Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ошибка, как видно иа таблицы, меньше 0,031, т. е. составляет приблизительно 2,Щ 8. Применение степепнык радов. Дифференциальные уравнения интегрируются в квадратурах лишь в исключительных случаях, В связи с атим, кроме укааанного в 17] метода приближенного интегрирования уравнения, применимого в весьма широком классе случаев, изложим еше метод степенных рядов. При его применении будем предполагать, что прзвая часть уравнения (42) имеет в точке (хе, уе) и ее окрестности производные всех порядков по х н у. Итак, рассмотрнм уравнение (42) с начальным условием (43).
Подставляя в правую часть (42) х»ь у=у„получим значение уе производной у по х при х =х Дифференцируя (42) по х, пря предположении, что у — искомое решение, получим уравнение ° д!(к, у) д!(«, у) У - — х=' — + Подставляя в его правую чзсть х =хе у=уз я у' =уь определим значение у, второй производной у' при »=хе Дифференцируя написанное выше равенство еше раз по х, получим, как и выше, значение Уе' пРоизводной тРетьего поРЯдка У'" пРи х= хе и т.
)ь Если функция У(х, у) дифференцируема сколько угодно раз, мы сможем определить проиаведенне всех порядков от у при х хе а тем самым построить ряд Тейлора уз+1!'(»»е)+2! (» »е) + " (4Т) $1, УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Возникает вопрос о сходимости этого ряда. «кокаэывается, что елн правая часть уравнения (42) представляет собою ряд, расположезныд по целым положительным степеням разностеп х-ха м у-уе р.
18)): у(х, у)= ~', а (х-хе)Р(у-ую)е. е,с-а у =*у,+ ак(х -х,')+ а,(х- х )з+... (48) Располагая правую часть по степеням (х-ха) и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях (х-ха), сможем определить постепенно коэффициенты ап ав ... Ряды (47) и (48) будут совпадать, как в этом нетрудно убедиться. Пример. Наалеи решение уравнения «у ю— 2 с (49) удовлетяорюожее вачальимм условиям (50) в виде степенного ряда у 1+ 2с ас«с с зрячем ны взяля свободный член равным едияице, в силу начального условия (БО).
днфференцнруем этот рял: с«с с 1 Подставляем полученные выражения внес«о у н у' в уравнение (49): на+ 2аск+ заькс+... -~-(н+ 1) и с«с+." с 1 — к(1+и,«+иске+...+а„скк с+...). сходящиися, если абсолютные значения этих разностей достаточно малы, то функция у(х, у) дифференцнруема сколько угодно раз прн значениях х и у, достаточно близких к ха н уь ряд (47) сходится при всех х, достаточно близких к х,„ н его сумма у есть решение уравнения (42), удовлетворяющее услозяю (43) Вместо указанного приема постепенного определения производных при х ха можно применить и другой прием, а именно хезсод неопределенных козффициенлсое.
Подставим в обе части уравнения (42) вместо у степенноп ряд с неопределеннымн коэффициентами 32 гл. ь овыкновенные диввевенцилльные тзлвнения 1$ Првразиизая коэффнпиевты прв одяиаковых степенях с в левой и рвведекяые в табличка соотношения. Отсюда ясно, что ит ия ив ... аыы ... О, 1 1 1 а, — а, — ...,аяч 4 ' 2! 4Я ' '"' л14"' в правой частях. получим и т.
е. окончательно (1, 126) 9. Общнй интеграл н особое рещенне. Выше мы определили общий инте- грал, как решение дифференциального уравнения, содержашев произвольную'постоянную. Пусть точка (хв у,), входящая в условие (43), прннадлежнт области В теоремы А. Изменяя в начальном условии эначенне у„мы получим бесчисленное множество решений уравнения (42), н уз может играть роль произвольной постоянной. Прн рассмотрении примеров дифференциальных уравнений мы получалн общий интеграл, в который пронзвольная постоанная входнла не как начальное значение у.
Понятие общего интеграла, строго говоря, нуждается в дополнительных равьяснениях. Мы не будем втнм заниматься, поскольку естественной основою теоретического исследования дифференциальных уравнений является упоминаемая нами выше теорема А. Кроме того, весьма редко удается выразить общий интеграл через злементарные функции или квадратуры. Естественно понимать код общим интегралом такое решение дифференциального уравнения (42), содержащее произвольную постоянную, иа которого можно получить все решения, определяемые теоремой А прн начальных условиях (хь ув), заполняющих кзкую-либо область плоскости ХОУ.
Если общин интеграл получен в неявной форме ф(х, у, С)=0, (61) (б2) ы(х, у)=*С В таком анде он получался для уравнения с отделяющимися пере- меннымн. Функция ы(х, у) нлн равенство (б2) называются обычно интегралом уривиеиия (42). то соответствующие значения С определятся уравнением й (х,„у„С) = О. Пусть имеется общий интеграл уравнения (42) в виде, разрешенном относительно С: $ Ь УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Пря подстановке в эту функцию вместо у какого-либо частного решения уравненяя (42) мы должны получить постоянную велнчнну. т.
е. интеарал уравнения (42) есть тания функция х и у, полная «ртгвводная котороб ло х равна нулю в силу уравнения (42), Беря полную пронзводную по х от обеих частеп уравнения (5!). получим !1, 69) ! ' у) + д !»' ~) у' 0 д» ду нли, поскольку у есть по предположению решение уравнення (42), заменяя у' на /(х, у), получим + П )О (63) д» ду Функция ю(х, у) должна удовлетворять атому уравнению незави- симо от того, какое именно решение уравнения (42) мы подставляли в эту функцию.
Но в силу пронзвольностн начального условия (43) в теореме сушествования н единственности значеняя х н у могут быть какне угодно, если мы берем все решения уравненна (42). т. е. функция ю(х, у) должна удовлетворить уравнению (53) тохсде- ственно относительно х ну. Покажем, наконец, какам образом можно проверить решение уравнения (42), когда оно дано в неявной форме ю,(х, у) О. (64) Как п выше, получаем уравнение (55) причем это соотношение должно быть выполнено во всех точках кри- воя (54), т.
е. равенство (55) должно быть выполнено не обязательно тождественно относнтельно х я у, но лишь в силу равенства (Щ Рассмогрнм, например, уравненне ! — 3»' — уь У 2 Нетрудяо видеть, что окружность »а+у» 1 О есть рсшевве етого уравнеяяя. Деяствятельпо, в данном случае ! -З»ь-уь /(», у) в мг(», у)»а+у»-1~ равенство (55) пмеет вяд ! -Зьа-у» 1 — »а — у» 2»+Ау юо, т. е. юб, 2»у» в оно очевядво выполнается в салу уравнения окружвестя. Покажем, что ебжяя нятзграл лаяного лвфференцвальяого уравваняя буЛИ »»+»уа-л С.
34 гл. к овыкновяннык дииииэвнцилльныз квавнения (ю Подставляя в (53) кч(к, у) кк+кук-к, получим Зля+у~ -1+ 2ку 1-Зкк — уч 2ку о, и непосредственно виаяо, что это равевство выполнено тожэесгаеияо прв всяких к я у. Уравнение (42) иожет иметь решения, которые и не заключаются в семействе общего интеграла, т. е. не могут быть получены из фор- мулы (61) нн пря каком частном значении С. Такие решения назы- ваются обычно особымп решениями.
В качестве примера расснотрим уравнение (18) и его общий интеграл (19). Решение у=О уравне- ния (18) не заключается в семействе (19). Как ны видели, через каждую точку решения у=*О проходит несколько интегральных кривых. Решения, которые принадлежат области В теоремы А, иы не называем особыми. Обычно особыми решениями называют такие интегральные кривые, в каждой точке которых Ие выполнены усло- вия теоремы существования в единственности.
Они не получаются, обычно, из общего интеграла ни при каком численном значения С. В дальнейших примерах мы еще вернемся к нин. Но, как мы и выше указывалн, основой дальнейшего будет служить теорема А. 1О. Уравнения, не решенные относительно у'. Теория дифференпиальных уравнений, не решенных относительно у'. Ф (х, у, у') = О, (56) является значвтельно более сложной. Решая зто уравнение относительно у', ны получим уРавнение вида (42), но функпня Дх, у) может быть и многозначной. Мы ограннчимся в общем плане тем случаем, когда левая часть (56) есть нногочлен второй степени относительноу".
у' +2Р(х, у)у'-(-()(х, у)=О, (67) причем будем считать, что Р (х, у) и ()(х, у) — нногочлены от х и у. Решая относительно у', получим у'= — Р(х, у).+. ~'В(х, у), (68) где Й(х. у)=(Р(х, у))к — (',)(х, у). (59) й(ы можем янеть одну иля несколько областей В на плоскости ХОР, в которых гг(х, у)) О. В этих областях форнула (68) определяет два различных днфференпиальных уравнения (два различных анака у радикала). Правая часть каждого из ннх непрерывна в В и ннеет непрерывную частную проязводную по у.
Согласно теореме А через всякую точку М в области В проходит две и только две интегральные кривые, причеи втн кривые в точке М не касаются, вбо онн в этой точке имеют различные значения у', разность которых равна $1. ЗРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (60) рыо может определять одну илн несколько линий (границы областей В, если последняе существуют). Этн линии могут быть интегральными крнвымн уравнения (67). но могут н не быть тзковымн.
Мы не будем рассматривать более сложных случаев уравнений, яе решенных относительно у'. П р н м е р 1. Рассмотрим уравнение, отлвчвое по типу от (67), уз-ат, рйг — у' у'з+ — о, влв у' уь у ))ля яего имеются дне областы В,, Вз-внутренние части полое между прашмш у О и у .~а. Ответам, что границы у о я у -о суть решения уразнеыыя (6!). В урзвыеыйи (6Ц перемеяные отделяются; иытегрнрун, выучим (з-С)*+уз аз, (62) т.
е. семейство окружностей с цеытром яз оси ОХ и радиусом ц В упомянутых областях мы имеем дза двффереициальвых уразнеыыя (6Ц, к формула (62) есть общий вншграл для обоих эшх уразнеывй. В каждой точке (6Ц Рнс. 8. ° з Вг пересекаются две окружяоств семейства (62). Прямые у ха су1ь особые решения уравнения (6Ц (рнс. 8). Через каждую точку етых прямых ароходвт ча малом» четыре иытегрзльвые кряные уразнеыия (бц (ср. пример 4 нз )4)), На чзспп плоскости у > а и у(-о днфференцизльнсе урззшвне (бц ые определено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
