Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Начальное условие (8) сводятся к требованию, чтобм интегральная крявая проходила через заданную точку (х„уа), находящуюся в В. Приведем теперь геометрические соображения, иэ ф,,' которых наглядно, но не строго логичес~о ки, следует„ что через заданную точку Ма(хь уа) проходит одна и только одна интегральная кривая.
Разобьем плоскость ХОУ прямыми «(рис. 1), параллельными осям, на малые квадраты так, чтобы точка Ма лежала в вершине одного нз этих квадратов (это — несущественно). Иэ точки М, проводим в направлении возрастания х отрезок прямой М,М, с угловым коэффициентом у,'=Дхи уа) до ближайшего пересечения с одной иэ прямых сетки квадратов. Пусть (хь уД вЂ” координаты точки Мь 1!э М, проводим в направлении возрастания х отрезок прямой М,М, $ Ь УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' с углойым коэффициентом у,'=/(хь У~) до блнжайшего пересечения с одной нз прямых сетки квадратов н т.
д. Это построение можно вмполнять н в направлении убывання х. Построенная таким образом ломаная линяя и прелставляет приближенно для х, близких к х„ искомую интегральную кривую уравненяя (2), проходящую через точку Мь. Это построенне лелает весьма вероятным тот факт, что через всякую точку Мь из В проходят одна я только одна интегральная крнвая. Это утверждение справедливо и будет дальше докавано, если /(х, у) обладает кроме непрерывности еше некоторым свойством. Положнм для определенности, что  — открытая область, т.
е. облзсть, к которой ны не причисляем ее границы (В может быть и всей плоскостью). Имеет место следующая теорема. Теорема А. Если 1(х, у) непрерывна и имеет непрерывную частную проиаводяую ло у в В, то через каждую точку, ирияадлежатую В, проходит одна и только одиа интегральная кривая уравнения (2). Теорема эта, которую мы пока примем без доказательства, наяывается обычно давадвлаам аугявв«мвалдлйя и едвяствеякостгГ.рлглю яия дифференциального уравяенйя (2ь яры ааааииаль нааалзгиггв )Гслоййи, В дальнейшем, для краткости, сформулированную теорему мы булем называть теоремой А.
В конце следующей главы ны приведем доказательство этой теоремы и. ряд дополнений к ней. Укажем, как пало поннмать утверждение единственности решения прн заданном начальном условии. ГГусть у=в,(х) и у=у,(х) суть два решения уравненяя (2), удовлетворяющие условию (8), причем первое определено на некотором промежутке !Р а второе на промежутке Г«изменения х, а точка х, принадлежнт втим промежуткам.
При этом на обшей части промежутков 1, н l«должно иметь место тождество у, (х) = — у«(х). Предполагается, конечно, что интегральные крнвые У=у,(х) н у=у«(х) не выходят нз области В, где Г(х, у) определена и удовлетворяет указанным в теореме условиян. В следующих разделах мы укажем некоторые частные тяпы днфференцизльных уравнений, интегрирование которых приводится к вычясленню неопределенных интегралов нли, как говорят, их интегрирование приводится к квадратурам. Отметим, что вычвсленне интеграла свяаано с вычислением площади, о~куда и происходит термин «квадратура». При рассмотрении упомянутых частных типов мы привелем ряд примеров, на которых мы прокллюстрируем укаяанные выше соображения, связанные с теоремой А.
3. Урявненнн е отделяюшнммся переменными, Наряду с аростейшнм уравнением (5) язссмотрян уравнение у' =у(у) влн — „=у(у). еу 14 гл, г овыкновинныя днвэигянцнальныв гвлвнания Перепишем его в виде йл 1 Ь ТЬТ я для общего янтеграла получим формулу х=* ~ — +С. еу .) РЫ Положим теперь, что правая часть уравнения (3] есть произведение функции только от х на функцию только у: лу ,— д(х) Ь(у). (10) Это уравнение можно переписать в виде «(г) — 3 (х) Ых. (101) Пусть у(х) — некоторое решение уравнения (10) или, что то же, уравнения (10„). Последнее равенство есть равенство двух дифференциалов, нз которых левый выражается через посредство у (вид дифференциала первого порядка не зависит от выбора переменной (1, 60]). Из равенства дифференциалов следует, что нх неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым, т.
е. — ~ 3(х)их+С. — --Фх+ — Иу 0 Мг (л) йа (у) Выполняя квадратуры и решая относительно у, получим общий инте. грал уравнения (10). Переход от (10) к (10,) называется обычно ила= уалением (разделебйялг) цсиеменных. В саязй с вышесказанным приведен некоторые общие соображевяя.
Всякое дифференциальное уравнение первого порядка, решенное относительно производной, можно ззписать в виде М(х, у)Ых+Ф(х, у)г(у О. (11) Уравнение, записанное в таком виде, ве связывает нас выбором неизвестной функции. Эа таковую мы можем принять как у, так и х. Пусть М(х, у) и Ф(х, у) суть произведення функции только от х ва функция только от у, т. е. М,(х) М,(у) Ых+ й),(х) )та(у) Ыу = О.
Та~(ре уравнение называется уравнением е отйеляюглимися переменными 11, 931. Деля обе части на И,(х)Ма(у), «отделим пере- менныеьч $ К УРАВНЕНИЯ ПЕРЗОГО ПОРЯДКА и получим обшяй интеграл уравнения в виде $5-"~~ +3Д вЂ”,', в=С В дальнейшем мы займемся я общим уравнением (11). Выше мы яе уточниля условий, которые надо наложить на функ« цин а(х), Ь(у) я т.
д„а также не обсуждаля вопроса о преобразованиях, которые мы выполняли — например, деление обоих частей уравнения (10) на й(у). Более подробно вто выяснится иа примерах. 4. Примеры. 1. рассмотрим дифференциальное урзвнекие ау у — ив ак к' (12) где а — постоянная, отличная от нуля. Переменные разделяются: ау ах — =ив у х' то увидим, что поле направлений определено на прямой х= 0 при у Ф О; в ятях точках направление касательной параллельно оси О )г. В точке (О, 0) правая часть (12) и (12,) не имеют смысла. Для уравнения (12) имеются дзе области В теоремы Ам левая полуплоскость х(0 н правая х)0, а для уравнения (12,) — верхняя полуплоскость у)0 и нижняя у(0.
Разберен теперь случаи: а=2, а=! и а= — 1. При а=2 иэ (13) следует. у = схз, т. е. мы получаем семейство парабол с вершиной в (О, 0), касаюптихся оси ОХ, и прямую у = 0 (при С= О), а для уравяення (12,) н прямая х=О будет янтегральной линией. Через каждую точку плоскости, кроме (О, 0), проходит одна н только одна линия семейства, состоящего из упомянутых парабол и осей координат.
В точке (О, 0), где дифференциальное уравнение не определено, все линни упомянутого семейства встречаются (узлаааа яппхкц мссх интегпздьпых линий). Если бы ны рассматривали только уравнение (12), то яз семейства интегральных линий исюпочилась бы ось Оу(х = 0). Везде вдоль откуда 1и ~у ~ = а 1и ( х ~+ 1и ~ С1, яли 1у ~ = ~ С ~ ~ х ~Я.
(13) Интегрируя, мы пишем под знаком логаряфма абсолютную величяиу, принимая во вннмакне возможность отрицательных величин, и произвольную постоянную обозначаем через 1Я1С(. Уравнение(12) определяет поле направлений на всей плоскости, кроме прямой х = О. Если мы перепишем его в виде ах 1к (12~) — 1 16 Гл. 1 озыкноввняыя днввеивныияльныв звязнения м втой оси, кроме начала, правая часть (12) обращается в бесконечность (теряет непрерывность). Отметим, что все интегральные линии уравнения (12) касаются оси ОХ.
При а=! из (13) следуету =Сх, т. е. семейство интегральных линий есть семейство всех прямых, проходящих через начало. Это семейство включает, как н при а=2, оси координат. Отиетим, что в этом случае интегральные линии уравнения (12) (прямые) приходят в начало с различными угловыми козффиннентамн. При а= — 1 из (13) получаем у= —, т. е. се- С х' мейство интегральных линни уравнений (12) и (12,) содержит все равнобочные гиперболы, имеющие асимптотамн оси координат, псами вти оси.
Последнее надо понимать так: а начале когрдиньт встречаются положительные и отрнпательные части осев координат. 2. Рассмотрим уравнение ~= а —. (14) ах г Переменные разделяются уау=ахг(х и, интегрируя, получаем у' = аха + 2С (15) Для уравнения (14), как и в примере 1, имеются зве области В теоремы А: верхняя полуплоскость у)0 н нижняя у(0. Прн а= — 1 получаем х'+уз=2С, 'т. е. семейство интегральных линий есть семейство всех окружностей с пентром в (О, 0).
Через всякую точку плоскости, кроме (О, О), проходит одна н только одна такая окружность и нет ни одной интегральной динии, которая бы беспредельно близко подходила к началу. Если рассматривать только уравнение (14), то у надо считать однозначной функпией от х, и всякая окружность будет состоять из двух интегральных линяй: верхней части окружности (при у)0) и нижней (при у(0). На оси ОХ (при у=О н х~ 0) правая часть (14) обращается в бесконечность. В этих точках касательные к ок.
ружноствм параллельны оси Ог. Если переписать (14) прн а= — 1 в виде У (14 ) Иу х' то указанная особенность при у=О исчеаает, но появляется особенность при х=О, н надо рассматривать правые части окружности (при х)0) и левые (прн х(Оь на которых х — однозначная функиия у, что требуется уравнением (14,). Область В теоремы А для уравнения (14,)будет отлична от той же области для уравнения (!4) при а= — 1, и при применении теоремы А мы должны иметь в виду какую-либо определенную запись дифференциального уравнения. Этого а ь твлвнения певвого повидал 17 „ы и будем придерживаться в дальнейшем, если нет специальных оговорок о лругоЯ точке зрения. Можно рассматривать совместно (14) и (14~), как мы делали в примере 1.
Эта точка зрения проведена в книге И. Г. Петровского 71екции по теории обыкновенных дифференциальных урааненийь (Москва, 1964). Укаэанные неудобства при расснотрейии интегральных кривых связаны с тем, что мы рассматриваем их уравнения в явной форме: у=у(х) или х=у(у). Если перейти к параметри. ческая форме уравнений интегральных кривых, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
