Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Самому дифференциальному уравнению перво~о порядка соответствовало поле направлений 121. Выясним теперь геометрический смысл )равнения второго порядка у" = у(х, у, у'). ~ ш) Пусть а — длина дуги интегральной кривой и и†угол, образованный по.южительсым пвправлениел1 касательной с положительным направлением оси ОХ. пд 4 х диооевенциальных ееавнвння высших повядхов 47 (4) и 1ПЗВЕДЕНЯЕ МаССЫ ТОЧКИ На ЕЕ УСКОРЕНЯЕ РгаНО ДЕИСтВУЮЩЕй СЯЛЦ Вто дает нам дифференциальное уравненне движенпя и — =Р(С, х, — ), (3) Интегрирование етого уравнения второго порядка определит ааввсн- мость х от С, т. е. двнженяе точки под влняннем заданная силы.
Для мучения определеяного решения задача мы должны задать еще „ачааьнме условия движеннц а именно положеяне точки н ее ско- рость а некоторый начальныя момент времени, например при С=О: Фх! х[ =х„— ~ =х;. ~г-а ЕС[г з Для уравнения и-го порядка (1) ялп (2) начальные условяя состоят в падания функция у н ее производных до (и — 1)-го порвдка вклю. чвтеаьно при некотором определенном аначенвн х=х;.
У[с е> Уь У!л щ Уь'''> У [л щ У[, ~' (б) В втих условиях х„у„у'„..., У['-П вЂ” определенные числа. Длт уравнения н.го порядка (2) ямеет место теорема существования и единственности, совершенно аналогичная теореме А нз [2$ Сформу- лируем ее в несколько иной форме, чем вто мы делали в [2[. 'Теорема А. Если с(х, у, у',..., У1 ы) есть функция своих яреуменшое, «оборке свиваются асе независимыми неременкы- ,ии, однозначная, непрерывная и имеющая непрерывные чистике производные по у, у',..., У1 ы кри значеннях аргументов (х„у„у'„..., У['-ц).и всех значениях, доснгаюочно близки» к ним, шо уравнение (2) имееи одно и игольно одно рещение, удовлеш.
аоряющее начальным условиям (5). Мы смогли бы сформулировать зту теорему совершенно так же, как м в [2[, если бы ввели в (и+1)-мерном пространстве перемен. ных (х, у, у',..., Угл ы) область В, в которой правая часть уравне- нвя (2) однозначна„непрерывна и имеет непрерывные производные по аргументам у, у',..., у' ". Все втн аргументм вместе с х рассма- триваются как независимые переменные функция у(х,у, у',...,Уоь ~~й В следуюшея главе мы еще вернемся к зтоя теореме. Иаменяя в начальных условяях постоянные у„у'„..., У["-П, по- лучим семейство решений, зависящее от и провзвольных постоямяых.
Втв произвольные постоянные могут входить в решение н не как пачиьные условию У=у(, С„С., С.). (6) акое Решение уравненяя (2), содержащее и пронзвольных постояв. пмх называется общим интегралом уравнения (2). Оно может быгь папнсано н в неявно» форме: ф(х, „,, С„С,..., С.)=О. (7) 48 ГЛ.
> ОБЫКНОВЕННЫЕ дИФФЕРЕНЫИАЛЪНЫЕ уРАВНЕНИя >ы Придавая Сь Со,..., С„определенные численные значения, получим частное решение уравнения (2). Дифференцируя (6) или (7) по х (>т — 1) раз и подставляя затем х=х, и начальные условия (5), подучим п уравнений. Предполагается, что эти уравнения разреши>ы относительно Сь С„..., С„пРи любых начальных данных (хм уь, у'..., у," — '>) из некоторой области изменения хм ум у'„..., У<," ". Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяюшее условиям(5).
Определение особого решения то же, что и для уравнения первого порядка. Основой дальнейшего является теорема А. Укажем кратко распространение метода степенных рядов 18~ для равнений и-го порядка. Если правая часть (2) есть ряд, расположенный по целым неотрицательным степеням разностей х — хм У вЂ” Ум У вЂ” Ум ..., У'" "— У<" '> и сходяшийся при условии, что абсолютные значения этих разностей не превышают некоторого положительного числа, то решение, удовлетворяющее нзчальным условиям (5), может быть представлено в виде ряда Уо+ (х хо)+ (» — хо) + ° ° ° (8) ддя всех х, достаточно близких к х,. При этом уравнение (2) совместно с условиями (5), как и в случае уравнения первого порядка, определяет коэффициенты этого ряда.
Пействительно, подставляя в уравнение (2)х = х, и начальные значения (5), определяем У'"> =у>">. дифференцируя затем уравнение (2) по х и подставляя х=хм начальные вначения (5) и у">=у>л>, определяем у>л+» и т. д. Можно поступать и иначе, а именно подставить в обе части уравнения (2) вместо у степенной ряд >и — » У=Уо+ 1(е (х — хо)-+... + ( " >), (х — хо) + 1> ал(х хо) (8) с неопределенныл>и коэффициентами а„, а„,о ... Располагая правую часть по целым неотрицательным степеням (х — х,), сио кем посгепенно определять упомянутые коэффициенты, приравнивая члены с одинаковыми степепяыи (х — х,) в обеих частях полученного равенства.
16. Графические способы интегрирования дифференциального урав. пения второго порядка. Всякому решению дифференциального уравнения и-го порядка соответствует некоторая лвиня на плоскости ХОУ, которую мы будем называть, как и длв уравнения первого порядка, пнтегральной линией (кривой) ото>о уравнения. Самому дифференциальному уравнению перьо>о порядка соответствовала поле направлений 121. Выясним теперь геометрический смысл уравнения второго порядка у" =у(х, у, у'). » о> Пусть а — длина дуги интегрзльпой кривой и в — угол, образованный по..- и ительпым направлением касательной с полови>тельным направлением оси ОХ.
1а) 5 л. диФФеРенциАдьиые уРАВнения Высших пОРяд!(ов 49 Мы имеем [1, 701 дх — — = созе дз с!Р— =1Е а, д» п, дифференцируя по х, получим аиу 1 да 1 да дз ! с!а д»' савва д» созеа дз д» соэ" «дз' но да(дз есть, как известно [1, 71), кривизна кривой да 1 дз )7' и предыдущее равенство дает — =сов п —. а ду Т(' дхв ' П2) Здесь Тс положительно, если а возрастает вместе с з, и отрицательно, если а убывает при возрастании а. Положим, например, что ось ОХ направлена вправо и ось ОУ навсут (рис. 12). При этом, если )7 ) О, то кривая будет при возрастании з зак! учиваться справа налево (против часовой стрелки), а прн Л( ( 0 в в противопо- У й д ложную сторону. Согласно формуле (12), дифференциальное уравнение (!0) ыожно переписать так: — =Т(Х, у, !па) Савла.
'(13) )7 Отсюда видно, что дифференциальное уравнение второго порядка даелт величину радиуса кривизны, если заданы положение точки и направление касательной в этой точке. Из этого обстоятельства вытекает способ приближения к интегральной Рис. 12. кривой уравнения второго порядка при помощи кривой с непрерывно меняющейся катав(елькой и соса(паленкой из дуг окружноса!ей. Этот способ аналогичен способу приближенна к интегральной кривой уравнения перво(о порядка цри помощи ломэной линии [21. Положим, что начальные )словца для нскомой ннтегральной кривой У [х-л — Ул У [х-л — Уо. Отмечаелл точку М, с координатами (х„ у,] н через эту точку проводим направление М,Т„ с угловым коэффициейтол( у' = 1Е а =у„' (рис.
13). Уравнение (13) дает нал( соответствуюптую величину )7=)7л. Отложим отрезок Л!,См равный Рл и перпендикулярный к направлению М,Т„, и из точки Св, как центра, опишем небольшую дугу М,М, окружности радиуса Ллл. Заметим при этом, что направленпе отрезка Л1„СФ в силу сказанного выше, определится знаком )7л. Если, например, Ллл ( О, то движение по дуге окружности от Л!, к М, лолжно происходить по часовой стрелке (рис.
!3), !!усть (х, у,) — координаты точки М, и !и а, — у(лозой коэффяциент касательной НЯлТл к окружности, цровсдейной в точас .И. Уравнение (13) ласт 50 гл. !. овыкновснныв диююспснцияльныв врявнвния !1а соответствующую величину )с=)гг Отложим отрезок М,С„равный )7т и перпендикулярный к М,Ти т. е, лежащий на прямой М,С„причем направление его определится эйаком )7п и из точки Со как цейтра, опишем небольшую дугу М,М, радиуса )7г Дтя точки М, так же, кзк н для Л!и получим иэ уравнения (13) значение )7=)7м отложим отрезок МаСл, равный )7э и т.
д. Для указанного построения употребляют линейку, в одном конце которой находится отверстие для карандаша. От этого отверстия вдоль линейки идет прямая линия с делениями, по котолг рой отсчитывается величина )7, и имеется небольшой треножник, одно отверстие которого устанавливается в соответствующей величине )7 точке прямой, а два других— ,рг только на бумаге. Передвигая в точках ~г Мо М, и т. д, треножник вдоль упомянуь", той прямой в зависимости от изменения величины )7, мы не меняем в зтнх точках ьг направление касательной и пол)чаем таким образом требуемую кривую.
Укажем теперь другой способ графил ческого интегрировании уравнения (101, д дающий приближенное представление интегральной кривой в виде л о м аной л и н н и. Способ этот является обобщением способа, указание~о нами на рис. 7. Кроме у, введем еще неизвестную функцию г =ус Вместо одного уравнения второго порядка (1О) мы получим тогда систему двух уравнений первого порядка с двуми неизвестными функциями у и г: у гту пг г(х ' Гх г, — У(х~ у~ г), (14) Способ, который мы изложим, применим к общему случаю системы двух каких угодно уравнений первого порядка: т(у г(г ттх ' ' ' г(л -- =я(х, у, г), — — =у(х, у, г)(15) прн нзчальных усяовиях У(я=хо =Уг г)х к,=го (16) Номэные аычерчнвщотся на плоскости ХОУ, как для у (х), тзк и для г(х) (рпс. 14), Нансссаи как н в (7), Рис.
!4. на плоскости ХОУ прямые л =л.„ л = хо х = х,, ..., параллельные оси ОУ,причем х,<х,(х,(... Отметим точки м, и лга с ноорлниатами(хму,) и (хм г,). Йз этих точек проводим лучи с угловыми коэффициентами соответственно я(хм уа, г,) и у(х„, у,, «,) до пересечения с х=хо и пусть М,(хо у,) и Дг,(х„г,) — точки 1гсресечейия. Из этих точек проводим лучи с угловыми коэффицйенталги д(л „уо г,) и у(хо у„г,) до пересечения с прямой х=ха, и пусть М,(х„у„) йтр„(х„уа) — точки пересечения и т. д. )(ля ордийат у„:,; у„г, н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
