Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Система дифференциальных уравнений будет Их агу Иг — — — или с Ых — а аг = О, с ау — Ь с(г = О, а Ь с что дает сразу два интеграла сх — аг = См су — Ьг = С,. Интегральные линии суть, очевидно, параллельные прямые линии, имеющие указанное выше фиксированное яапрзвление. Соответствующее уравнение с чзстнымн производными а — +Ь вЂ” +с — =О дч дч дт дх ду дг (93) определяет поверхности ч(х, у, г) =О, являющиеся геометрическим местом некоторых из указанных выше прял:ых линий, т. е. уравнение (93) есть уравнение цвлнндрнческих поверхностей. Его общее решение имеет вид я=Р(сх — аг, су — Ьг), где Р— произвольная функция, и общее уравнение цилиндрических поверхностей, образующие которых имеют указанное выше направление, будет Р(сх — аг, су — Ьг) =О.
3. Положим, что поле направлений таково, что в каждой точке М (х, у, г) направлпние, даваемое полем, совпадает с направлением вектора, идущего из фиксированной точки А (а, Ь, с) в точку М (х, у, г). Проекции этого вектора на координатные оси будут х — а, у — Ь, г — с и, следовательно, зги же три величины пропорциональны направляющим косинусал~ заданного направления в точке М. Соответствующая система дифференциальных уравнений будет ~1.г ау ~~г х — а у — Ь г — с н пы ннссм два очевидных интеграла х — а у — Ь вЂ” = Сп — = См ва! $ т, диФФеРенциАльные УРАВнениЯ Высших порядков 73 Геометрически ясно, что семейством интегральных линий будет семейство прямых, проходящих через точку А(а, Ь, г). Соответствующее уравнение с частными производными (х — а) ~~У-+ (у — Ь) з-+ (г — с) — = О дч дч х д» дг будет определять конические поверхности, имеющие вершину в точке А, и общее уравнение таких поверхностей будет где Р— произвольная функция своих двух аргументов.
Отметим, что через заданную в пространстве линию (5) мы можем провести, вообще говори, только одну коничесную поверхность, которая будет образована прямыми, идущими из точки А в точки линии (Е). Но если линия (5) есть линия, принадлежащая семейству интегральных линий системы, т. е. прямая, проходящая через точку А, то можно провести бесчисленное множество йонических поверхностей, содержащих такую прямую (5). 4. Рассмотрим еще систему дифференциальных уравнений вида дх ду дг су — Ьг аг — сх Ьх — ау' Приравнивая все трн отношения дифференциалу дт некоторой новой переменной Г, можем написать дх=(гу — Ьг) дт, ду=(аг — сх) дг, дг=(Ьх — ау) дй (95) Отсюда нетрудно составить два уравнения, которые непосредственно проинтегрируются.
Для составлениа первого умножим уравнения (95) почленно на а, Ь, г и сложим, а для составления второго уравнения умножил уравнения (95) на х, у, г и сложим. Таким образом, получаются два уравнения вдх+ Ьду+ сдг = О, хдх+ уду+ гдг = О, интегрирование которых и дает два интеграла системы ах+Ьу+ел=Со х'+у'+г'=С,. (96) Первый из интегралов дает семейство параллельных плоскостей, направляющие косинусы нормали к которым пропорциональны числам (и, Ь, с).
Второй из интегралов дает семейство сфер с центром в начале. В пересечении зтих плоскостей и сфер получится сел1ейство интегральных линий систсмы (94). Это будет, очевидно, семейство окружностей, расположенных на )помянутых выше плоскостях и имеющих центр на прямой х у г <97) а Ь г ' проходящей через начало координат и перпендлкулярной ко всем упомянутым плоскостям. Нетрудно видеть, что соответствующее уравнение с частными производными (су — Ьг) — + (пг — сх) — + (Ьх — ау) — = О ду ду ду дх ду дг определяет поверхности вращения, для которых прямая (97) есть ось вращения, и общее уравнение таких поверхностей будет уг(ах+ Ьу+ сг, х'+у'+г') =О, 74 гд. д овыкновенные диифененцилльные квявненин (за где Р— произвольная функция своих двух аргументов.
Заметим, что вид зна. менателей в системе (97) можно было бы определить из геометрических соображений, задавая соответственным образом лоле направлений, как зто мы делали в предыдущих примерах. Ь. К линейному уравнению с частными производными приводит вадзча об ортогональных траекториях в пространстве. Положим, что задано семейство поверхностей (98) н(х, у, г) =С, зависящее от параметра С, так что через всякую точку пространства проходит, вообще говоря, одна и только одна поверхность семейства.
Требуется найти поверхность т (х~ у~ 2) =Си (99) которая пересекала бы все поверхности (98) под прямым углом. Условна псрпсндинулярности нормалей поверхностей (98) и (99) даст нам линейное уравнение с частными производными для искомой функции |р: днд дыдч д де — — + — — =0. дх дх Тду ду дг дг Соответствующая система обмкяовенных уравнений дх ду 'Иг дн дн ди дх ду дг (100) Г(рп 7,) =0.
определяет кривые, у которых в каждой их точке касательная есть нормаль к поверхности (98), проходящей через зту точку. Если ч, (х, у, г) = Сн 7, (х, у, г) = С, — дза кезавнсимых интеграла системы (100), то уравнение искомых поверхностей будет иметь вид ГЛАВА П ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В 3.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВВ. Линейные однородные уравнения второго порядка. Теория аииевных дифференциальных уравнении является наиболее простои и разработанной частью теории дифференциальных уравнении, и именно швшиные уравнения наиболее часто встречаются в приложениях. В 1В1 мы решали линейные уравнения первого порядка. В настоящей гаазе мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и начнем с уравнении второго порядка. Дгнейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида Р(у) = у" + р (х) у'+ а (х) у = О, (1) где через Р(у) мы для краткости обозначили левую часть. Из линейности выражения Р(у) относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных С, Ст и Ся.
Р(Су) = СР(у), Р(С у, + Сьуя) = СгР(у1) + СьР(уь). Если у=у, есть решение уравнения, т. е. Р(у1)=О, то, очевидно, Р(СУь)=О, т. е. и у=Су, есть также решение уравнения. Точно так же, если у, и у, суть решения, то у=су,+Ст, (2) также решение прн произвольных постоянных С, и Сь т. е. резная линейного однородного уравнения (1) можно умножать на "роизеольные постоянные и складывать, после чего опять получаете ивяного "гея реисение. Очевидно, зто же свонство имеет место и для ливанив и бго однородного уравнения любого порядка.
Теорема существо- и единственности для уравнения (1) формулируется особенно 70 ГЛ. П. ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ пь просто, как это мы покажем в конце этой главы: если р(х) и 5)(х)— непрерывные функции в некотором конечном вамкнутолс иро.че. жугнке ! (а =х ( ь) и х, — любое значение из етого проьяежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения (1), удовлевгворяющее начальным условиям У~ Уь У1 У (3) где у, и у,' — любые заданные числа, и вто решение сугцествуегн на всем промежутке Ь Если фиксировать х, и придавать у, н у„' всевозможные численные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все решения уравнения (1). Во всех этих решениях функции у(х), у'(х) и у" (х) непрерывны вплоть до концов промежутка а~х(Ь и предельные значения у (х) и у' (х) при х = а суть производные у'(а+ О), у (а+0) — справа, а при х=Ь производные слева у'(Ь вЂ” 0), у (Ь вЂ” 0).
В дальнейшем мы в аргументах не будем писать +-0 1ср. Ц. Из формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежутка а(х(Ь, который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать решения уравнения (1) на промежутке непрерывности коэффициентов р(х) и д(х). Уравнение (1) имеет очевидное решение уыО (нулевое решение). Ему соответствует у,=у5=0.
В дальнейшем, говоря о решениях уравеения (1), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения. Введем одно новое понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть у5 и у,— два решения уравнения (1). Рассмотрим следующее выражение, составленное из них: а(уь Уг) =Уьуя УАУ5. (.1) Оно называется оаределителем Вронского решений у, и уа. Лля него имеет место следующая замечательная формула: — 1 ргпт А(у уч) А е «е (б) где Ьь — постоянная, равная, очевидно, значению Ь (у„ у,) при х =х5. Вля доказательства вычисляем производную ва(у у) бх 1 ьуа+ усуя Принимая во внимание, что у, и у, суть решения уравнения (1), можем написать у," + р(х) у, '+ а(х) у, = О, у,"+ р (х) у, '+ а (х) у, = О.
Умножая первое уравнение на ( — уч), второе на у, и складывая почленно, получим у,у' — у у,' + р (х) (у,у' — у„у ) = 0 газов в овшля теоэия н ввлвнвння с постоянными коэаанцнентлми 77 „„сведовательно, '+р(х)Ь(у у.)=О. вх есть линейное однородное уравнение относительно Ь(уь у,) и, иримен аеняя формулу (29) из [61, получаем формулу (5). Из этой форнепосредственно следует, что определитель Ь(уо у,) или тожРветввнпгг на промежУтке 7 равен нулю, если настоянная йь равна или нв равен нулю ни ири одном х из 7, так как показатель- $„фуикция в нуль не обращзется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
