Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Диффе- реишсруя, находим ~,-( Подставив в уравнение (28), получим и'е ) '"с "+9(х)=0, сс'= — с~(х)е(всю~; и = С вЂ” ~ (,с (х) е(~см в' Их При определенна у по втой формуле надо брать одно вз значений неопределенных янтегралов г) Р(х)йх я ~ ()(х)е[ 'и'г~йх, так как прябавление к ним произвольных постоянных изменяет только значение С Заменяя ях определенным интегралом с переменным верхним нрелелом [1, 96), ножен переписать формулу (31) так: л Р— ) риала л [ еваеа у(х)=е л [С вЂ” ~ ()(в)еш йв1. (32] Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами и н и, отличными от буквы х.
Если задано начальное значение (ЗО) искомого решения при х= ха то формула (32) дает вполне определенное решение л а — [ Е(а1 еа л 1 и<а~ел у(х) =е а Г[уь г) ()(и) е а йп1. ла Во всем предыдущем мы считала, что Р(х) и ()(х) непрерывны в некотором промежутке 1, содержащем точку хк Из (33) вытекает слелующнй важный факж решение у(х) сущеетеуеш ео всем лромеисушме 1 нлмелелил х.
Из формулы (32) следует, что решения линейного дифференциального уравненяя нмеагт вид у=у,(х) С+ва(х), (34) т. е. у еешь итейнаа фулхлил произвольной лоетоллиой. Пусть у, есть решение уравнения (26). Полагая у=уг+х (35) (33) получим для е уравнение Ы+ Р(х) л+ [у, '+ Р1х) у, + О (х)[ = О. Сумма, стоацая в квадратных скобках, равна нулго, так как, по предположение, у, есть решение уравненвя (28).
Следовательно, л есть решение соответствующего уравнения без свободного члена н определается по формуле (2Я), а тогда: + С -! Раааа (36) Положим теперь, что известно еще второе решение у, уравнениа (28), и пусть это решение получается из формулы (36) прн С= ш у„=у,+ ае (Збг) 24 гл. х овыкноввнные днввеввнцнальныв тэавнения м ч ь тэьвнання пенного поэядкл 'Исключая е ! цо из равенств (36) н (36,), получим выражение всех решений линейного уравнения через его два решения у, н уэ. у у!+ Сэ(уэ М где С,— произвольнаа постояннаа, заменяющая С/а в прежних обошшчениях.
Иэ последнего уравнения вытекает следующее соотношению У,— У г-С, — = — = Сэ у — у, с, которое показывает, что отношение — есть величина постоянная, Уь — У У У~ т. е. семейство интегральных кривых линейного уравнения есть семейство кривых, делящих е настоянном отношении отреза» ординаты между какими-либо двумя кривымиетогосемейства. г Таким образом, если известны две интегральные кривые Е, и Е, линейного уравнения, то всякая другая интегральная .кривая определяется постоянным значением отношений (рис.
6) ААэ йй, ССэ В0~ В силу этого равенства хорды А!Вэ АВ н А,В, должны илн пересекаться в одной точке, или быть параллельными. При беспредельном приближении отрезка ординаты В,Вч к отрезку А!Аэ направление этих хорд перейдет в направление касательных к кривым в точках Аь А и Аи и мы получаем следующее свойство касательных к интегральным кривым линейного уравнения: касательные к интегральным кривым линейного уравнения в точках нересечения этих кривых нрямой, яараллельной оси ОУ, или иересекаются в одной точке, или иараллельны.
Прям ер. Рассмотрим процесс устаиаагивающе|ося переменного тока в цеин с самояихукцией. Пусть ! — сига тока, и — иаяряжгине, !с-сопротивление цепи н Š— коэффициент самоииауации. Имеет место соотношение о=9+ Е— е! д! ' втхуда хга ! иогучаем аниейиое уравнение Ф! Я о б! к — г- — =о. $ С. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2Ч Первое свагаемое, содержащее множитель е, быстро затузаег, и практически через короткий промежуток времени после г=о сиза тока будет определяться суммоп двух осгазьиы* слагаемых формулы (38). Эта сумма представляет собою сииусондааьную величину гоя же частоты ч, что и напряжение в, но с другими амплитудой и фазой.
Заметим также, что зга сумма, дающая установившийся процесс тока, ие зависит ог начального значения тока С„ Обобщением линейного дифференциального уравнения (28) является уравнение Бернуллш у'+Р(х)у+О.(х)у =О, причем показатель степени т можно считать отличным от нуля и единицы, так как в этих случаях уравнение будет лсснепнызс Делим обе части на у": у "у'+Р(х) у' + О(х)=0 и вводим вместо у новую искомую функцию гс и=у' ", й=(1 — т)у ~у'.
При этом уравнение приведется к виду й+Рс(х)и+()с(х)=0, где Р,(х)=(1 — т) Р(х) я ()с(х)=(1 — т) Ц(х), т. е подстановкой и=уз уравнение Бернулли (39) лриводитсн н линейному н интегрируется затем как лицеиное Отметим, что интегрирование дифференциального уравнения вида у'+ Р(х) у + О (х) уз + сс (х) = О, (40) которое называется уравнением Ринатти, ие приводится при произвольных коэффициентах к квддратурам. Его можно прмвести к линепному уравнению, если известно его какое-либо частное решение. Депствительно, пусть у,(х) — решение уравнения (40), т.
е. у',+Р(х)у,+ О( )у',+)~(х)=0. (41) Введем в уравнение (40) вместо у новую искомую функцию и по формуле 1 У вЂ” Ус+ Подставляя в (40) и принимая во внимание равенство (41), получим для и линепное уравнение вида сс' — (Р(х) + 2О(х) Ус) и — О (х) — О Общий интеграл этого уравнения имеет вид и= Ор(х)+ ф(х). 28 гл, >, овыкновинныи дниивввнцнальныз тзлвнвння р Подставляв зто выражение и в написанное выше равенство для у, получим обшнй интеграл уравнения Рикатги в виде сь> >.>ь> > Ор>(х)+(>>(к) * У, Способ Эйлера — Коши.
В (2) мы указали приближенное построение интегральной крявой уравнения у =ах. у) (42) при начальном условии у>» л>=уа (43) Этот прием можно упростить, употребляя вместо сетки квадратов лишь прямые, параллельные оси Ог". Получаюшийся таким путем прием приводит к сравнительно простому и практически удобному способу приближенного вычисления ординаты у искомой интегральной кривой при заданной абсциссе, На- ! у несем на плоскости последовзтельность прямых, параллельных ОУ: х=хь х=хь х='хь ..., приз(лзу чем ха~х>(ха(...
„! Пусть Ма(хь уа) — начальная иду) точка интегральной кривой (рис. 7). Из нее проводим луч с углозыч коэффициентом 7(ха, У,) До пеРеага(ла,У -- и А' сечения его в точке М с прямой 1 х=хь Пусть у,— ординатз Мь 77 а > ла г Она определяется из соотношения у, — у,=у(хь у,)(х, — ха), Р»с. 7.
ибо отрезки М>>>7 н й7М> выра- жаются числами х, — х, и у, — у„ а тангенс угла й7М>М> по построению равен 7(хь у,). Из точки М>(хь у,) проводим луч М,М, с угловым коэффициентом г"(х>. >,) до пересечения его в точке М, с прямой х=хя Ординатн у, точки пересечения определяются иэ соотношения у, — у> =у(х>, у,)(хя — х>). Точно так же, исходя из точки М,(хь уя), можно определить следующую точку М,(хь уа) и т. д.
Положим теперь, что нам надо при заданном значении х определить значение у решения уравнения (42), удовлетворяющее начальным условиям (43). В силу сказанного выше, длн этого надо поступать так: промежуток (х,, х) разбиваем на отдельные части *>~~х>(хас'ха(...(х„>(х„>(х... (44) $ ь зялзнения пеРВОГО повязка и последовательно определяем ординзты уь у ..., у , по формулам: у~ уе у(хь уе)(х~ — хе), у,— у,=у(хь у)(х,— «); у,— уз=у(хь уе)(х,— хе), (45) у„~ — у„е=у(х„ь у е)(х т — х,), )' — у„,=/(х в у,,)(х — х ). Прн указанных в [2] условиях относительно свойств функпин у(х, у), если число промежутков увеличивается, а каждый из них стремнтся к нулю, то величина )г, получаемая ив формул (46), будет стремиться к истинной ординзте у искомой интегральной .кривой, если заданное значение х достаточно близко к начальному х, (см.
63]. Складывав равенства (46) почленио, найдем бев труда у у=уз+у(х„уе)(хт — х)+Дхь у~)(хе-х1)+...+ +У(х в у е)(х т — х„е)+1(х ь у ~)(х — х„,). (46) В простейшем случае уравнения у'=у(х) написанная формула будет иметь вид л — ! у,+ ~', /(хг)(х„,-х,), л что, как известно [1, 67), дает приближенное выражение для величвны у + ) у(х)т(% лч т. е. для решения данного уравнения. Вычисление по формулам (45) производится в Следующем порядке. Первая иэ формул (45) дает равность (у, —.уе) Складывая ее с у„ получаем вторую ординату у, и с помощью второй из формул (45) макодим равность (уз — ут).
Складывая эту последнюю с уь получаем третью ОРдииатУ Уе н с помощью тРетьей нз фоРмУл (45) находим Разность у,— у, и т. д. Прибавляя все зти разности к у„находим г'. а(ы вернемся еще к этому методу в следующей главе. Пример. Применим улазаняый вриблимеииый метод к уравнению ку у' а~~ 2 яри условии у(0)= П разделяя переменные я интегрируя, убедммся з том, что искомое решение выражается 4юрмулой у = ек'~ь 3) гл, !. овык>говкнныя днээвакнциальныв зилвнвння Прн щрииеиевив формул (45) будем счятзп,, чго ка-ка! О, 1 (а 1, 2, ...).
В прилагаемой таблице приведены результаты вычислений е .округлением и последнем знаке. Первый столбец содержит величины к, второй †соответствующие им величины у, третий †значен «у/2, четвертый †разнос Ду — 0,1, наконец последней — аиачеиия ординат точкой интегральной ку 2' '' кривой е«14 При к 0,9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
