Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть имеется решение у,(х) уравнения (16), отличное от нулевого и имеющее более одного корня на промежутке а<х<Ь, и пусть х, и хя — два последовательных корня у„(х), так что уь(х,) =уз(ха) =0 и уь(х) ~ 0 при хс(х(ха. 'г!е ограничивая обпшости, ьсоскетс считать у,(х))0 прп х,(х(хм ибо если у,(х)(0, то мы заменим у,(х) на ( — у,(х)). Из (41) и г(х)<0 следует, что у,', (х) = — г (х) у, (х) ) О и р и х, < х < ха, а потому уь(х) не убывает на агом промежупсе, т. е. у„(5) )уь(хс) при х,<1<х,. 1-!апншем формулу Лзгранлса [1, 63~: у,(ха)=уь(х)+ух(()(хя — х,) (х,(с(ха).
Заьсессяя множитель у'(1) при полояснтельнои разности (х, — х,) на уь(хс)<у„'(."), получим Уь (Хс) - 'Уь (Хс) + Уз (Хс) (Ха Х\) или, в силу у„(х,)=0, у (х)емуа(х)(х — х). Иву,(х)=0 и у,(х))0 при хс< х(ха следует, что у„(хс))0. Но, поскольку у,(х) не есть нулевое решение, должно быть у„(х,))0, и предыдущее неравенство приводит к неравенству уз(х,)) О, которое противоречит условию у„(х,)= О, Теорема доказана.
Сформулируем енсе одну теорему, доказательство которой в основ- ном аналогично доказательству предыдущеп тесремы. Она касается вопроса сравнения колебательности решений двух уравнения у" +г,(х)у=О, г'+г,(х)а=О (гс(х) рЪ г,(х)). Теорема 3. Еслсс с,(х)тмг,(х) на промежуглке а<х<Ь, сло между каждылпс двулся корнямп любого реисенсся у(х) первого уравненсся находсылся по крайней лсере один корень любого решения г(х) впсорого урпвненпя. Короче говоре, увеличение коэффициента г(х) в уравнении (41) моасет только увеличить колебательность всех его решений. Отметим, что теоремз 2 является следствием последней теоремы. Общее уравнение вида (1) у' + р (х) у'+ сс (х) у = 0 может быть приведено к виду (41) при помощи замены у(х) новой искомой функциеп п(х): с г — — )рсюех у (х) = е и (х).
Подставляя это выражение в первоначальное уравнение (1), получим, кзк нетрудно проверить, уравнение и" + г (х) сс = О, 92 ГЛ, П, ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 13 а причем г(х) =9(х) — 4 (р(х))' — — (х). 1 я 1 Отметим, что мпо>китель показательного типа, входящий в выражение у(х) через сс(х), пе обращается в нуль, так что у(х) и и(х) имеют одни и те же корни. 32.
Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. В настоящем номере мы приведем без доказательства результаты, аналогичные предыдущим, для уравнений высших порядков. В дальнейшем мы наложим общую теоршо линейных уравнении с постоянныллн коэффициентами при помощи особого метода— лгеглода гплгволнческого лгнолглггггелл, при этом будут докаааны и упомянутые результаты. Однородное уравнение и-го порядка имеет зид уг"1-~-р,у< л1-~ ... +-Р„,у'+.Ряу=а, ГА о) где Рь Р„..., Р,— заданные вещественные числа. Сосгавим хаРаклеристическое уравнение, аналогичное уравнекию (22): г" +Р,г" '+ ...
+ Р„,г+Р„=О. (43) Всякому простому вещественному корню г=г, этого уравнсния соответствует решение у=е"л . Если этот корень имеет крзтностьз, то ему будут соответствовать следулощие з решении: еггл Хеглл Хл — ген» Паре мнимых сопряженных корней г =а + р1 первой кратности соответствуют решения е"" соз Рх и е"" з1п рх. Если эти корни не простые, а имеют кратность а, то им соответ.
ствуют следующие 2з решений; е соа рх, хе'"соз рх, ..., х' 'е" соз рх, е з1п1)х, хе'"а1ЛРх, ..., х' ле""з(ЛРх. Таким образом, используя все корни уравнения (43), мы получим л решений уравнения (42). умножая эти решения на произвольные постоянные и складывая, будем иметь общий интеграл уравнения. Кля разыскания частного решения неоднородного уравнения У'"'+Л Ула и+...+Р„,У +Р„У=У(Х) можно применять метод изменения произвольных постоянных [27). Всчн правая часть имеет зид Р(х)ея», гяе Р(х) — миогочаен и а нс есть корень уравнения (43), то и решение уравнения можно искать з вя Н У =Рл(Х)Е"", ГДЕ РЛ(Х) — МПОГОЧЛЕН тОЕ жЕ СТЕПЕНИ, ЧтО И Р(Х).
ЕСЯН Я ви Ьз. Оиптлп теОРиЯ и УРАВнениЯ с пОстОЯнными кОВФФипиентлми 93 ть корень уравнения (4З) кратности з, то ььадо положить у =»'Р,(х) е".". рели правая часть имеет в»д у(х) = е"х (Р (х) соз (х -(- () (,т) пп (х) (44) и (йж(1) пе сУть кор"н Уравнении (43), то и решение надо кать в е виде У = ела (Р, (х) соз 1х + (Ь, (х) зьп »х) где степени многочленов Р, (х) и ьуь(х) надо брать равными наибольшей нэ атепеней многочленов Р(х) и ьг(х).
Вели же (Ь -+.Еь) суть парни (43) кратности з, то к правой части последисй Формулы надо приписать множитель хз. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение у" — 5у' + бу = 4 мп 2х. Соответствующее характеристическое уравнение г' — ог+6=0 имеет корни г,=2 и г,=З. Общий интеграл однородного уравнения будет С,еа" + С,е'а. (45) Чзстпое решение уравнения надо искать в виде у=а, соз2х+ Ь мп2х. Подставляя в уравнение, получим (2а, — 10Ь,) сов 2х+ (10а, + 2Ь,) з»п 2х = 4 зьп 2х, что дает 2а, — !ОЬь = О, 10а, +2Ь, = 4, 5 1 откуда а,= — и Ь,= — т. е.
частное решение будет !3 ' !3' 5 ! у = 13 соз 2х + — з»п 2х, 13 в'кладывая его с (45), получим общий интеграл уравнения. $. Возьмем уравнение четвертого порядка убч! — 2У"'+ 2у' — 2У'+ у = х ып х. Соответствующее характеристическое уравнение г' — 2г'+ 2г' — 2г+ 1 = 0 может быть представлено в виде (, ( 1)(г !) = О (ибимеет двойной корень г,=г,=1 п пару мниыых сопряженных г,„.+-1, шдй интеграл однородного уравнения будет (С, +С,х) ел+ С,сов х+С, ыпх.
впивая свободный член с формулой (44», видим, что в данном случае * (ам 1 и Ь-ь(! = ч-1 суть простые корни характеристического уравне- "на так что частное решение надо искать в виде у вч х ((ах+ Ь) ссе х+ (сх + а) пп х) = (ах а + Ьх) соз х + (сх' + ь(х) зш х, едва ь ь «". е ь( — искомые козффициеььты. 94 тл. и, линеиные диФФГРенцилльные уРАВнення 1аз ЗЗ, Линейные уравнения и колебательиыв явления. Выясним значение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэ1рфициептами при рассмотрении колебательных явленин.
В дальнейшем мы изменим обозначения и будем часто обоаначать независпму1о переменную через 1 (время), а функцию — через л. Рассмотрим вертикальные колебания подвешенного на пружине тела массы лг около положения равновесия, в котором вес тела в точности уравновешивается упругОИ силов прунгины. Пусть л — расстояние тела по вертикальному направлению от полоакения равновесия (рис.
1о). Положим, что движение происходит в среде, сопротивление которой пропорциолл нально скорости — . ггг ' 11а тело будут действовать следуюшие силы; д А 1) восстанавливающая сила пружины, стремяРяс. 1ъ шаяся вернуть тело в положение равновесия, которую мы будем считать пропорционалыгой удалению л тела от положения равновесия, и 2) сила сопротивления, пропорциональная скорости и имеюшая направление, обратное скорости, дифференциальное уравнение движения будет Лгл ах л'л Ыл ш — „= — Ь вЂ” — гх или т — +Ь вЂ” +гх=О. гй-" ит Ша ЛГ В качестве второго примера рассмотрим движение простого маятника длины 1 в среде с сопротивлением.
пропорциональным скорости. Лифференциалш1ое уравнение движения будет, как известно иа механики, т( —.-, = — Лап з)п 9 — Ь— лча, аа ш'-' ш' (46) где 9 — угол отклонения маятника от положения равновесия. Рассматривая случай лалых колебаний маятника около положения равновесия, мы можем ааменить а)п 9 самим углом 9, и уравнение (46) приведется к виду '"',--У+ Ь л-+ ~а9=б ача 119 лг', лг (17) Если иа маятник действует, кроме того, внешняя сила, аавясюцаа от времени, то вместо уравнения (47) будем иметь уравнение со свободным членом л14 аа тŠ—, + Ь вЂ” + глф = У(1). В обоих рассмотренных случаях движе1.:ле спределяется линеен1111 лиффереиппальным уравнением второго порядка с постоянными коэф фициентами. ай а а, овщАЯ теОРиЯ и УРАВнениЯ с постоЯнными ЕОэФФициентАми 95 При дальнейглем рассмотрении этого уравнения мы будем писать его в ниле — „+ 20 — + Ег'х = О.
(49) илн -Нр + 20 Р+ йах=У(1), (50) К такому уравнению мы приходим вообще при рассмотрении малых колебаний системы с одной степенью свободы около ее полх лэжения равновесия. Член 2л — происходит от сопротивления среды лг или трения, и й называется коэффлгГпентом сопротггвлелп»; член Алх происходит от внутренней силы системы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия, и ла называется «озффпцпентож аоссгнановления; свободный член т'(1) в уравнении (50) происходит от внещней возмущающей силы, действующей на систему. Уравнение написанного аида встречается не только при рассмотрении колебаний механических систем, но и в разнообразных фиаических вопросах, саяэаиных с колебательными явлениями.
В качестве примера рассмотрим раэряд конденсатора емкости С через цепь с сопротивлением гс и коэффициентом самоиндукции Е. Обозначая черен о напряжение на обкладках конденсатора, будем иметь для цепи о=й1+ń—, (51) тле 1 — сила така в цепи. Кроме того, известна еще следующая аави- симость: 1= — С вЂ”. ло ла ' (о2) Положим, что в цепи ил1еется еще источник тока с электродвижушей силой Е, которую мы будем считать положительной, если она действует в направлении, противоположном Е В этом случае вместо равенства (о1) будем иметь з — Е=И+ Š— ° ан ег Подставляя выражение (52) в написанное уравнение, получим диффе. ренциальное уравнение в г„д Ла 1 Е + — и= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
