Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Полови что уравнение (121) имеет пару мнимых сопряженных корней (1 — 21) кРатности й. Им соответствует решение вида ( ~21 е1вагы8„(1) + и-м)гу„(1) аи (агп.е (с) + а-щ у (()), 112 ги. и. лннеяныв днеееивнцнальныв тоавнения !4Ф где 8»,(!) и 7»»(!) — многочлены степени (й — 1) с произвольными коэффициентами, Подставив еи!=соя д!+! з!ад!, е и'=сов 9! — 1з!и 91, получим решение вида еи [У»» (!) соз д1+ 1/» ! (!) з1п й![, где У» ! (!) и (г» !(!) — миогочлены степени (й — 1) с произвольными коэффициентами, связанные с 8ь»(!) и Т» »(!) формулами и (!) = Вг,- (!) + У;- (!), !'„- (!) = [В,- (!) — У (!)[. Из сказанного вытекает следующее правило [32]: чтобы проинтегрировать уравнение (119), надо составить соответспавугощее ему характеристическое уравнение (121) и найти его корни.
Всякому вещественному корню г=г кратности й' будет соответствовать решение вида е"~ »-!(!), где Р» !(!) — многочлен степени (л' — 1) с произвольными коеф. фиииентамиг всякой паре мнимых сопряхсенных корней с= у+ Ь! кратности й соответстауегл решение вида ем[у ц(!) соз й!+ !г»,(!) з!и М[, где 0» ~(!) и )г»,(!) — мноуочлены степени (Л вЂ” Ц с пРоизаольными «оеффициентами. Складывая все таким образом полученные решения, будем иметь общее решснпе уравнения (119). В случае простых корней упомянутые полиномы суть произвольные постоянные.
40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициеятами. Линейное неоднородное уравнение имеет вид у(О)х=Д1), (129) где г (!) — заданная функция. Общий интеграл соответствующего однородного уравнения мы уже умеем составить, и нам остается найти лишь частное решение уравнения (129), которое и надо прибавить к упомянутому общему интегралу однородного уравнения, чтобы получить общий интеграл уравнения (129) [261 Можно найти упомянутое частное решение, пользуясь символическим способом, Разложим рациональную дробь — на простейшие [1, 1981! 1 т (!'!) и а!!а а, оиптаи тиовни н ичвнення с постоянными козеоиниаитамн 113 (131) и А!Я! р(О)! (1) =,У ~~)', р(О) к 1я ! Но, по определению символа (Π— г,) ч, если к правой части (131) применить операцию (Π— г,)т, то получится А',Я~7 (1). Полином 9(О) делится на (Π— г,)ч, т.
е. р(0)= у (О)(Π— г,)а, тле ~р,я(О) — полипом, н следовательно, предыдущую формулу можно !!ереписать тащ и 9 (О) Е (1) =,5",5, 'А!!"Цгч(О) У(1). х=!я=! 1 Но ив разложения — непосредственно вытекае~, что т(о) е Х ХА' ргя(О) а-!я=! и следовательно, р(О)':(1)=1(1), т. е.
формула (130) дает действительно решение уравнения (129). Мы видим, таким образом, что нахождение решения уравнения (129) при любой заданной функции у(1) приводится к разложению рациональной дроби на простейшие и к квалратурам. В некоторых частных случаях бывает проще отыскивать частное Рещение 'уравнения (129) не по общей формуле (130), а способом неопРепелеиных коэффициентов, как это мы указывали в [32), Заметим, что„пользуясь укааанным выше символическим способом, легко получить формулы (71) и (72) из (34). Е1! Пример.
Рассмотрим в качестве примера уравнение л!'"! + 2л" + л = т ссе Д Определим функдню ч(1) по формуле н аа жт тч А!н (130) котпрая имеет вполне определенный смысл, так как, согласно фор. „уле (113) из (381, каждое слагаемое правой части имеет определенный смысл ~!Ф 1 (1) Аа~м ~ (С п)ч !и г и у(п)г( ( — гг)ч ~ (, 1)! Нетрудно видеть, что формула (130) и дает решение уравнения (129). Действительно, 114 гч. и. лииейные диФФЕРЕНЦИАльные РРАВНЕННЯ 1Н Решение мы должны будем искать и виде х = П(ат+ Ь) ен+ П(сг+ тЕ) е-". (!37) Подставляем зто выражение в левую часть уравнения (Е) + Е)а (ЕУ вЂ” Е)' П (аЕ+ Ь) си + (Е) + Е)' (ЕУ вЂ” Е)а П (с! + а) с-И 2 2 сн+ е-И Выносим сее и е ег за символический полинам, согласно правилу (105): еи (О-[-21)' Е)а (ага+ ЬП)+ а-ее (Р 2Е)т Еуа (с!а+ сЕЕа) = се!+ е — ет 2 нлн, заменяя Е)а второй производной еи(0'+4еП вЂ” 4)(6аЕ+2Ь)+с Ег(П' — 41(7 — 4)(6сЕ+2аг)= — си.» с-и ! ! 2 Производим дифференцирование: [ — 24ат+(24аŠ— 8Ь)] е Е+ [ — 24с! — (24сЕ+8тЕ)[е И = — сЕЕ+ — е-и.
И ! И ! —.г 2 2 Отсюда по методу неопределенных коэффнпнентоя -24а= — 24а) — ЗЬ=0, — 24сяя —, 1 1 Ф 2' иля 1 1. 1 а= —— Ь= — Е с= —— а 48' 16 ' 48' 24И + 84 = йт Поастааляя в (137), получим решение Еа ЕУ х = — — соз ! — — аш ! 24 8 (1 38) п общий ннтеграа уравнения (132) будет тт Еа х=(Стт+ Са)сов!+(Се!+ Са) зш ! — — соз! — — 51п !. (139) 24 8 Характеристическое уравнение в данном случае будет г'+ 2г'+1 = 0 или (гт+ 1)а =О, (133) п оно имеет пару сопряткснных корней г= -~- Е второй кратности. Общий интеграл однородного уравнения, соответствующего уравненвю (132), будет (С,Е+ С,) соз! + (С,! + С,) ип Е, (134) Сравнивая свободный член уравнения с формулой (44) из [32], видим, что в данном случае А=О, 1=1 н Р(!)ыЕ, О(!)ки0.
Числа й.+.ЕЕ =-~-Е совпадают с парой корней второй кратностй, так что решение урааиенйя (132), согласно [30], надо искать в виде х=П [(ат+д)оса!+(с!+ я) Ип Е]. (135) Вычисления будут проще, если мы преобразуем правую часть (132) к показательному виду. Делая зто, а также написав левую часть в символической форме, перепишем (132) так: (Па .» 1)э л. еег [ — а и 2 2 ей а а, ОВШАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЗФФИЦИЕНтАМИ 115 42, Уривненне Эйлера. Это уравнение имеет вид Т"х<">+а<1 'х' «+...+а„л<х'+а„х=б, где ан аь ..., а„— постоянные. Мы покажем, что оно приводится к уравнению с постоянными козффициентани, если ввести вместо < новую незавясимую перемеа<ую т по формуле Т=е'.
(140) ( 41) Операцию дифференцирования по 1 будем по-прежнему обозначать свмволическим множителем Р, а дифференцирование по т — символическим множителем В. Имеем,.очевидно, ах ех г<, <гх а г«<т гг ' или, в символических обозначениях, Рх=е 'Вх. (142) Вынося мноз<итель е ' аа знак В, согласно правилу, выраженноыу формулой (111), будем иметь Ртх = е " (3 — 1) 3х = е "3 (3 — 1) х. Из втой формулы и формулы (142) подмечаем следуюшую айшу<о формулу: Р'х=е 3( — 1) ... ( — г+1)х. (143) Надо доказать, что если зта формула справедлива для з символических множителей, то оиа справедлива и гля (а+ 1) множятелей.
а(рименяи к левой части формулы (143), которую мы считаем снраведливой, операцию Р, а к правой равносильную ей операцию е '3, получим Рлл<х=е '3(е ~'3(3 — 1) ..„(3 — г+ 1) х), откуда, вынося г" за знак 3, Р'+'х=е 'е '(3 — г)3(3 — 1) ... ( — г+1)х= е-<лыл'3(3 1) (ь з+1)(3 г)х, "то и доказывает справедливость формулы (143) при любом з.
Ззмзияя в втой формуле е" на <, можем переписать ее в виде ЯРлх = В ( — 1) ... ( — г+ 1) х. (144) <аким образом, в результате преобразования (141) всякое слагае- мое а~-*~х<л в левой части уравнения (140) заменяется слагаемым а„,В(3 — 1) .„(3 — з+ Цх, Применяя к левой части операцию Р, з к правой равносильную ей операцию е 'В, получил< Рлх=е 3(е '3)х.
116 гл. и. лннвпнып днеевванцнальные твлвнвння !»а не содержащим независимой переменной т, н мы получим линейное уравнение с постояннымн коэффициентамн (8(Ь вЂ” 1) „, (5 — л+1)+а,В(8 — 1) ... (Ь вЂ” л+2)+...+ +л,й+ а„1х= О. (145) Соответствующее ему характеристическое уравнение будет г(г — 1) ... (г — л+ 1)+а,г(г — 1) „, (г — л+2)+...+ + ае,»г+ а„= 0 (146) и общее решение уравнения (145) х = е'и Р», ! (т) + еон Р», ! ( с) +... + е'т' Р» ! (т), где г, — корни урзвнения (146), л, — кратности этих корней и Р» !(т) — многочлены степени (л — 1) с проиэвольнымн коэффициентами.
Пользуясь соотношением (141) и возвращаясь к прежней переменной, получим решение уравнения (140) х !" Р», ~(!а!) +1г»Р», ~ (16 !)+...+Ю'т Р» 1(!и !). (147) Если все корни уравнения (146) простые, то решение уравнения (140) будет х=С»г" + С»а" +...+ С„а'. (148) Уравнение (146), как нетрудно видеть, получается, если непосредственно искать решение уравнения (140) в виде х= Если имеется неоднородное уравнение вида с"х!»!+а,!» 'х'" Н+ +а ~!х +а х=!»Р~\ц!), (149) гдв Р(!5!) — многочлен от !пав степени р, то, пользуясь преобразованием (141), нетрудно показать, что решение уравнения (149) можно искать в виде х =(!а !)'г'()(!й с), (150) где Я(!ц !) — многочлен степени р от !д! и а — число корней уравнения (146), равных а.
Вместо уравнения (140) можно рассматривать более общее уравнение вида (се+и)" х!щ ' а,(с!+и)" 'х' "+ +. + а, (сФ+ Ы) хг+ а,х = О. (151) В этом случае вместо формулы (141) надо воспользоваться следующей формулой преобразования переменных: с!+ с(= е', ° а14 а, ОещАя теОРия и уРАвнения с постоянными козФФипиентаыи 1 17 в вместо формулы (144) будет иметь место формула (г(+йУ0х=с д(а — 1) „. (д — +1)л, с помощью которой уравнение (151) и приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.
43, Системы лкнейных уравнений с постоянными коэффициен- тяррн, Во многих случаях положение механической системы определяет- ся ие одной, а несколькимн независимыми величинами ув дэ..., аа, которые называются координатными ларалгетра.ии. Их число Ь дает число степеней свободы. Так, например, при вращении твер. дога тела вокруг неподвижной оси мы ямеем одну степень свободы— угол 6 поворота тела вокруг оси.
Вращение же тела вокруг непод- вижной точки дает три степени свободы, и за координатные пара- метры можно, напрнмер, принять известные из кинематики твердого тела углы Эйлера: Ф, ф и д. Движение точки по плоскости или сфе- ре, или какой-либо иной поверхности представляет собой движение с двумя степенями свободы. В случае плоскости координатными пара- метрами могут служить обычные прямоугольные координаты х и у, а на сфере — долгота у и широта (А При движении механической системы ее координатные параметры и„,уэ ..„д» являются функциями от времени 1 н определяются из системы дифференциальных уравнений и начальных условий.
В част- ности, при рассмотрении малых колебаний сн«темы около положения равновесия, которому соответствует значение параметров т р = та =. ° = Ча = О. обычно удерживают в дифференциальных уравнениях лишь члены первого измерения относительно и и — и таким образом получают йУр аг систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
