Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 10
Текст из файла (страница 10)
д. мы имеем формулы, совершенно знало~ пчные формулам йз (7). 171 $ е диФФеРенциАльные уРАВнения Высших повядков 5! 17. Уравнение у'"! =у!х). Урззнение у! ! =7(х) (17) является непосредственным обобщением уравнения у' =Дх). Выясним сначала форму общего интеграла уравнения (17). Пусть у,(х) есть какое-либо решение уравнения (17), т. е. у!"> (х) =у(х). (18) Введем в уравнение (17) вместо у новую искомую функцио г по формуле У =Ут (А-)+ г. (19) Подставляя в уравнение (17), получим для г уравнение у<ю+ гш! = г'(х) или, в силу тождества (18), гип = О. Раз производная и-го порядка должна быть равна нулю, то сама функция г есть многочлен (и — 1)-й степени с произвольными постоянными коэффициентами г=С,+С,х+ ...
+С„х" ', и формула (19) дает обгций интеграл уравнения (17) у =у, (х) + С, + Сах+ ... + С„х' ', т. е. общий интеграл уравнения (17) есгпь сулгма какого-либо частного решения этого уравнения и лгногочлена (и — 1)-й степени с произвольными постоянными коэффициенталш. Нам остается, таким образом, найти какое-либо частное решение уравнения (17).
Считаем, что функция у(х) непрерывна в промежутке 7, содержащем некоторую точку х = х„, и будем искать то решение, которое удовлетворяет нулевым начальным условиям: у!х=х,=О у'1„.,=О, (20) Интегрируя уравнение (15) почленно от значения хь до переменного значения х, получим тя" '! — у!" и = ~ У(х) бх, 62 тл. 1 Озъ!кнОВенные диФФеРенциАльные уРАВнения 118 где уг" —" есть знзчение уск " при х=х,. В силу последнего, из условий (20) ус" — '>=О, и мы будем иметь у'" ' = ~ с (х) асх.
Интегрируя правую часть по х еше раз в пределах от х, до х, получим у'"" и т. д. и, наконец, после л-го интегрирования получим искомую функцию. Это повторное интегрирование обычно записываюг так; у = ~ 11х ~ асх... ~ ах ~ с (х) ах. (2! ) «О «О ко к ,1«- Н 1 + (х — ха)" ' („" „, + („„! 1 (х — 1)"-' Ус"! (1) д(, где у„у,'„у'„..., ус"-'> — знзчения у и его производных при х=х, и буква 1 обозначзет просто переменную интегрирования. В силу на- чальных условий (20) у„=у,',=у„"=...=усу-1 =0, а, в силу дифференциального уравнения (17), у'"'(1)=с (С), так что вышеуказанная формула Теилора дает у (х) = ~ (х — С)« ' у(1) асс.
(22) «п Итак, форлсула (22) дает реисенссе уравнения (17) лра нулевых начальных условиях (20) нли, что лсо же, дает выражен!се по- вторного инте.рава (21) в виде однократного интеграла. Прибавляя к решению (22) многочлен (п — 1)-й степени с произ- вольными коэффициентами, получим общий интеграл уравнения (17). Заметим, что в правов чзсти формулы (22) х входит как в верхнип предел интеграла, так и под знак интеграла. Интегрирование совер- шается по 1, и при этом х считаешься постоянным. Формула (22) спра- ведлива, очевидно, и при и = 1, если считать О! = 1. 16.
Понижение порядка дифференциального уравнения. Ука>кем несколько частных случаев, когда порядок уравнения может быть понижен. 3>пс л повторных квадратур можно заменить одной, как мы сеячзс покажем. Напишем для у(х) формулу Теилора с остаточным членом в виде интеграла [1„ 126!> у (х) = у, + (х — х,) — ", + (х — х,)' — ' +... + аз1 ая. диеееяенцнлльные хялвняння высших пояядков 53 1. Положим, чзо уравнение не содержит фущ,цпи у и ее нескольких последовательных производных у', у",...,угь ", т. е. имеет зид г1 (х,у'ь~,у~ "п,...,у'ю)=-б.
Вводя новую функцию а=у'ь', понизим порядок уравнения на и единиц: Ф (х, з, з',..., г'" "') = О. Если наядем общин интеграл этого последнего уравнения с=у(х, Сь Ся,...,С„а), то у определится из уравнения: у' '=у(х, Си Сь „., С„а), рассмотренного нами в )17). 2. Если уравнение не содержит незавнсимоя перечепноп х, т. е. имеет вид Ф(у, у', у", ..., у'и')=О, то примем у за независимую переменную и введем новую функцию р=у. Считая, что р есть функция от у и через посредство у зависит от х, и применяя правило лпфференпирования сложных функций, получим для производных от у по х выражения я'х ду у'"=Дфр) =Д(фр)р=,'—,'.р'+(ф)'р, откуда видно, что в новых переменных порядок уравнения будет (и — 1).
Если это преобразованное уравнение проинтегрировано р=о(у, Си Сь ..., С„,), то нахождение общего интеграла дзнного уравнения приводится к квадратуре Ыу=рЫх=о(у, Сь С, ..., С„,)Ых, откуда =х С. лу „„(г, фф..., С„,) + С"' Одна из произвольных постоянных С„входит в качестве слагаемого к х, а это равносильно тому, что всякую интегральную кривую можно перечепгать параллельно оси ОХ.
3. Если левая часть уравнения у у ° ° ° у )=0 б4 гл. л овыкноввннып диоовпвншллльныв упявнгния ив есть однородная функция (1, 1б4) аргументов у, у', ..., у'"', то, вводя вместо у новую функцию и(х) по формуле у=ел получнм для и уравнение (и — 1)-го порядка. Это следует нз следуюших очевидных формул: у'= ел~~ ~" и, у" = ел~ «» (и'+ и'), . „ отделяя перелленныс и интегрируя, пол)чилл х И х+ Сл= ~ ; ргу (г1-(-С (25) Если ил1сются начальные условия л ха=ул у'1х хл =уа то, подставляя а (24) н (2б) х =л„> = у, н у' =у), получим С, =у„', С,=— н нскомое решение будет ггу *-*=1 / у г 1гу '1 2У(у)лу+у'" )л Положнм, что точка движется по оси ОХ под дсйствнем силы г(х), ааансяп.ги только от положения тачка.
Двффсрепцнальное уравнсннс движения будсг ((б) лрх лл —. = Р'(х). лтал н нз того, что после подстановки в левую часть уравнения вынесется некоторая степень написанной показательной функции (в силу условия однородности), н на этот лпюжитель можно разделить обе части уравнения. Адднтнвная постоянная в интеграле, стояшеы в показателе степени у е, будет произвольным множителем в у.
П р н м е р ы. 1. Уравнение вида у" =у(у) (23) огногится к случаю 2. Его можно проинтегрировать н непосредственно, Умно;юга обе его части на 2у' Е.с =2гту: 2у'у" лтх = 2У(у)лу. Слева стоит, очевидно, дифференциал от у' и, интегрируя, получки у У' = ) 2У(У) лУ+ С, =Ул (У) + С„откУда = = )г У, ~) + С„(24) ул х (г=о = ар ртл Умножая обе части уравнения на — '- рте и ингегрируя, пол>чим рте к х 1 ггтхта 1 р à — и( — ) — — гло„'-= 1 х(х)сгх пзп — пР ~ — ) — ~ х(х)Ртх =т-шоу, (26) кр 1 тртхта Первое слагаемое в левой части — гл ~ †) представляет собой кинетиче- 2 (ртт ) скую энергию, а второе слагаемое [ — ) с'(х) агх] — потенциальную энергтпо хр движущейса точки, н из (26) следует, что сумма кинетической и потенциальной знерыри остается постоянной во все время движения.
Решзя равенство (2Ь) относительно рте и интегрвруя, пол)чнм зависимость между Г и .г. 2. Рассрютрии задач): найти кривую у =у (х), кривизна которой есть заданная функция абсциссы — = т (х). 1 у( (27) Это есть дифференциальное уравнение второго порядка (1+у )" Вводя р=у', получии уравнение первого порлдка с отделяющимися пере- менными ртр (1 + РР)"" =ч(х) ртх и, интегрируя, будем иметь х У)+ у" ° = ~у(т) и+Со «р откуда ~ ч(с) рта+ с, кр у (28) лрх 1 — ~,) ч(т) ЛГ+С,~' хр и окончательно у=) Ф(г)акт+с,.
3, Рассморрим уравнение х-'уу = (у — ху')", тз1 а т. диевновнцилльныв вравнвния высших порядков 55 П)сгь л., и о, — начальная абсцисса и начальная скорость точки нри т = Ш 66 Гл. 1. ОБыкнОВенные диФФеРенциАльные УРАВнениЯ 119 обе части которого однородные функции у, у', у". Вводя подстановку у =е[ получим хл (и' + а') = (1 — хи)-', откуда длл и получаем линейное уравнение 2 1 и'+:- и — — =О, х х' шиггрирозаиие которого дает и=х '(С,+.к)=Сх х+х '. Подставляем в выражение у через и: — С,х- +1Л х+С или у С,„с-, причем ( — С,) мы заменили иа С, и положили е =С,. с 19.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Система и уравнений первого порядка с и неизвестныии функциямн в разрешенном относигельно производных виде будет: †. =1~(х Уг УФ ° ° У ) х" Г1 ЛУ1 =а=уз(х, уь уь ..., У„), (29) пух у,(х У1 Уз У) Решением спсгиемы (29) называется совокупность и функций у,=(11(х) (1=1, 2, ..., и) таких, что при подстановке их в уравнения системы (29) эти уравнения обращаются в тождества относительно х. Предполагается, естественно, что функции 91(х) непрерывны и имеют непрерывные производные.
Как и в случае одного уравнения и-го порядка, имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме А из [2[. г(ачалаяые условия имеют вид 'Ф 'н У1[х=хо=у1 У1[х х. =Уз Ух[х х =Ух (90) и вместо значений аргументов (хм УФ УФ ..., у„" †'1) надо говорить о значениях аргументов (хл, у,'"', у,'"', ..., у,',и). Далее мы остановимся на общих понятиях, касающихся системы (29). Выше мы это делали для одного уравнения, и здесь мы не будем касаться подробностей.
Поскольку мы можем менять в условиях (30) значения у';"', решение, получаемое согласно теореме Л, содержит и произвольных постоянных. Произвольные постоянные могут ГЗ1 4 Я ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ЦОРЯДКО лРвходить в решения не как начзльные данные у;"', но и в общей форме у =(ч(х, сь с„..., с„).
(31) Придавая постоянным Св СФ ..., С„определенные численные значення, буяем получать частные решения снстемы (29). "!тобы выделить нз семейства айлега интеграла (31) рец:енне, удовлетворяющее начальным условиям (30), надо определять СР Сь .. „ С„ нз уравнен| й у' =Фг(ха, Сь Сь " С«) (1=1, 2, ..., и) (32) и подставить найденные значення в формулы (31). Если пронзвольные постоянные Сг суть у~"', и удовлетворены условия теоремы А, то можно показать, что уравпення (31) разрешимы относительно С,, так что обшнй интеграл может быть ззпнсан в виде Ф;(х, Уь УФ ..., У„)=Са (1=1, 2...,, и). (33) Для уравнении первого порядка мы имели одно такое равенство 19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
