Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 16
Текст из файла (страница 16)
„+о„'(х)у»=О, о,' (х)у,'+ о,'(х)у,'+... + о„"(х)у„' = О, О,'(Х)у)л 1)+О'(Х)у)л 1)+ ... +О„'(Х)у' ) =~(Х). Для читателя, знакомого с теорией определителей, можно указать необходимое и достаточное условие линейной независимости, совершенно аналогичное тому, которое мы дали выше дзя уравнений второго порядка. Пусть, как и выше, уо У„..., ул — решения уравнения (17). Олределижелел! Вронского этих решений называется следующий определитель п-го порядка: У! - Ул Ут " Ул У! " У» У! У! а(У! У!" ~ Ул)= У) ,)л — 1) 1» — В Уэ '- Ул ,)л — 1) У! н для него можно доказать формулу, аналоснчную формуле (5): — ) Л)1») Лл а(уо Уи ..., Ул)= Ьае где Ь! — знзчение Ь при х=х,. Из этой формулы, как и вмше, вытекает, что а илн тождественно равно нулю, нли не обращается в нуль ни прн каком значении х.
Необходимое н достаточное условие линейной независимости решений у„у„..., ул и состоит а том, что нх определитель Вронского не равен тождественно йулю. При этом по любым начальным условиям вполне определяются произвольные постоянные формулы (18). Нак и для уравнений второго порядка, теорема существования и единственности дает решение во всем том промежутке, где коэффициенты уравнения р,(х), р,(х), ..., р»(х) суть непрерывные функции. Отсюда следует Г»(х)=рл(х)+(фл(х) и т. д. 28. Однородные уравнения второго порядки с постоянными копффнциентамн.
Прежде чем переходить к уравнению с постоянными коэффициентами, мы докажем одну формулу дифференцирования. Положим, что мы имеем комплексную функцию вещественного переменного х: У(х)=ф(х)+Уф(х) (Е= р' — 1), где р(х) и ф(х) — вещественные функции. Производную функции у(х) определим формулой Г(х) = р'(х) + Ц' (х). вщАЯ теОРиЯ и УРАВнениЯ с постОЯнными коэФФициентами 83 Яа) Э 3- ОВШАЯ некоторое вещественное число, то производная функции в' ! Если г— (е»») га»» Покажем, что вта формула остается справедливой, если г=а+Ь1 есть л „ любое комплексное число. Действительно, из определения пока- тельной фУнкции при комплексном показателе имеем а!»+ьн»=а (сов Ьх+1э!и Ьх)=е" соэ Ьх —' ,1а "э!и Ьх и согласно сказанному выше, Ю (а!»+ы>»)'= а (а соз Ьх — Ь э!п Ьх)+ 1е (а з!п Ьх+ Ь соэ Ьх) откуда (а! 'а0»)'=ае»'(соз Ьх+1з!и Ьх)+ Ье ( — з!п Ьх+1 сов Ьх) или (е!'+а !»)'= (а+ Ь!) е""(соз Ьх+1 э!и Ьх) =-(а+ Ь1) е!»Эы!», что и требовалось доказать.
Далее, имеем (е!»»ьи»)" = (а -~- Ь1)1 е(аььн. Займемся теперь решением линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами у" + ру'+ оу = 0. (20) Если числа р и о вещественны и некоторая комплексная функция р(х)=у(х)+1ф(х) является решением этого уравнения, то веще. ственные функции Ф(х) и ф(х) также, очевидно, удовлетворяют уравнению (20).
Подставим в левую часть (20) а»» (21) где г — некоторое вещественное или комплексное число. Дифференцнруя н вынося е'» за скобки, получим е'"(г'+рг+ 1)=0, " функция (21) удовлетворяет уравнению (20), если г есть корень квадратного уравнения гэ+рг+у=0, (22) которое называется характерпслгнчесхим урлвнснаелг для уравне- """ (20).
В дальнейшем считаем, что р и д — вещественные числа. ели квадратное уравнение (20) имеет два раэличнык вещественнык корня га и гь то формула (2!) дает нам два решения уравнения (20) у — ао» у — Е»а» (23) »и Решения линейно независимы, ибо их отношение, равное е и=э!'»-»П»(гэ ~ г,) не есть постоянная. Если корни 84 гл. и. лннвнныв днвэвэвнцнзльные тидвнвння гм Пе вещественны, то они мнимые сопряженные: г, = и+ рг и г,=к — Р((Р ~ О). Взяв вещественную и мнимую части е'"'"'1", получаем два также линейно неаависимых решения: Е«х СОЗ Рл . ' [Е(«+Зпх+Е1«нн)х] 2 г Е«х а1П ~л — [Е1«+М) х ЕЫ-Зп»] 1 21 Положим теперь, что уравнение (22) имеет равные корни.
Это будет иметь место, если рз — 4е=0, и при этом г=г= — —. Р 2' (24) Изменим немного коэффициенты р и д так, чтобы корни сделались различными, например, сделаем так, чтобы корень г, по-прежнему имел значение (24), а корень гз немного отличался от него. При этом получаются два решения (23). Вычтем первое решение из второго и разделим на постоянную (гя — г,).
Таким образом, мы опять получим решение [26]: ег«х Ег«х (25) у= г,— г, Будем теперь измененные значения коэффициентов р и д стремить к их исходным значениям, при которых уравнение(22) имело двойной корень. При этом г, будет стремиться к г„в формуле (25) числитель и знаменатель будут стремиться к нулю, а вся дробь будет иметь своим пределом производную от функции е'х по г при г=гь т. е. второе решение уравнения будет уя = хег«».
Итак, в случае равных корней уравнения (22) мы имеем следующие два линейно независимых решения: у — Ег~х у — ХЕ«~» (26) Введу некоторой нестрогости предыдущих рассуждений убедимся непосредственной подстановкой, что уя — действительно решение уравнения. Подставляя уа в левую часть уравнения (20), получим (г]лег~»+ 2г ег«») + р (грег«»+ егг») + »лег~» хег«х(г]+р~ +4)+ег1»(2г +р) (2Т) у = С,е'«" + Сае"', Первое из слагаемых правой части будет равно нулю, так как г=г1 есть корень уравнения (22), а второе слагаемое равно нулю в силу (24) и таким образом действительно уя есть решение уравнения (20). В случае вещественных различных корней г, и г, уравнение (20) имеет общий интеграл ,в! 4 з, овщая тиогия и ииавняния с постоянными коэи ьицивнтами 85 в слУчае не вещественных сопРЯженных коРней а-~-Я (уф 0) общий и»теграл будет у=е' (С, соз рх+С, з!и рх), (28) в случае одного корня (двукратного) уравнения (20) у=(С, + С,х) е'.
(29) Отметим еше тот частный случай формулы (28), когда уравнение(22) имеет чисто мнимый корень, т. е. а=О и у ~ О. При этом должно быть р=О, а и должно быть положительным числом. Обозначая =йз, мы будел! для уравнения (22) иметь корни ч-АЬ и следовально, уравнение у" + Азу= О (30) имеет общий интеграл у = С, соз Ах+ С, з!и ех. (31) 29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассиотриы теперь неоднородное уравнение у" +ру'+ еу=Дх), (32) где р и е — по-прежнему заданные вещественные числа и у(х) — заданная функция от х. )Хля нахождения общего интеграла этого уравненяя достаточно найти его частное решение и сложить его с общим интегралом соответствующего однородного уравнения (20).
Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можно при помощи квадратур найти это частное решение, пользуясь методом изменения произвольных постоянных [26). Проделаем это, например, для уравнения вида у" + л'у =у(х) (33) Общий интеграл соответствующего однородного уравнения определяется формулой (31), и нам надо искать частное решение уравнения (33) в виде п=п,(х) соз их+из(х) з!и лх, (34) где п1(х) и е,(х) — искомые функции от х, Уравнения (16) дают данном случае для производных этих функций систему двух уравиенай первой степени и,'(х) соз их+па(х) з!п их=О, — и,' (х) з!и лх+ и,'(х) соз лх = — у (х).
1 А Решая ее, получим 'М ( ) л Ф (х) ау(х)созйх ! 1 86 гл. и. лннэ иные днввквинцнлльные ввлвнения !за !1апишем первообразные функции в виде интеграла с переменным верхним пределом и обозначим через Е переменную интегрирования х к о, (х) = — — „~ г (Е) з!и лЕ ваЕ, па(х)= — „а! У(Е) соз йЕ а(Е, ка где ха — некоторое фиксированное число. Подставляя в формулу (34), получим частное решение и= — ~У(Е) з!и Нов(+ ' ~ У(Е) сов/гЕа(Е (34,) или, внося множители, не ззвисяшие от переменной интегрироваяия, под знак интеграла, = а 1 а (Е) А( — Е) 1 г ка (34а) 30.
Частные случаи. Если правая часть уравнения (32! имеет спевиааьвый внд, то можно гораздо проще отыскивать частице решения, ве при. н общий интеграл уравнения (33) будет у= Са соз кх+ Са з!и йх+ —, Е г(Е) з!и А(м — Е) ваЕ. 1 Р «а Сделаем по поводу формулы (34,) два замечания. Переменная х входит в правую часть этой формулы двояким обрааом. Во-первых, х является верхним пределом интеграла и, во-вторых, она входит под знак интеграла не как переменная интегрирования, но как добавочный параметр, который считается постоянным прн интегрировании. Далее, нетрудно показать, что частное решение (34а) удовлетворяет нулевым начальным условиям при х=х„т. е. «!к-ха = 6. и !х ха = 6 (34а) Первое из этих равенств непосредственно вытекает из (34а), так как при х=ха верхний предел интеграла совпадает с нижним, и интеграл равен нулю.
Чтобы проверить второе равенство, определим сс'из формулы (34,), помня, что производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. После очевидного сокрашения получим х х и'= а1п ял ~ У'(Е) з!и лЕ ваЕ+ соз лх ~ г"(Е) соз лЕ Л, откуда и вытекает непосредственно вторая из формул (34а). 8 з огщдя творня н ипдвнпння с постоянными коэеенцнпнтлмн 87 ая к методу изменения произвольных постоянных. Сделаеи сначала одно мечание. Положим, что правая часть уравнения (32) есть сумма двух слау" + ру' + ау = 1, (х) + уэ (х), (3э) н положим, что и,(х) и и,(х) суть частные решения неоднородного уравнения, когда правая часть равна Л (х) н Гэ(х), т.
с. и,'+ри,+ Чи, =Л (х), и,'+ри',+дай=Ге(х). Складывая, получим (и, + и,)" + Р (и, + из)'+,7 (и, + и,) = Д, (х) + Уй (х), т, е. (и, +и,) есть частное решение уравнения (35). рассмотрим теперь неоднородное уравнение вида у ) ру +ау дейк (36) тле в правой части а и А — заданные числа. В дальнейшем, для сокращения письма, введен спецпальное обозначение для левой части уравнения (22): т(г)=г'+рг+ д.! (37) Будем искать решение уравнения (36) в том жс виде, что свободный член, т. е, в виде у=а,ей*, где а,— искомый численный коэффициент. Подставляя это в (36) и сокра- щая на ей», получим для определения а, уравнение, которое, в силу (37), моюю записать в виде 7(А) а,= а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
