Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если точка (зе, уе) лежат внутри Вн то прн подстановке л ле, у уе В'ЬРззвеные (62) получатся кзадрзтыое урзвыенне для С. Корни етого уравнения лавут те зыачешш С, врн которых две окружаоств (62) проходят через втягу (ле. Уе). Как мы упомвизли, формула (62) есть общей внтеграл обоих ураааеинй (61) я ета двз урааневва в известном сммсле естестаеиио связзвы "змзу собою. На осв у О окружности касмотса. о )Я(», у).
Никаких решений, помимо тех, которые получаются по теореме А, в области В нет (нет особых решений). В тех частях плоскости, где )с(х, у)( О, уравнение (68) не дает вещественных шычевяй у' (нет поля направлений), в някзкнх интегральных кривых там нет. Наконец рассмотрям уравнение )с(», у). О. 66 тл. !. оьыкновьнные диввявянцнальныь ввавньння Приме р 2. Рассмотрим еще одно уравнение, прннцнпнааьцо отличное вт ааненнц и имера П УР Р у' -ху'=О. (63) Леван часть разлагается на множители у'(у' — х)=0, н уравнение (63) рааиосизьно совокупности двух уравнений у'=0 и у'=к, имевших общие внгеграам к< У=С н у= — +С, 2 и!м можем, совершенно искусственно, объединить из в один общий ннтеграа (63<) Это — обгцнй интеграл уравнения (63).
Но этц последнее уравненяе является по существу <искусственным» объединением уравнений у' =О н у' =к. К цажаому из них прнценима теорема А, причем обаасгьв В дая ннх обоих ° ааяется вся плоскость ХОУ. Формула (63,) язаяетса <искусстаениын» ебъеяниеннем общих нцтеграаов упомянутых уравнений. Отметим, что функцне у=о прн к~ О н у = — при х~о является решением уравнения (63).
Прн переходе через значение х *=О значения у я !Г изменяются яепрермвно. Эта интеграаьная анния со!гаазена из решений уравнений у'<жО к уг <= к. Ыы переходим теперь к изученяю двух типов дифференциальных уравнений, не решенных относительно у. 1!. Уравнение Клеро. Предварительно введем одно новое понятне. Заменяя в днфференциальнон уравнении (42) илн (06) у' произвольной пвстоянной Сь получим семейство линии у(х, у)=С, или Ф(х, у, С,)=0.
(64) Каждая линия етого семейства есть геометрическое место точек плоскости, которым отвечает одно и то же направление касательной к интегральным кривым. Это семейство называется семейством изомлии, или семейством лилий разного уклона поля направлений, определяемого дифференцизльным уравнением. )(ла однородного уравнения [6) изоклинамн были прямые, проходящие через начало координат.
Посмотрим, в каких случаях изокляна является интегральной линией уравнения, т. е. дает решение уравнения. Возьмем какую-нибудь изоклину Ф(х, у, Ь)=0, соответствующую частному значенню С,=Ь. В точках втой изоклины дифференциальное уравнение дает одно я то же направление касательных, и именно мы имеем у =Ь. Для того чтобы изоклина быдв м решением, необходимо и достаточно, чтобы угловой ноэффициент касательной к изоклине во всех ее точках был также равен Ь, откуда аь углинення пеРВОГО погядкл вепосредственио видно, что изоклина должна быть прямой с угловым коэффициентом Ь, ибо яз у = Ь вытекает, что у =Ьх+ с, где с— екоторая постоянная.
Итак, изоклина будет решением уравнения голяка а том случае, когда она епиа прямая и когда наяраалепис атой прямоМ совладает с тсм постоянным нтграалснием «асатс*аннх, которое определяется дифференциальным улавнснисм я точках втой изоклины. Переходим к первому типу уравнений, ие решенны~ относительно у. Уравнением Клеро называется уравнение вцяа у=хам+у(у').
(65) Семейство его взоклин определяется уравнением у = хС1 + р(Сг). Все ивоклины — прямые линии, н угловой коэффициент С, каждая иа них есть та постоянная, которая заменила у', т. е направление прямых (66) в каждой их точке совпадает с направлением касательных, которое определяется дифференциальным уравнением в точках втой прямой. Вспоминая сказанное выше, пажем утверждать, что каждая ив прямых (66) есть и решение уравнения (6о), т. е. семейство нэоплни (66) есть в то же время в семейство общего интеграла уравнения (65), Укажем теперь другов способ получения общего интеграла уравнения (65), причем этот способ даст наи не только обилий интеграл, но и особое решение уравнения (65) Обозначая .у'=р, перепвшем уравнение (65): у =хр+ р(р).
(65,) Дело свалятся к нахождению р как функции от х: р=н(х) так, втобы при подстановке р=м(х) в правую часть (65г) получить для у такую функцию от х, производная которой у' была бы равна: ,у'=р=м(х). Взяв дифференциалы от обеих частей (65,) я полагая савва гГу=у'Нх=рг(х, получим дифференциальное уравнение первого порядка лля рч хг(р+ у'(р)гур вли (х+ т (р)) дл=б. Прнравннваа нулю каждый иа множителей, мы получаем два слу- чаа.
Случай Му=О дает р=С, где С вЂ” произвольная постояннаж подставляя р= С в уравнение (65,), получим опять общий инте- гуал (66ь Во втором случае мы имеем уравнение х+ в'(р) =О. йавключаа р иэ двух уравнений у=хр+ у(р) п х+в'(р)=0, 33 тл. 1. овыкнованиыя диеонэкнпиальиыя таавняиия получим решение уравнения (бб), уже не содержащее произвольной постояинод. Это решение обычно является особым решением урав- нения.
К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в котормк требуется определить кривую по взданнону свопстиу ее касательное, прячем свойство это должно относиться лишь к самон кзсательной, но не к точке касаняя. Депстаятельно, уравнение касательной имеет инд У вЂ” у=у' (Х вЂ” х) или К=у'Х+ (у — ху'), и всякое сзойстао касательной выражается соотношением между (у — ху') н у'. Ф (у — ху'„у') = О. Рис.
9. Решая его относительно (у — ху'), придем к уравнению вида (бб). Прямые линии, образующие обший интеграл уравнения Клеро, очегидно, не представляют интереса а смысле ответа ма задачу, н этот ответ будет даваться особым решением уравнения. П р н м е р 1. Уравнение у*=ку'+у' имеет обпшд интеграл у =хС+С' Исключая р вз уравнений у = хр+ р', к+ 2р = О, х1 получаем рещение у — —.
Оно позучаегсв также, если применить к ураз. нению лС у кС ш — ==~ж (бг) у'+ ку' — у О, совмалающему е данимм, формулу (бо). Прямые общего ннтеграаа обрезувт хь семейство касатеаьнык к параболе у а ' П р я и е р 2. Напгн такую кривую, чтобы отрезок Т, Т, ее касатеаьипя между координатными осами амза посгояинув длину а (Рис 9). Определяя из уравнения касатевьнпя следы ОТ, и ОТ, касатеаыюп иа коорлинатныз псвз, составим без труда дифференннааьнпе уравнение вскомоп иравпя (у — ху')' + (у — ху')' а', наз у ку' ш иу т У(+у' Общий шпеграа его аз. РРдВнення пеРВОГО НОРядззд 39 ршытаваяет собой семейство прямьш линий, длина отрезка которых между „ ордяватнымя осями равыа а Особое решение поаучытся з результате Ошючсиыа р из уравнения у=кр~.— лр (бд) УЗ+па и уравнсвна рй УЗ+р'-= к+ У~ 1+ рв о, яоторое прзводятся к виду кж я °, -а (1+р')'" Полагая р=гйт, получим к = т.
а оал т в яв уравнения (68) аля у будем иметь у ~асса'тзетжаыпт=.е лмпзч. 2 Возводя ава посаеднил равенства ° степень -- я склааываа почлеыызъ ° скавчям тз хлм ( уЛЗЛ ет Ч т. е, искомая кривая есть встроила, о которой мм говорили в (з, 60). Прямме (б7) образуют семевсгвд касзгсльямл к ией (рнс.
9) 1$. Уравяение Лаграыжа. Уравнениям Лаграялса напивается уравяемие вида У вЂ” хрз(У')+9 (У'). (б9) причем мы считаем рз(у') отлычным от у', так как прн рзОГ)му мы получаем уже разобранное уравненяе Клеро. Прииеним к уравнению (69) тот же метод дяфференцнрования, что в к уравнению Клеро. Обозначаа у'=р, перепишем уравнение В Виде У=хрз(Р)+9 (Р) (70) Ъяв дифференциалы от обевх частей, ыаходим уравнение первого иорядка лля р: р (х= звз(р) ух+ хр,'(р) зур+ Ь(р) з(р.
Лллд ыл з(р, получым уравнение Ьз (р) Р1 з(ррх + Фз (р) + Фв (р) фг (7 () еоторое является линейным дяффереыциальнын уравнением, если счнх функцией от р. Леля обе часты его ыа ковффвцыент 40 гл.!.овыкновенныв дыооепвниияльныи кзлвнання Пз (я,(р) — р), приведем его к виду (28) и получим его общий иятегрзл в виде х=ф1 (р) С+фа(р). (72) Подставляя вто выражение х в уравнение (70), получим лля у уравнение вида у=(ч(р) С+(ч(р).
(73) формулы (72) и (73) выражают х и у через произвольную постоянную С и переменный параметр р, т. а дают параметрическое представление общего янтеграла уравнения Лагранжа. Если исключим нз уравненяй (72) и (73) параметр р, то получим обычное уравнение лля общего нитегрзла. Ивоклнны уравнения (69) пряныш у = ху~ (С1)+ ут(С,].
Если значение С, таково, что о,(С,)=Со то зта формула дает решенно уравнения (69), что легко проверить н непосредственна Пример. Лаз уравнения ~ +за'+уаяО, яза у'= — к-в-)/хя — у. (74) Формуаа (60) дает у*=х', н зта Оунккяя нс есть решение уравненвя, тав шо зто уравнение яе имеет особык решений. Обаасть В теоремы А есть внешность парабоаы у = кя (у < х'). решая урзансняе отяоситеаьно у, врнкодвм к урззневяю вида (бзь я-уравнение (РП) в атом прамерс имеет знк Зркк+(2 +2р)бр=а (75) Давя на ер, врнкознм к знкейному уравнению Пк 2 гр зр з — + — х+ — = о.
(75') 1 Поступая, как указано выше, позучзсн х=*Ср т — — р у - 2Ср Ы дя а! 2 ! 5 5 О6) Изокшшы уравненяя (74) суты у= — 2С,х — С!, н ирн — 2С,*=С„т с, при С,=О, поаучзсм решение у О, которое ие может быть воаучено из Оормуя (76) ни при казом чясаснном аначенки С. Но ово не яваяется и .особым решением, ябо уравнение (74), кзк им андааи, не имеет особык решений. Это решение у 0 потеряно а результате дсасйня уравнения (75) иа яр. Вдоаь указанного рсшениа Фр Фу'ваО, н переменная р не может быть независямой переменной, как зто мы счятаем з уравнении (75).
Отметим, что точка (О, 0) аемвт на параболе у к', тзк что обяаств В иринадасжнт не ася ось Ок (у=О), а два аучз х> 0 и х < О, т. ш у(к)=*0 при х ~ 0 н у(х) 0 прн к < О. Формуаы (76) дают прв ясаком фиксированном С дзе нятеграаьные крявыш одна поаучается пра — оо<р<0, я другая пра 0<р<+со. Этим ксчерпываются асс решениа уравнения (74), кРоме У .0:. Есзи зздана точка Мя(х„рь), вРнчем ха — Уя>0,, то Лаа Р в атой точке пояучаем два аначеиня: р,=-х,.~. г х~ — уя и одно иа уравнений (76) дает даа значения С, соотзстствующнк интегральным крязым, арокодащим через точку М,. Дая точки (х„ О) (х,обО) поз!чаем ря ~0 к р, -2хе Первому значению соответствует решение у =О. з~ узавнення певвого позядка 18, Огнбйющяе семейства крявых и особые решенйя.
Мы имели уже два примера, в которых, кроме общего интеграла, были пол1- чч~~ы и особые решения. В примере яв [10] обшяй интеграл представлял собою семейство окружностей (х — С)'+ у' = а' сшентрамя на оси ОХ н фиксированным радиусом а. Особымн решен',!ими яашялнсь две прямые у='+'а, параллельные осн ОХ. Прямые ятр в каждой своей точке касаются одной из окружностей семейства (77) (ряс. 8) В примере нз ]11] общий интеграл представлял себою семейство прямых, длина отрезка которых между коордянатиыии осами равна заданной величине а, а особое решение представляло собою астронду, касающуюся во всех своих точках одной из указанных прямых, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
