Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Покажем на примере агой системы, каким образом можно, не вводя вспомогательной функции (г, исключить одну из неизвестных функций и со- ставить одно дифференциальное уравнение четвертого порядка с одной нсизвестной функцией. г(>1> Определяя из уравнения (171) — ' и подставляя полученное выражение >гг> вуравпеннс(170), поз)чиы уравнение (7.,6, — М') — '+ Е,Н, — '+ -' 1, — 77,М ' — Г, =О. (!72) а ЛН> 6!> 7а гт!в >Г>1а Дифференцируя это уравнение и замсняя М вЂ”,' его выражснисм >Гга лН >7~7~ о7> 1 М .а=-у.,— 1 — 77,— > г, >гг> >гг> ги С аа14 3. ОншАЯ теОРиЯ и УРАВнениЯ с постОЯнныыи коневициентАыи!23 Если бы мы стали исключать а„то для /, получили бы совершенно такое же уравнение четвертого порядка.
Соответствующее ему характеристическое сравнение булет (1 — Аа) га + 2 (щ + Яа) г' + (л', + и; '+ 488 ) г'+ + 2(д,п„'+бал',) г+ и;"яаа =О, (176) где для краткости мы положили 1 па —— Р УЕ,С, 1 77 77а "а== ба= — йа= —. 1 $/Е,С,' 2Е,' 2Е,. М й==, )(ЕтЕа уравнение (176) можно переписать в виде (г'+ 2яг+ и) (ге+ 2ааг+ и,') — Мг' =О. (177) Рели бы магнитной свези между цепями не было, то мы должны были бы в уравнениях (170) и (171) положить М=О и поаучиаи бы два отдельных урааненив, определяющих явления разряда в цепях Па)а Ж~ 4а1 ° нча — +2н,— '+па(,=0 и — а+2на — +п11 аО. (178) Фса ' ЯС а' Фаа ' ПС имеют комплексные корни, т. ж ф, — и, 'сО и ила †', <О, илн 77 а 1 77а 'ч.,= н — < —, хЕа р'Е,Ст 2Е, )г Ел~а' нлн иначе г7т, -~/ Е, т7а л'равнение (177) при й=0 дает дае пары комплексных сопряженных корней (корни уравнений (179)), и при небольших аначениях М, каковые обычно и встречаются на практике, уравнение (177) будет также иметь две вары комплексных сопряженных корней с отрнцательныни вещественными частаин: гь.= — и -~.М и г...
-аж й, и общее аыРажение длл 1, бУдет 1, =С,а ат соаЫ+С,е аа)п И+С,а ы соаЯС+С,е ымпИ. Заметим, что, зная 1„мы можем получить 1, уже без всяких квадратур. а(ействительно из уравнения (174) мы определим †; подставляя найденное Л,, 1 ° 44 ' выражение в уравнение (172), получим уравнение первой степени относи- телано 1,. ВыРаженне )а бУдет содеРжать члены тогО же аида, Что и то с козФФициентани, которые будут линейными комбинациями постоянных Сн Са, С, и Се того цсли пРенебРечь сопРотнвленилми, т. е. считать и, =на =0 Я, кРоме ото, считать, что цепи настроены на одну и ту же частоту, т. е. и, = па = и, то уравнение (177) будет (1 — й') г'+ 2п'г'+ л' = О, Обыкновенно обе цепи бывают колебательными, иначе говоря, характервстические уравнения, соответствующие дифференциальным уравнениям (! 78) г'+2нг+и,'=0 н та+2(7аг+на О, (179) — пт ж «и' и' ! — «т н г„в — чс =А уг!+« ' и га в= 'е" .— — — — 1 у'Г: « Этим чисто мнимым корням соответствует решение в виде тригонометрических функций.
Таким образом, прн магнитной связи цепей, настроенных на одинаковую частоту, возникают дза колебания, частоты которых зависят от общей частоты и цепей и постоянной «, характеризующей магнитную сзазь следующим образом: и )Г!+« В 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 46. Интегрирование линейного уравнения с поыошью степенного ряда.
Решения линейного урзвнення с переменными коэффициентами выше первого порядка, как мы уже говорили, не выражаются, вообше говоря, через влементарные функции, и интегрирование такого уравнения не приводится, вообп!е говоря, к квадратураы. Наиболее употребительным приемом является представление искомого решения в виде степенного ряда, о чем мы уже говорили 11Ц. Этот прием является особенно удобным именно в применении к линейным дифференцнзльным урзвнениям. Мы огрзннчимся рассмотрением уравнения второго порядка у'+р(х)у'+ 4(х)у=б. (!) Положим, что коэффициенты р(х] и д(х) представляются в виде рядов, расположенных по целым положнтельнын степеням х, так что уравнение имеет вид У +(аз+пах+авхв+...)У +(Ьв+Ьвх+Ьтхв+...)У О.
(2) Обращаем внимание на то, что коэффициент при у" в~ы считаем разным единице. Будем искать решение уравнение (2) также в виде степенного ряда у= ~ ~ к,х'. в о Подставив вто выражение у и его производных в уравнение (2), находим со Ов о» ОЗ СО ~ з(з — Цк х' т+ ~ч', а х' ~~, 'за„сг '+ ~', Ь х' ~~ а,х'=О. ° 3 а-о о а о 124 гл. и, лнненные днеоегенцилльные теавнення 1вз откуда а к интеггивованив с помощью степвнных яядов 126 Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравиивая нулю коэффициеиты при различных степенях х в левой части написанного равенства, получим ряд уравнении 2 1а, + а,а, + Ь,аа — О, 3 2аа+2аяая+агаг+Ьаа,+Ь,а,=о, 4 За,+ Заааа+2а а,+а а,+Ьа,+ Ьа,+да,=О, (4) (в+2)(а+ 1)ать+Я,(аь аэ яв "., а„,)=О, Через Я,(аа, аь аь ..., а,+,) мы обозначили однородный миогочлен первой степени от аргумеятов аы аь а„..., асы Каждое последующее яз иаписаипых уравнений содержит одним искомым коэффициентом больше предылушего.
Коэффициенты а, и а, остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравиеиий (4) дает а,, а затеи второе дает а,, третье ас и т. д„и вообще из (в+1)-го уравнения можно определить а, виая предыдущие а„аь аь ..., а,+е При этом удобно поступать следующим обрааом. Определим вышеуказаииыы способом два решения у, я у„причем для первого решеиия примем ая=1 и а,=О и для второго аа —— О и а,=1, что равносильно следующим начальным условиям: уг! с-в = 1 у1 1 е-а = О Уя!е-а = О.
Уя ! -а = 1 Всякое решение уравнения будет линейной комбинацией этих решекий, и если иачалъыые условия имеют вид у!„а=А, у'1„ то, очевидно, У=АУ,+Вуэ Выше ыы показали, что путем формальных вычислений можно постепенно определять коэффициенты степеииого ряда (3). Но остается открытым вопрос о том, будет ли такии образом построенный стереииой ряд сходящимся и будет ли он давать решение уравиеиик В томе Ш мы дадим доказательство следующего предложения: если Ряды р(х)= ~ а,х', о(х)= ~'„Ь,х* т 0 с О 'сходятся при ~х~с )д, то при втпх значениях х построенный У~саванным выше образом степенной рнд будет танисе сходя"Юмся и явится решением уравнения (2).
В частности, если р(х) 126 гл.п. лиивпныв диэонихнпиальныя ивавнвния иа и а(х) — многочлемы оиг х, лго найденный епьеленлои рлд 6уделг еходиигьея лра любам аначекии х. Во многих случаях пикейное уравнение имеет вид Р,(х)у' +Р|(х)у'+РДх)у=О, (5) где Ра(х), Р,(х), Ра(х) — многочлены от х. Чтобы привести его к виду (1), надо раэделить обе части уравнения на Р,(х), так что в этом случае надо считать Р(х)= — * т(х)= Р, (х) Р, (х) Р,(х)* Р,(х)' (6) Если свободный член многочлена Р,(х) отличен от нуля, т. е Р,(0)~0, то, производя деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням х, можно представить р(х) и а(х) в виде степенных рядов, и решение уравнения (5) также можно искать в виде степенного ряда.
При этом нет необходимости приводить уравнение (б) к аиду (1), но проще непосредственно подставить выражение (3) для у в левую часть уравнения (5) и аатем применить способ неопределенных коэффициентов. До сих пор мы рассматривали лншь степенные ряды, расположенные по целым положительным степенам х. Вместо этого можно было бы пользоваться рядамв, расположенными по степеняы равности (х — а).
Все сказанное выше, очевидно, применяется и к линейным уравнениям выше второго порядка. Только в этом случае прв отыскании решения в виде степенного ряда остаются неопределенными нЕ первые два коэффициента, но число их, равное порядку уравнения. Если имеется линейное неоднородное уравнение у" +р(х)у'+ 6(х)у=у(х), у которого не только ковффипленты, но и свободный член суть степенные ряды, то его частное решение также можно искать в виде степенного ряда. Сделаем одно вамечание по поводу формул (6). Пусть Р(х) и 9(х) — два миогочлена от х, причем Р(0) Ф О. Производя, как выше было сказано, деление многочленоц можем представить их частное в виде степенного ряда О (х) — = е, + е,х+ еях +...; Я ° Р (х) (7) но воэникает вопрос будет ли ряд, стоящий справа, сходящимся, и если это так, то в каком промежутке он будет сходиться, и будет ли его сумма равна левой части рааенствау Решение этих вопросов очень просто вытекает из теории функций комплексной переменной, ко~прая будет наложена в томе 1П.
Мы приведем здесь лишь окончательный реаультаж сглелеилов ряд формулы (7) сходится лри аа1 ь а. интигоиооиднии с помощью сткпкнных видов 127 46. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение у" — ху = О. Подставляя рад (3), получим (2 1яз + 3 ' 2ззх+ 4 ° Зяахз+...) — х (аз + зах+ азха+ ...) = О, откуда, приравнивая нулю коэффициенты прн одинаковых степенях х, по- дучим 2-1а,=О, 3'2за а»=О 4-Зза — аа =О, 5 ° 4з — зз =О, хз лз хз (а + 2) (д+ 1) я — а, = О:, Полагая чзьз1 и з,=О, получим последовательно значения остальных козффшшем то в яз= » ~»=2,3» за-яа- «»=2.3.б.б» 1 Я» — а»з — з — 2 3.3.3.3,3» к е. отаичными от нуля будут дишь коэффициенты з„у которых значок з деантса на 3, и мы момен написать 1 ° 4 7 ...(Зй — 2) я,за, = я,ь., = О и азз = Построенное нами решение будет чд 1 4 ° 7...(ЗФ вЂ” 2) Уа='+ ..; (Зй)1 д ! 1х1< Я, где Й вЂ” модуль (илн абсолютное значение) пгого корня уравнения Р(х)=0, который илсее«з наименьший модуль, и равенство (7) имев«т место при указанных значениях х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
