существования и единственности.
Иы приведем теперь некоторые дополнительные результаты, непосредственно связзппые с содержанием предыдущего номера. В нем было гарантировано существование решения задачи (!8), (!9) на про- Ь межу!ко хе — с~х~хе+с, где с — наимепынее из чисел а и —.. 'х)о решение может, конечно, суплествовать и па более широком промежутке. Мы можем взять значения х=с и у=у(с) за новые начальные данные н, таким образом, продолжить решение, оставаясь и области В. То же можно сделать и при х=хе — с. При таком продоллкснпи интегральная кривая беспредельно приближается к граппне В. Если  — бесконечная облас ! ь, то понятие приближения к гранпне В )х)~а, )х,'~ Ь Если брать Ь близким к нулю плн большим, то второе неравенство дает тесный промежуток изменсння х, То же будет, если брать а большим, а при а, близких к нулю, тесный промежуток дает первое неравенство.
Таким образом, нам не удается получить для х сколь угодно большого промежутка Ь ! изменения. Дробь — имеет наибольшее значение - при Ь=а, откуда аз+ Ьл 2а ! следулот неравенства: ) х, кр а н ) х) щ --, н наилучшей является опенка 2а' 1 ~ х ~ —, но решение, очевидно, продолжимо как направо, так и налево )г о 1 1 во вне промежутка — —;=~ х( —..
Мы приведем более подробный разгюр )'2 )! 2 етого примера неже. Нетрудно видеть, что решение задачи (32) есть кривая, симметричнан относительно начала координат, Можно показать, что она уходит на бесконечность н имеет асимптоты х=-~. Л, где 2,002 ( И ( 2,005. Отметим, что решение задачи х'=х — хл, у)х л=о З я Дополнит. свепвция по диээегпнцнальным хялвнвнням !б! ю!за до включз ,изет в себя и бесконечное удаление точек интегральной кривой. В частности, если В есть вся плоскость и решение задачи (!8), (19) прадо должниц направо нз промежуток х, =.х<" й, где й — конечное „„ело, но не на больший промежуток, то можно показать, что реше- У вЂ” У(х) уходит на бесконечность, имея асимптоту х=й.
Все и утверждения являются следствием того, что во всякой ограниченной замкнутой области, принадлежащей В, имеют место оценки (22), (28), где М и й — некоторые положительные числа. Вообще при указанном продолжении решения У =у (х) задачи (18), (19) получается максимальный открытый промежуток существования р<' х(9 (конечный или бесконечный), так что всякое решение упомянутой задача есть У(х) на промежутке рч 'х(д или на его части. Последнее совпадает с утверждением единственности решения задачи.
Обратимся теперь к условиям, которым мы подчинили У(х, у). Отметим прежде всего, что при доказательстве нам было важно иметь в каждом прямоугольнике гя', принадлежащем В„не наличие и пепре- дГ(х, у) рывность производной ', но лишь неравенство Липшица (24). ду Это яеравенство вместе с непрерывностью функции у(х, у) и можно взять как условия для у(х, у). Но пример из [2) показывает, что одной непрерывностИ у (х, у) недостаточно для единственности решения задачи (!8),(19). Можно показать (теорема Ивано), что если у"(х, у) непрерывна в В и (х,, у,) — точка, принадлежащая В, то существует по крайней мере одйо решение задачи (!8), (!9), Указанный выше пример из [2) показывает, что таких решений на промежутке хя — 3 «= х (ха+ 3 при любом малом 8 > 0 может быть больше одного.
Доказательство нз [61[ применимо н для системы уравнений лу~ — — Уг(х У1 У» ° Уч) ~» У~ [л=ю =У! (г=1, 2, ..., л). В этом случае область В есть область изменения переменных (х У» уя ..., У„). При п=2 это есть область трехмерного пространства (х, У» У). При >с) 2 это — область (в+1)-мерного пространства. Точка такой области есть последовательность (л + 1) чисел (х У» У» ..., У,) (координаты точки). Расстояние между двумя ~очками (а, а» а» ..., а,) и (Ь, Ь» Ь„ ..., Ь„) (и + 1)-мерного пространства определяется формулой ь И = ~/ " ', (Ьа — аа)'.
я-о Ошм шмрмьтал облаешь В есть множество точек, обладающих следую- "" двумя свойствами: 1) если некоторая точка Р принздлежит В, и!ими 132 ГЛ. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ~62 то сушествует,такое ь) О, что В принадлежат и все точки, расстояние которых до Р не больше ь; 2) если Р и Я вЂ” любые две точки из В, то сушествуют такие непрерывные функции уь (1) (л=О, 1, 2, ..., п), определенные на некотором конечном промежутке а~си-р, что все точки„определяемые формулами =Ь(1), Л=Е,(1) (1=1, 2, ..., и), принадлежат В пря а~(ч-8, причем 1=а дает координаты точки Р и 1=Р— координаты точки сд Это условве на геометрическом явыке означает, что Р и (1 могут быть соединены линией, все точки которой принадлежат В. В случае системы (33) условия теоремы А совершенно аналогичны условиям из [Б1): функции у,(х,уь уь °" У ) (1=1, 2...,, л) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные по всем уь(я=1, 2, ..., Л) в В, а точка (хь у',"', у,"', ..., у'„") принадлежит В.
При доказательстве теоремы А в [Б1) мы исходили нз рассмотрения прямоугольника 1е, в центре которого находилась точка (хь, у,). Мы могли бы вместо этого рассматривать прямоугольник ха~к~ха+ а, у,— Ь~у~уь+Ь, что привело бы к построению решениа на промежутке х, (хь (х+ с, и при этом числа а, Ь и с могли бы оказаться отличными от тех, которые мы имели в [Б1). Как мы упоминали выше, условия, налагаемые на функцию у(х, у), являются только достаточными для теоремы сушествования и единственности решения задачи (18), (19). Приведем другие, менее ограничительные условия, при которых имеет место упомянутая теорема и метод послеловательнык приближений, примененный з [Б1). (т[ы сформулируем теорему для урззнения (18) и будем предполагать, что нулевое приближение есть некоторая функция уь(х) и что х)хь.
Аналогичная теорема имеет место и для систем. Т е о р е и а (С. й1. Лозинского). Пусть Дх, у) непрерывна в области В (залиснутой ильг открытой) сс .существуель такая неотрицательная интегрируемая (например, непрерывная) на конечном промежутке ! (хь(хч х,), принадлежащем В, функция М(х), что [У(х,у)[ =М(х), если х принадлежит А и точки (х, у) из В. Положим, далее, что конечная замкнутая область 1,1, определяемая неравенствами х (х(хь [у — уз[~ )М(ьг)би, содержится в В, и существует такая неотрицательная, интеарпруемая на ! функция а(х), что ) у(х, у,) — у(х, у,) [ ~ й (х) [ уь — уь [* если хьч х~хь и точки (х, Уь) и (х, У,) пРинадлежат Сс'. Ш14 В. в дополнит. сведения по диооереннидльным ррдененням 163 уури этапы 1) если функция уь(х) непрерывна на 1, а и!очки (х у (х)) при ха~к»хь принадлежат В, то форлгулы У«(х) =Уа -[- ~ У [1, у ! (1)) аь( «ь определяювт последовательность функций у„(х) (и = 1, 2, „,.) гпаких, что точки (х, у„(х)) принадлежат !с при х»х»хб 2) вадика (18), (19) илсвет на про.нежутке У единственное реагснлв у — у(с), принадлежащее ь), и последовательность функций у„(х) стремится к у(х) равнолгерно на 11 3) имеют место оценки ') Л! (и) йп+ шах !у, (и) — у ! [у(х) — у,(х)[-="' ' „, [~ «(и)аи~, «ь «[а !«)ви [у (х) — у (х) [» ) е! «(1) [у„(1) — у„, (!) [ й(.
«ь П р и ы е р. Рассмотрим задачу у' = х'+у', у !«, = О. (34) В качестве В возьмем замкнутую область, определяемую неравенствами 0»х»х, и 0»[у!»Ах', гле положительные числа х, п А — пака не определены. При атом «4 (х) = х'+ А'х' при 0» х ~ хо Чбласть С) определяется неравенствами 0»х»хо О [у! — +А —, н принадлежность д к В равносильна неравенству — +А — »А. 1, х', 3 7 Нлк того чтобы при данном х, сушествавало А, удавлетваряюшее атому веравенству, необходима и достаточно, чтобы квадратное уравнение х', ! — 'х' — к+ -,— = 0 7 3 '/ 21 имело вешествсиные корни, и для х, получаем опенку х, » у -„-=1,31..., ц и на промежутке 0»х~1,3! существует решение задачи (341, н оио может быть получено методам последовательных приближений, Можно пакааать, что решение имеет аснмпготу х=«, где «»2,005.
31! Сходнмость метода ддлерв — Коши. Всриемсв к задаче (!3), (!9) прн указанных в !о1] условиях, налагаемых на функпню у (к, у), и к прямоуголь- ИИКУ !г определяемому неравенствами (21). 154 ГП, и. ПИКЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬГ!ЫЕ ЕРАПНЕНИЯ (аа Проведем через иснтр агота прямотгозьника в старане возраста!ощпк х прямые г!В и г)С с угловымн коэффициентами Л! и ( — Л!) [см. обозначение (22)[ (рпс, !9), Высота г(В треугольника 3 с всршннамн л!ВС равна, оче- Ь Ь видно, †, у,ая определенности считаем что — < а так что на промеж) тке 'Ь!' Л! Ь х,<х<л,-[- — нмсстса решение т(х) задачи ()3), (!9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
