Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 12
Текст из файла (страница 12)
функциа 0 называетсв новенциолож сиЛ а ( — (7) — потенциальной энергией точки Х= —, У= —, Х= —. д() д(7 ди дх' ду' дг (60) Уасножая уравнения дэх д0 в —.г сй дх' дег д(7 т — =— дгэ дг деу д(7 т— дгэ ду ' пег в ~у — — г дте срх тя (г — — х деэ оп в (х — — у дег деут —,)~ =уг — гУ„ дг' ) дегт — ) =гХ вЂ” х2, дг" ) очх т — )=хУ вЂ” уХ, дг )— В рассматриваемом случае Т вЂ” однородный многочлен 4' и ~~) 4,—,=2Т, дТ (59) 5=! об однаролных функциях (1, 154).
Отсюда в силу теоремы Эйлера (.) ~ дТ ! 'ьт , дТ йТ йТ йТ дд',,) Л'.. ' дйт й! д! й! ° в=! н формула (58) дает !Т аи й! й(' откуда получается интеграл системы (57) (интеграл сохранения энергии) Т вЂ” и=с. (60) 4. Наличие интеграла дифференциальных уравнений движения системы позволяет в некоторых случаях решить вопрос об устойчивости колебаний системы около положения равновесия. формулируем вопрос математичеснн, ограничиваясь для краткости рассуждений случаем трех неизвестных функ- ций х, у, г, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений !) йх ду дг — =Х, --=У, — =Е, й! ' и)! ' й! где Х, У, Я вЂ” известные функции от х, у, г и г, обращающиеся в нуль при х=у=г=О.
(62) Система (61) имеет при атом очевидное решение (62), которому соответствует положение равновесия. Это положение равновесия (нлн просто решение (62)) называется устойчивым, если прн любом заданном з ) О существует такое т)) О, что для всякого решения системы (61), удовлетворяющего начальным условиям «~!=а=хе У|!=о=Уз. г(!=а=ге, будет при всех ! )О 1х~, 1у! и !г)(в, если только !хе~, ~у.! и 1ге1~). Положим, что система (61) имеет интеграл !р(х, у, г) С, (63) (64) (65) г] В случае движения одной материальной точки имеется шесть неизвестных функций. тв) 4 х.
диоввпиннидльныи иравнвния высших порядков 63 Примем во внимание очевидное равенство 64 гл. ц овыкновиннык диоевркнцилльнык иилвнкния )г1 ие содержащий ! и такой, что функция <р(х, у, г) имеет при г=у г=О максимум или лшяимрм. Докажем, что при этом положение равновесия будет устойчивым. Изменяя, если надо, знак у ф, мы можем считать, что ф имеет минимум; прибавляя к ф постоянную, можем считать, что этот в~инимум равен нулю. Итак, функция ф обращается в нуль в точке г=у г=О и положительна во всех точках (г, у, г), близких к (О, О, 0), но отличных от нее..
Построим около начала координат куб бе с центром в начале и длиной сторон 2е. На поверхности этого куба непрерывная функция ф положительна н, следовательно, достигает своего наименьшего положительного значения т, так что на всей этой поверхности фиат>0. Построим теперь около начала координат концентрический куб 6я с длиной сторон 2г) так, чтобы внутри этого куба имело место неравенство (67) что возможно, ибо ф(0, О, 0)=0. Положим, что в начальный момент точка (г, у, г) находится внутри куба 6„, т. е.
выполнено условие (64). Неравен. ство (67) будет выполняться не только в начальный момент, но и во все время движения. Действительно, ф, в силу (65), сохраняет постоянное значение С при движении. Но раз это так, то во все время движения точка (г, у, г) не сможет пройти через поверхность куба 6, ибо на этой поверхности должно иметь место неравенство (66), которое. противоречит (67); итак, условие (63) выполняется при всех Г) О, что и требовалось доказать, функции х, у, г могут иметь любое геометрическое или механическое значение, и лишь для наглядности доказательства мы рассматривали их кзк координаты точки. Положим, например, что а уравнениях (57) Т и У не содержат времени Г, так что имеет место интеграл (60). Пусть при значениях аз=О выполнены необходимые условия экстремума У: дУ дУ дУ Уравнения (57) имеют при этом очевидное решение: о,=я,=о ( =), 2, ..., д), (66) которому соответствует положение равновесия системы.
Если, кроме того, окажется, что прн значениях о =0 потенциальная энергия ( — У) имеет минимум, то можно утверждать, что разность (Т вЂ” У) при значениях (68) также имеет иннимум, нбо при этом Т, которое не может быть отрицательным, обратится в нуль, т. е, тоже имеет минимум. Таким образом, мы видим, что в случае минимума потенциальной энергии соответствующее положение равновесия будет устойчивым в отношении величин д и д' (теорема Лагранжа — Дирихле).
21. Системы уравнений и уравнения высших порядков. Выясним связь между системой дифференциальных уравнений первого порядка и одним урзвиеиием высшего порядка. Если мы имеем, например, одно дифференцизльиое уравнение третьего порядка У =ХМУРУ У) еи а х дивввгиициальныв твлвиииия высших повядкои 65 то, полагая у=уь у'=уь у'=уз, мы можеч заменить это уравнение третьего порядка системой трех уравнений первого порядка =Уь д =Уз д — =1(»ь Уь Уь Уз) Нетрудно видеть, что уравнение третьего порядка и последняя система равносильны в следующем смысле: если у(х) — решение уравнения третьего порядка, то у,(х) =у (х), у,(х) =у'(х) и ув(х) = =у"(х) есть решение системы, а если у,(х), у,(х), у,(х) есть решение системы, то у(х)=у,(х) есть решение уравнения третьего порядка.
Мы производили уже подобную замену в [16). Совершенно так же, имея, например, систему двух уравнений второго порядка у"=гз(х, у, у',, ), «"=гэ(», у у' л. л') где у и в — искомые функции от х, мы можем заменить ее системою четырех урзвнений первого порядка, вводя четыре искомые функции у=уь у'=уь а=ум г'=уз. Прея<вяз система перепишется в виде уз =уь уз =Гз (»ю уь уь уз уз)~ Ув=уь Уз=А~(» Уь Уь Уь Уз).
Покажем, что, наоборот, интегрирование системы, можно, вообще говоря (не всегда), ваменить интегрированием одного уравнения высшего порядка. Рассмотрим, для примера, систему трех уравнений первого порядка, решенную относительно производных У'=Гз(х, У, Уь Уз), «;=Гэ(», У, Уь Ув), (69) Ув=гв(» Уь Уь Ув). Положим, что первое из уравнений содержит уь Решая относительно него, получим уз — мз(» уь уь уз) (70) Подставляя в остальные два уравнения системы, будем иметь уравнении вила дьз дьз , дь, , дьз д з ~ ду, ~' ~ ду, гв + оу',~' тэ~ ' Уь Уь У')' ув = 'тз (х уь у~ узЛ Подставляя в первое уравнение выражение у,' из второго и решая первое уравнение относительно у,', получим систему двух уравнений с двумя искомыми функпиями у, и у, вида уз =аз(х, уз, у„у,), у,=ф(х уь уз уэ). (71) Положим, что первое из уравнений содержит уь Решая относительно него ув = мэ(» уь уь уз) (72) 66 гл.
к овыкноввнныи диэевввнцилльныв видвнвння 1яя и подставляя во второе из уравнений (71), получим уравнение треть- его порядка относительно уь которое можем написать в виде (78) У~ =г'(х Уь Ую У1) Положим, что мы сумелн проинтегрировать это уравнение У,— Ф(х, Сь Сэ Са). Подставляя в уравнение (72), получим у„ и подставляя затем в (70), получим у, уже без всяких интегрирований. Если первое из уравнений (71) не содержит у„ то мы имеем уже одно уравнение второго порядка для ув Его общий интеграл будет содержать две произвольные постоянные. Подставляя этот общий интеграл во второе из уравнений (71), получим уравнение первого порядка для Ум Его интегрирование введет третью произвольную постоянную.
Наконец, формула (70) определит у, уже без всяких интегрирований. 22. Линейные уравнения с частными производными. До сих пор мы рассмзтривали дифференциальные уравнения, содержащие производные от функций по одной независимой переменной. Такие уравнения, как мы уже упоминали, называются обыкновенными дифференциальными урзвнениями. Теперь мы рассмотрим некоторый класс уравнений с частными производными, поскольку эти уравнения непосредственно связзны с теорией систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вернемся к рзссмотрению системы дифференциальных уравнений (38) (74) Равенство у(хь х„. „, х„„) = С или — с(х,+ — дхя+...
+ — Ихл ы — — О. дт дч дт дх, дх, дхь ы "+ (76) вли функция в(хь хм ..., х„,), не сводящаяся тождественно к постоянной, называется интегралом система (74), если при подстановке в нее какого-либо решения системы, которое имеется согласно теореме существования и единственности, получается постоянная. Пусть, например, х, — независимая переменная, а хя,х„ ..., х„+г— функции от хь являющиеся решением системы (74). Подставляя эти функции в выражение р(хэ х„„., х„,), мы должны получить постоянную, т. е. в результате подстановки независимая переменная хг должна исчезнуть н, следовательно, полнзя производная по х, должна равняться нулю [1, 69) — + — — + — —.+...+ — — =0, дт дт дх, дт дх, дт дх„, дх, дх,дх, дх,дх, '" дх„ы дх, Ю1 Э г. диээиивнЦилльныв квлвниннЯ ВЫСШИХ ПопяДков 67 Но раз мы подставляли решение системы (74), то дифференциалы бх, должны быть пропорциональны величинам Х, и, ззменяя в формуле (75) бх, пропорционзльными величинами Х„получим для у следующее уравнение: Х1 — '+Х,— — +...+Х„„! —.— — 0 дэ дя дч (76) дл, дх, ''' "" длпы фУнкциЯ ~(хь хь „., х„,) должна УдовлетвоРЯть этому УРавнению независимо от того, какое именно решение системы (74) мы подставляли в эту функцию.
Но в силу произвольности начзльных условий в теореме сучцестзования и единственности, значения пере. менных хь х„ ..., хвы могут быть какие угодно, если мы берем все РешениЯ системы (74), т. е. фУнкциЯ <1(хь хь ..., х„„,) должна удовлетворять уравнению (76) тождественно относительно (хь хь ..., х„,). Мы получаем таким образом следующую теорему. ТеоРем а 1. Если о(хох„..., х„,)=Сесть интегРал системы (74), то функция <р(хь х„..., х„,,) должна удовлетворять уравнению с частныма лроггзводными (76).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
