Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Здесь каждое нз равенств (33) называется первым интегралам, нлн, просто, ггитегралш1г системы (29). Прн решении системы мы, естественно, находим не сразу и Интегралов системы, но нахождение кзждого отдельного интеграла облегчает нам, как мы увидим, дальнейшее интегрирование системы. укажем определеняе отдельного интеграла системы. Соотношение (34) Ф(х, Уь УФ ..., У„)=С называется интегралом система (29), если функция р(х, уь у«...,, у„) отлична от постоянной и прн подстановке в нее любого решения у,=ф;(х) (1=1, 2, ..., и) системы (29) она обращается в постоянную. Говоря о «любом» решении системы (29), мы подразумеваем все решения, которые получаются согласно теореме А в кзкой-лнбо областн нзменення начальных данных.
Зна анне этой постоянной раз. лично прп различном выборе начальных данных (пронзвольная постояннагт 11оложнм, что мы имеем несколько интегралов системы (29) р;(х, уь у....., у„)=С; (1=1, 2, ..., й), (35) где и — число интегралов. Любая вз функций р; обращается в постоянную прн подстановке вместо уь у« ..., у„любого решения снстемы (29). Если мы возьмем произвольную функцню а (<рь ря, ..., ра) от левых частей равенств (Зо), то и эта функция обратится в постоянлую прн подстановке вместо уь уь ..., у„любого решения снстемы, т.
е. мы имеем интеграл системы (36) Р(ФВ Р„..., Р„)=С. б8 гл. ь овыкновиниыв диээвэвнциальиые хвлвняния рз Инзче говоря, любая функция левых частей интегралов системы есть также интеграл системы. Интеграл (36) есть очевидное следствие интегралов (35). Предыдущее рассуждение требует некоторых оговорок, а именно надо оговорить, что левые части всех равенств (35) обращаются в постоянную при подстановке в них решений уг=уа;(х) (! = 1, 2, ..., п), получаемых, согласно теореме А, из некоторой одной и той же области изменения начальных данных. При подсчете числа произвольных постоянных в решении (31) существенно, чтобы невозможно было свести их число к меньшему.
Например, в формулах у,=(С,+ С,)х+ Сэ У,=С,х', у,=х'+С,х+ Сг+Ся три произвольные постоянные можно свести к двум, полагая С, + С, = С. Критерий того, что этого сделать нельзя и что формулы (31) дают общий интеграл системы (29), заключается в том, что соответствующим подбором произвольных постоянных мы можем удовлетворить любым начальным данным из некоторой области их изменения, т. е.
что система (32) разрешима относительно Сэ Са, ..., С„ для некоторой области изменения величин (хм у',", у,"', ..., у„"'). Мы считаем, естественно, при этом, что правые части системы (29) удовлетворяют условиям теоремы А. Мы можем переписать систему (29) в виде пропорционального ряда аГуа 1 Уа(х, у„у„..., у„) Уа Ув (3.у) аг уа(х у,у, ",уа) '' ' у,(х, уа,уа, ",уа)' Умножая все знаменатели на один и тот же множитель, мы получим и в первом отношении знаменатель не единицу, а некоторую функцию от (х, уц уэ ..„у„), и обозначая для симметрии перйменные буквал~и хь х„..., х„„, перепишем систему (29) в виде: вха а~х, аГх„сх„.„, (38) где Х, (1 = 1, 2,..., л+1) — заданные функции переменных хь хэ..., х„н Запись системы (29) в виде (38) удобна в силу своей симметрии.
При этом не фиксировано, какая именно из переменных х; считается независимой переменной. Предположим, что в некоторой области изменения переменных х, все функции Х, (1=1, 2, ..., и+ 1) непрерывны и имеют непрерывные производные по всем независимым переменным. Положим, кроме того, что в некоторой точке Л(а (х',", х,',", ..., х'„"+а) из втой области функция Х„+, отлична от нуля. При этом, в силу непрерывности, она будет отличной от нуля и в окрестности этой точки, и для системы уравнений — — (1=1, 2,,„, п) Пхаы Ха+а та1 $ 3. ЕНФФеренниАльнгяе уРАВнения высших понядков 59 будет применима в окрестности Ла теорема А.
Особыми будут лишь те точки, в которых все Х;(1=1, 2, ..., л+1) обрзщаются в нуль. Мы использовали выше при любом целом положительном (п+1) геометрические термины «точка», «окрестность точки», «областые При л = 1 и и= 2 это геометрически наглядно. В общем случае эти понятия аналитически определяются аналогично тому, кзк это делается, например в трехмерном пространстве, при поиощи прямолинейных прямоугольных координат. Мы вернемся к этому в дальнейшем.
Интеграл системы (38) имеет вид р(хн х„..„х„,)= С Положим, что мы имеем и интегралов рг(хт, хт, ..., хяы)= Ст (с=1, 2, ..., л). (ЗЗ,) Они нааываются незааисилгыми, если эти равенства разрешимы относительно каких-либо л из переменных хт(1=1, 2...„л+1). Это решение дает нам п функций одной независимой переменной и п произвольных постоянных, т. е. формулы, аналогичные формулам (31), а в виде (33,) эти формулы разрешены относительно произвольных постоянных, т.
е. п независимых интегралов системы (38) дают общий интеграл системы. Все это относится, как всегда, к некоторой области изменения переменных. Можно показать, что независимость интегралов (33,) равносильна тому, что между левыми частями этих интегралов не существует никакого соотношения вида тождественного относительно хн Предполагается, естественно, что все интегралы (33,) определены в одной и той же области изменения переменных. В предыдущем кы нс дали никакого признака, по которому можно было бы судить, что интегралы (39,) суть независимые интегралы.
Рассмотрим скучай л=2: Ч~(хо х«, хв) Сн Ча(хт, х«, ха) Са (39) Вспоминая тсорсл|у о неявных функциях (1, 159), можем утверждать, что дзя разрешимости уравнений (39) относительно х, и х, достаточно, чтобы выражение (е ч«) = — — — —— дч, дт«дч, дт, дх, дх, дха дха было отзнчно от нуля. Аналогичный резузьтат будет иметь место относительно переменных х„ х, н хн х,. Предполагая Ч, и Ча непрерывными с нх производными первого порядка, можно доказать, что йсобходнмое и достаточное условие независимости интегралов (39) сводится к тому, чтобы но крайней мере одно из выражений дка ка (рв Ча)» акз кт (рн та)в акт кз (тн та) было не равно тождественво нулю. В третьем томе мы вернемся к вопросу о неззвисимости систем функций с любым числом переменных.
Э). Примеры. 1. Расснотрим систему пх Фу Пг хг уг — (х'+у") (4О) Сокращая уравнение дх с(у хг уг 1 на —, получим уравнение с отделенными переменными и, интегрируя, будем иметь 1д х = 1я у — С, т. е. 1и У вЂ” = С, что равносильно — =Си у х (41) Излишен второе уравнение системы Фх дг хг — (х'+ у') и, пользуясь уже найденным интегралом, заменим в нем уяыС,х. Сокращая 1 на —, получим х — +,, т. е. (1+С1)хйх+гдг=й.
! Интегрируя, имеем (1 + С,') х' + г' = С или, заменяя С, = †, получим второй интеграл системы у х'+у'+ г'= С,. (42) Итак, мы имеем два интеграла системы ="=Сн '+у +"=С,. х (43) 2, Система дифференциальных уравнений движения материальной точки массы в под влиянием заданной силы имеет зид Ф'х г(гу г(гг в — =К, в — =У, в — =К, бтг ' с(гг ' банг (44) где К, У, Я в проекции силы на координатные осн, зависят от времени, положения точки и ее скорости, т.
е. от перемениыз й х, у, г, л", у', г'. Вводя новые неизвестные функции — производные х', у', г' от х, у н г по г, приведем систему (44) к системе шести уравнений первого порядка дх , ду пг , дл. 4)г их Й ' й — =х', — =У', — =г', в — =К, в П- = У, в — =Л, (46) 60 гл. ь овыкновинныи дне ввпинцндльныв мндвнвння (ш в! $2.
ЛНФФВРВИИНАльные уРАВнения Высших ИОРядкОВ 61 Общее решение этой системы содержит шесть произвольных постоянных, длн определения которых должны быть заданы положение точки и ее скорость в начальный момент времени. Из равенств (44) вытекают следующие три равенства: которые, как нетрудно видеть, можно переписать так: ( дг с~у') сй т гй сй ! — в (у — — ') =уг —.У, д / дх — в ~г — — х — ) =гХ вЂ” хХ, сй '1 й дс) д ( ду дхт т (х —.— — у — ) = хУ вЂ” уХ. сй (, де дс) (47) Подожим, что сина центральна, т. е.
что ее направление всегда проходит через некоторую неподвижную точку, называемую центром, которую мы принимаем за начало координат. Так как проекции вектора пропорциональны его направляющим косинусам, и в данном случае направление вектора проходит через начало координат и точку (х, у, г), то будем иметь Х )' Х х у г правые части равенства (47) обратятся в нуль, и мы получим три интеграла системы (46) сй ду т Г дх дгт / ду дхт в ~у — — г — ) = С, т (г — — х — ) = С т ~х — — у — ) = С .
(48) сй гй) " (сй сй) " т сй сй) Они выражают, как известно из механики, постоянство секториальной скорости проекций движущейся точки на координатные плоскости. Из равенств (48) вытекает С,х+ С,у+ С,г = 9, (49) откуда видно, что траектория будет плоской кривой. Плоскость траектории определвется, очевидно, центром сил и векторам скорости в начальный момент времени. Рассмотрим еще случай, когда Х, У, Х вЂ” частные производные некоторой функции (7, зависящей от х, у, г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
