Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

упомямутое семейство прямых являлось семейством касательных для втой астрояды. Зтн примеры естественно приводят нас к понвтию огибающей данного семейства линяй, Пусть- дано семейство линий ф(х, у, С)=0, (78) гдя С вЂ” проязвольиая постояннан Огибающей вшого семейства яазмваешся линия, кошорая во всех своих точках «асаевгся различим« линий семейсшеа, т. е. имееш в каждой своей ящике «аеишельную, общую с линией семейсщва (78), проходящей через ящу вке шоч«у.

Выясним правяло нахождения втой огибающей. Прежде всего определим угловой козффипяент касательной к лиянн семейства (78) Двфференцируя равенство (78) н принимая во внимание, что у есть фушшня от х, а С вЂ” постоянная, получим ~..~.и иг,у.с> ) к ' ду йй дд(х, у, С) (79) Положим. что искомое уравнение огибающей будет Я(х, у)=0.

(80) й)В можем считать, что неизвестная нам пока левая часть етого уразя, т. е. Й(х, у), имеет внд ф(х, у, С) где только С не постоянш% а какая.то неизвестная пока функцяя от х и у. Действительно, для любой функция Я(х, у) ны можем написать равенство й(х, у)=ф(х, у, С), 42 гл. ц овыкнованныя дноояэанциальныв ивлвнання па ф( у о о ж.ага о (82) Ыогда мы двигаемся по огнбаюшей, то мы касаемся рааличных линий семейства (78), каждая иа которых определяется своем аначением постоянной С, таким обравом, становится наглядно понятным тот факт, что мы искали уравнение огибающей также в виде (78), считая только С переменным. Вернемся теперь к особым решеняям дяфференцизльного уравнения.

Положим, что (78) есть семейство общего ннтеграла дифференциального уравненяя Ф(х, у, у')=О, (83) т. е. что на любой ляняи семейства (78) координаты (х, у) я угловая коэффициент касательной у' удовлетворяют уравнению (83(. В каждой точке огибающей х, у я у' будут совпадать с таковыми же величинами некоторой кривой семейства (78) т. е. х, у и у' огибающей будут также удовлетворять (83). Итак, огибающая семейства общего интеграла есть такжм интегральная кривая уравнении. Таким образом, еслв ф(х, у, С)=0 есть общий интеграл урав~ яснев (83), то исключение С нв уравнений (82) приводит иас в не- которое и определит нам С как функцию от х и у.

Итак, ны можем искать уравнение огибающей также в виде (78), счятая только С не постоянной, а искомой функцией от х и у. Беря дифференциал от обеих частей уравнения (78), мы получим, прянимая во вниманяц что С ужя не постояннак дг(х,, С) йх+ дф(х,, С) й + Х(л, у, ~Э йС=О. (81) оо. У яскомой огибающей угловой коэффипиент касательной йу)йх должен быть по условию таким же, что и у крнвой семеяства (78), проходящей червя ту же точку, т, е.

равенство (81) должно дать для йу(йх прежнее выражение (79), а это будет иметь место лишь в том случае, когда третье сЛагаемое в левой части формулы (81) будет равно нулю, т. е. оС' йС=О. Вовиожность йС=О дает постоянную С, т. е. дает опять крявую семейства, а ие огибающую, и следовательно, чтобы получить огибающую, мы должны положить Это уравнение и определит нам С как функцяю от(х,у).

Подставляя вто выражение С червя х к у в левую часть равенства(78), получим искомое уравнение огнбжощей (80), т. е. уравнение огибающей се,мейства (78) моисее быта получено исключением С ие двух уравнений 43 а!. увлвнпния пвввого погадал ~рык случаях к особому решению. Мы оговорнлнсь здесь, добавив !екоторых случаях» (а не всегда) пз следующих соображений. в вредыдушпх рассужденяях преллолагзлось, что линии (78) ямеют касательную, повтому, если мы всключим С нз уравненнй (82) то к жем получить не только огибающую, з также я совокупность всех обык точек крнвых семейства (78) т.

е геометрическое место тех мш крявых (78) в которых этн кривые. не имеют определенной шшйтельной [1, 76) Кроме того, нногда случается, что сама огибающая входят в состав семейства лнннй (78) Мы не останавливаемся на строгом нзложеняя теории огибающей н особых решений.

Такая теоряя должна быть тесно связана с теоремой существования п единственности, о которой мы упомнналя в [й), н огрзннчнмся выяснением вопроса нз некотормк примерах. !. Будем искать огибавшую семейства окружное~ей (62) (к — С)'+у' = а'. Уравнения (82) вмевт з данном случае вяд (к — С)'+уз ~ а', — 2 (к — С) =О. йчарое уразнепне дает С= к, н, подстзвавя его в первое уравнение, получаем у' а', т. е. совокупность азуз прамых у = .+. а, что мы нмезн и раньше. В Общий нвтегрза уразнення Клеро у*= ку' + Г(у') будет у = кС+ т (С). Огнбавщая получится нскзвченнеы С из дзуз уразяешш у=кС+т(С) О=к+у'(С). Этп уравнения совпадают с урззненяямя нз [!![ с несупгествепвой заменой буквы у на букву С, т.

е. мы получнзв прежнее правнло па*ожденпя особого решения Уравнения Клеро. ГК Кривая у' = к' представляет собою так называемую позукубвческув параболу (рнс. 10). Двнгая ее параллельно осн ОУ, получим сеыейстзотакях позукубнческнз парабощ Каждая нз зтяз арнзыз нмеет остряе на осн ОУ, я в »том остряе ннеися с правой стороны касательная, параллельная осн ОХ. уразнення(82) в данном случае нмевт вяд (у -[- С)' *=.т1 2 (у + С) О.

Исключав С, получаем к О, т. е. ось Оу. В данном саучае зтз ось ОУ ве валяется огябавщей семейства, а геометрическим местом особых точек правых семейства. 4 Рассмотрим сенейство крввых у~С(к — С)й 44 гл. ь овыкновянныя днееявенцнлльные твавнания цз При Сфб это есть аараболз, з яря С=Π— ось ОК. Уравнения 182) имеют лая у=С(х — С)', (л — С)(к — ЗС)=0. 1 Второе урзаяеяне дает С х иля С = — к. Подставляя в первое урзв- 3 4 ° яение, получим или у=б,,яля у=-.к'.

Первая ливия у=о есть ось ОХ, которая содержится в самом семействе ярявмз, з кубическая азрабола у=нлулл есть огибающая семейства 4 14. Ивогональные траектории. Пусть имеется семейство крняыт, азвисяшее от одной произвольной постоянной ф(х, у, С)=О. (84) Поставим следуюшую задачу. "составить дифференцяальное уравнение, для которого семейство (84) есть семейство общего яитеграла. Урав- нение (84) определяет у как функцию х и С Ляфференцируя (84) по х, получим дФ(к, у, С) + д) (х, у, С) Ы Ь' (85) Исключая С иэ (84) и (88), придем к яскомому дифференциальному уравнению: Ф (х, у, у') = О. (86) Вернемся к семейству (84).

Изогонахьными траенторггями семейства (84) называется семейство кряямх, пересекйюшиася с яривнмн семействз (84) под постоянным углом у. Займемсв сначала определением ортогонакьнмх траенторий По условию ортогональности, искомая кривая в точке ее пересечения с какой-лабо кривой семейства (84) должна иметь угловой коэффкциент касательной, обратный по величине и внаку по сравнению с угловым коэффипяентом касательной к кривой семейства (84), и, следовательно, чтобы получить дифференциальное уравнение ортогонакьнмх траекторий, надо е диффе)ренциальнолг уравнения заданного семейства заменить у' на ( — —,1. у! Таким образом, нахождение ортогональных траекторий приводитса к янтегрпрованию уравнения Ф ~х, у» — —,)=О, Ул где у,— искомая функция от х.

Обратимся теперь к общей вадаче изогояальныя траекторий, я пусть о — постоянный угол, под которым искомые кривые должны ° ь увлвнення пеувого повидал 46 ресекать кривые семейства (84). Обозначая, как н выше. через у, о мгнпатУ Яскомой кРивой и пРнннмаа во внвмание выРзженае дла магенса разности двух углов 16 р=)6(ф, — ф) мю е 18 о=у' есть угловой козффипяент касательной к кривым (84) „164,=у, — к искомым кривым, можем написать 1 6 9» 1+уу( глп р отсчатываетса от кривой (84) к искомой кряаой, Исключая у' вв последнего уравнения н уравненяя (86), получим днфференпвальное уравнение взогональных траекторий, которое в надо шгтегрпровать П у и и е р.

Найти азогонзльнме трзектории семейства у ~Ск". !еа) Исключал С вз уравнений у-С , у' Свк -', воаучям зифференнизаьиое уравиеяие семейства 188К Йодстзалзз зто выражение для у ° формулу (йу)> получим янфферан япальиое уравнение искомого семействв у- А к 1 у Д ° 1+ ву— к причем постоянную тйу мм обозначяая через 1гй в вместо У, яапксзля просто у, Это уравнение прнзожвсл к аиду аву +1 к у' = й — в— у к в следовательно, есть оаиородное уравнение (6). йсли в* 1, то семейство (88) будет семейством лучей, прозозвпна «йез аачаао аоораннат, а ясаомые арвзме долвнм пересекать из поа пооввмм угаом, т. е.

будут аогарифмзческяе спирали (1, 83) али окрув- 48 гл. з озыкновенныз диоогввнцнлльныв эплвнгния 1ж Придзвав Сь Се,..., С„ определенные численные значения, получим часлтное рситение уравнения (2). Дифференцируя (6) или (7) по х (л — 1) раз и подставляя затем х = х, и начальные условия (о), получим л уравнений. Предполагается, что эти уравнения разрешит ы относительно Сп С„..., С„при любых начальных данных (х„уч, у'..., у)л — В) из некоторой области изменения хм ум у'„..., у'," — '!. Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяюшее условиям(5).

Определение особого решения то же, что и для уравнения первого порядка. Основой дзльнейшего является теорема А. Укажем кратко распространение метода степенных рядов 18) для равнений и-го порядка. Если правая часть (2) есть ряд, расположенный по целым неотрицательным степеням разностей х — хм у — ум у' — у„', ..., у'"-" — у~л-П и сходяшийся при условии, что абсолютные знзчения этих разностей не превышают некоторого полоткительного числа, то решение, удовлетворяющее начальным условиям (5), может быть представлено в виде ряда уо+ (х хв)+ (» — хв) + ° ° ° (8) для всех х, достаточно близких к х,.

При этом уравнение (2) совместно с условиями (5), как и в случае уравнения первого порядка, определяет коэффициенты этого ряда. Пействительно, подставляя в уравнение (2) » =х, и начальные значения (5), определяем у'") =у)лй дифференцируя затем уравнение (2) по х и подставляя х=хы на- ЧаЛЬНЫЕ ЗНаЧЕНИя (5) И у"'=уст), ОирЕдЕЛяЕМ у1л+П И т. д. МОжпО поступать и иначе, з именно подставить в обе части уравнения (2) вместо у степенной ряд ~л — н У =Ус+ 1(е (х хе) Г ° ° +(„" 1)1 (х — хе)" '+ ~ ал(х»о) (8) с неопределеннылзи коэффициентами а„, а„,ь ... Располагая правую часть по целым неотрицательным степепят1 (х — х,), смо кем посгепенпо определять упомянутые коэффициенты, приравнивая члены с одинаковыми степенями (х — »л) в обеих частях полученного равенства. 16.

Графические способы интегрирования дифференциального урав. пения второго порядка. Всякому решению дифференциального уравнения и-го порчдвв соответствует псвоторая линна на плоскости ХО); которую мы будем называть,влв и для уравнения первого порядка, инвзегральной линией (крпвой) зтшо уравнения.

Характеристики

Список файлов книги