Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Напомним, что р(х) считается прерывной на ! функпией. Лва решения у, и у, уравнения (1), отличные от нулевого, называютея линейно независимыми, если не существует тождественного отйбсительно х на пРомежУтке 7 соотношениЯ «,уг + «гуэ = О (6) с аастоянными коэффициентами «, н «„ отличными от нуля. Если тгй1ра соотноюение имеется, то решения у, и уа нззываются линейно зайрсимыми. Отметим, что если один из коэффнциентов, например «ь раваагиулю и «,~ О, то из (3) следует уз=О, а это противоречит тому; что оба решения отличны от нулевого.
Отсюда следует естесэвевьпость требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Лииййная зависимость решений уг и ув выражаемая тождеством (6), равфгсильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем У,=Суь где постоянная С отличив от нуля. Продифференцируем это соотношение: у,'= Су,'; из звук "Соотношений у, (х) = Су, (х), у,' (х) = Су,' (х) НЕПОСРЕДСТВЕННО СЛЕДУЕТ, Чта ОПРЕдвзитЕЛЬ ВРОНСКОга Ь(Уо Уа) дВУХ лилшзпо зависимых решений тождественно равен нулю. ПоложимГдвнеРь наобоРот, что опРеделитель ВРонского а(УьУ,) — тождественйо рзвен нулю, и покажем, что при этом решения у,(х) и уа(х)— жгиебчйо зависимы.
Фиксируем такое значение х=х„при котором Уг(хат"г-- О, и напишел~ два уравнения, содержащие постоянную С, абожшчая через уиь у, у,'„у'ь значения уь уь и их производнык ири .х= хр Ум=Суп Уаь=СУ1а живого уравнения С=У вЂ "' и, подставляя это во второе уравнеУы иие убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что ь(уо уд ио нУто тождественно, и в частности пРи х=хм Таким образом, Р Шеиив У(х)=уз(х) — Суг(х) уравнения (1) удовлетворяет начальЙц„ иие, б' урновиям (3) при уь= О и Уь= О, т.
е. У(х) есть нулевое решеда и следует, что у,(х) — Су,(х) = О или у,(х) = Су,(х). 78 гл. и. линейные диФФагенпнхльныа иалвнения Рз Мы приходим, таким образом, к следующему ааключени(о:равенство нулю оиредел«<неля Вронского Ь(уь уч) является необходил<ил< и достаточным условиел< линейной зависимости решений у, и у„ <и. е.
два решения у( и уа Уравнения (1) линейно независимы тогда и тольл.о тогда, когда их определитель Вронслого отличен осн нуля. Отметим еще следу)ощую очевидную формулу лля производной от частного двух решений: — ) в<ли< <Г ~,1 а(У„У.) й е (7) вх У<) У< У< я а, < е Она, очевидно, теряет смысл в тех точках, где у, обращается в нуш. Покажем теперь, что если у, и уа — линейно независимых решения уравнения (1), то при нздлежащем выборе постоянных С< и С) формула (2) дает нам решение уравнения (1), удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям У1 = =УФ (8) Опать чеРеа Ум, У,ь, У,'„У,'ь обозначим значенвЯ Уи У, и их пеР- вых производных прн х=хы Чтобы удовлетворить начальным условиям (8), надо определить С, и С, в формуле (2) из системы уравнений С<у(ь+ С<У<о = Уь С<У(ь+ Сь)'гь = У< Из линейной независимости У, и У, вытекает, что йь =УвУяь Умун Ф 9 и следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения С, и Ся, что доказывает нзше утверждение.
Но в силу теоремы существования и единственности 121 всякое решение уравнения (1) вполне определяется своими начальнычп условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если у, я у, — два линейно независил<ых реп<ения уравнения (1), то формула (2) дает все решения атого уравнения. Таким образом, задача интегрирования (1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть У,— одно из решений этого 'уравнения и у,— кзкое-либо его решение. Интегрируя соотношение (7), получим к к У< ) р(к)вк вх — ) р(к)вк — '=Ьь С( е кь —, нли У,=мяу< ~ е к< — „, (9) вх У< к У< т.
е. если известно одно частное решение уравнения (1), то второе его решение может быть получено по формуле (9), где Ьа — постоянная, которую можно положить и равной единипе. я) з ь о ь овшля таоэия н тэлвнення с постоянными коэоэнцнентлмн 79 Надо сквзатгь что найти это одно решение в конечном виде илн ири помощи квадратур в общем случае, когда р(х) и у(х)— „ин от Х, оказывается невозможным. Лля некоторых частных ~~ц и, между прочим, в том случае, когда р(х) и о(х) суть постоянн ванные, а не функции от х,— решения, как мы увидим, полуяаижся в конечном виде.
В дальнеишем мы укзжем также один способ построения реше„н, часто применяемый в приложениях, а именно построение решения в виде бесконечного рида. 20. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.Линег1- ым неоднородным уравнением второго лорядка называется уразвида п" +р(х) и'+ д(х) и =7(х). (10) Если р(х), о(х) и г (х) непрерывны а некотором промежутке л(х(Ь, то мы имеем, как будет дальше доказано, совершенно такую же теорему сушествовапия и единственности, что и для однородного уравнения (1). В дальнейшем мы будем рассматривать решения уравнения (10) в промеагутке непрерывности р(х), т(х) и у(х).
Пусть и = и, есть частное решение этого уравнения, так что и,'+ р(х) и, '+ о(х) и, =г (х). (11) Введем вместо и новую функцию у: и=у+ иь (12) Подстановка в уравнение (1О) дает (у" + р (х) у', + у (х) у] + ]гг, '+ р (х) и, '+ а (х) ит] =У(х) или, в силу (11), у" + р (х) у'+ т (х) у = О. (1 3) Это последнее уравнение называется однородным уравнением, соотввтствУющим УРавнению (10). Если У и Уа — его два линейно независимых решения, то, согласно формуле (12) и преаложешпю предыдушего номера, формула и = С,у, + С,у, + иь тдв Са и Са — произвольные постоянные, будет давать все решения У(жващнии (10). Свойство это можно формулировать так: обигее рвгислпнваного неоднородного уравнения второго порядка равно сулгмв и ивин у"гнв общего решения соответствующего однородного уравнения иипого-либо частного решения неоднородного уравнения.
~Равелинное выше докззательство годится, очевидно, и для линей- неоднородных уравнения любого порядкз, так что и для них "иее™есто высказанное саоистзо. 60 гл. и, линвнныз диввзовнпияльиыз твлвняния !ят Вная два линейно независимых решения однородного урзвнения (13), можно, как мы сейчас увидим, нанти и частное решение уравнения (10), а следовательно, и его обшее решение. Мы применим при атом способ, который называется слособозс излсененсся проазвольных лоссноянных Лагранжа [6]. Пусть у, и уя — два линейно независимых решения уравнения (!3). Вго обшее решение выражается, как известно, по формуле (2).
Булеч искать решение уравнения (10) в том же виде, считая только Сс и Сс пе постоянными, а искомыми функциями от х: и = е, (х) у, + о, (х) уь (! !) Имея не одну, а две искомые функции е,(х) и ея(х), мы можсч подчинить их, кроме уравнения (10), енсе одному условию. Поставим слезуюсссее условие: е,'(х)у, +е.,'(х)у,=0.
(!6) 1ссфференпируя выражение (!4) и пользуясь условием (16), будеч иметь сс = ес (х) ус+ ес (х) ус а' — т, (х) у,'+ е,(х) у„ и" =е,(х)у,'+е,(х)у,'+е,'(х)у, +т,(х) уя Подставив в левую часть уравнения (1О), получим ес(х)~ус'+р(х)ус+ст(х)ус!+е,(х)[у., +р(х)уя+ст(х)ус[+ +е,'(х)у,'+е,'(х)у.,'=с (х). Принимая во внимание, что у, и у, суть решения однородссо~о уравнения (13), и вспоминая условие (15), будем иметь алгебраическую систему уравнений нервов степени е,'(х)у,+е,'(х)у;=О, о,'(х)ус'+еа(х)уз=с(х) (!6) для определения о,'(х) и е,'(х).
Ввиду линейной независимости решений у, и у;. Д(уь у,)=у,у,— у,у,'~0, а потому система (!6) дает вполне определенные выражения для е,'(х) и е,(х). Выполняя квадратуры, найдем е,(х) и е,(х), и подставляя в (14), получим решение уравнения (1О). 22. Линейные уравнения высших порядков. Линейные уравнения высших порядков обладают многими свойствами уравнения спорого порядка.
Мы нх формулируем, ие останавливаясь на доказательствах. З з овшАЯ теОРиЯ и РРАвиения с постоянными коэааицнентАми 81 ,йинейнылс однороднылс ураенениелс и-го порлдна называется уравнение вида +" +р»(х)У=О. (17) Ясли уь ум" ° у„— его решения, то и сумма С,у, + С,уа+...
+ С,у„ также будет решением при проиавольных постоянных СР С„..., С„. ято доказывается совершенно так же, как и для уравнения второго порядка !лб! Теорема сушествовапия н единственности формулируется так же, кзк н для уравнения второго порядка, причем начальные условия имеют вид с»-с] ~ к»-н У!к-ко=у» У'!к «,=У», ", У 1к ко=У„ решения уь у,,..., Уд начываются линейно незаеит.ссы.игс, если между ними не сушествует тождественного относительно х соотношения ас 1'с+асУч+ ° ° ° + а»Уз=О с постоянными коэффициентами аь а„,,..., аы среди которых есть отличные от нуля.
Ясли уь уэ..., у„— п линейно независимых решений уравнения, то формула у =су, + Су,+...+ С„у„, (18) где Сс — произвольные постоянные, дает все решения этого уравнеииа. РасполагаЯ постоЯнными Сь можно полУчить Решение, УдовлетворжоШее указанным выше начальным условиям. Линейное неоднородное дифференцссальное уравнение и-го парадна имеет вид 1»1+ ( ) С»-сч ! р (Х)ич» ~1+...+р»(Х)и у(Х)' Если и,— какое-либо решение этого уравнения и ус,ус, ...,у„— ~~пейна независимые решения соответствучошего однородного уравнения (17), то формула С,,+С,,+ ...+Су.+ где С нив (10), Сс — произвольные постоянные, дает обшее решение уравнеПрн этом, если Уи У„..., У„известны, то РЕшЕние УРавненна (19) ожет быть ~~~у~~~~ по фортуле и=о,(х)у, +оч(х)уч+...+о„(х)у„, 82 гл. п. лннинныи днооиэинцндльнык хэлвнвния )Ж где о)(х) определяется нз системы уравнений первой степени о,'(х)у!+т,'(х)у,+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
