Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 119
Текст из файла (страница 119)
е. и Га!пйягяг=О н а1пдмгяпллгй'=О, при шо-'л, н козффнцненты в последних разложениях определяются по обычному правилу! д д 645 $ тл. уРАВнение теплопРОВОдности юа) Аналогичные формулы получаются и ллл коэффициентов Ьл. Отметим, Чта дпя урааисаня (47) При в=О, ЛГЫ ПОЛуЧЛЕМ РЕШЕНИЕ О =СОПЭГ, НО Эта решение не удовлетворяет предельному условию (51), ибо по условию л ) О.
Уравнение (46) мы можем толковать как уравнение ллл потенциала скорости а при колебании газа. Прн этом црелелькое условие (50) выражает тот факт, что скорость газовых часющ, находящихся иа поверхности сферы, имеет составляющую, направленную по нормали к сфере, равную нулю. Предельное условие (51) для уравнения теплопроволиостп (47) выражает тот факт, что поверхность сферы лучеиспускает в окружающее пространство, температура которого принимается равной нулю.
219. Теорема единственности. Перейдем теперь к вопросу об единственности решения урзвнения теплопроводности при заданнык начзльном и предельных условиях [ср. 192]. Возьмем одномерную задачу, т. е. уравненне дл э дэи — =а дс дх" (60) для ограниченного стержня 0(х -.У. Построим на плоскости хг область О, ограниченную прямыми х = О, х = 7 и находящуюся сверху отрезка 0 =х~7оси х(рис.135). Проведем еше какой-либо прямолинейный отрезок1=1, 1э)0, параллельный оси х. Он отсечет От области О конечный прямоугольник ОАЯР, который мы обоАг вначим одной буквой Н. Д.окажем л а Й=аэ) следующую теорему: Теорема. Пусть функцггя и (х, 1) удовлетворяет уравнению (60) внулгри О и «епрсрывяа вплоть до контура О.
Пра атом наибольшее и наименьшее значенпв п(х, 1) в Н достигается на часта / контура Н, образуелгога спгороналш ОР, ОА и АЯ. ' а яр л вы) При доказательстве ограничимся рассмотрением случая наибольшего значения и будем доказывать от обратного. Положим, что наибольшее значение п(х, 1) достигается не на 1, а внутри Н илп внутри стороны РО, и приведем это к противоречию. Пусть это наибольшее вначение достигается в точке (х', у') и равно М, Тем самым наибольшее значение функции п(х, 1) на Уменьше, чем М. Построим новую функцию о(х, 1) следующим образом: (61) о(х, 1)=п(х, 1) — lг(à — 1,), 646 ГЛ.
УСС. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ )асз где л — положительное число, которое мы сейчас фиксируем. Мы имеем в прямоугольнике Н: сс(х, г)<о(х, 1)(сс(х, 1)+лг„ и можно фиксировать число и настолько близкилс к нулю, чтобы наибольшее значение о(х, 1) на о'было, как и для и(х, с), меньше, чем значение о(х, 1) в точке (х', с'). При таком выборе й функция о(х, 1) будет принимать наибольшее в Н значение не на 1, а внутри Н или внутри стороны Р<~. Рассмотрим эти случаи отдельно и приведем оба эти случая к противоречию.
Пусть о(х, 1) принимает наибольшее значение в некоторой точке С(хо сс), находящейся внутри Н. Тем самым в этой точке С будет иметь место максимум функции о(х, 1), и мы должны иметь в этой точке 11, 58]с — =О и — (О до дсо дс дх' откуда следует — — а — )О до 9 дго дс дх* или, в силу (61), да 9 д'и — — а — — и) О. дс д'х Но внутри 0 функция сс удовлетворяет уравнению (60), и написанное неравенство приводит к нелепому неравенству: — л == О. Положим теперь, что о(х, 1) достигает наибольшего в Н значения в точке с1с(х„ са), находящейся внутри стороны РЯ. Рассматривая изменение о(х, 1) вдоль отрезка НсЮ, параллельного оси 1, мы приходо дим к неравенству — ) О в точке Н, поскольку значения функции о(х, 1) в точке Н не меньше ее значений на всем отрезке Исстс.
Рассматривая теперь изменение о(х, 1) вдоль РьС, приходим к неравенд'о ству — „(О в точке Лс, ибо о(х, 1,) имеет в точке М(х=хс) максимум. Таким обрззом — — а — „)О в точке ссг, и мы приходо 9 д'о дг дх-" дим к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема доказана. Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если и(х, 1) обращается в нуль на всем контуре 1, то и(х, 1) равно нулю и во всем прямоугольнике Н, а это очень просто приводит к теореме единственности.
Положим, что кроме уравнения (1) имеются начальные условия и предельные условия (задание температуры на концах): сс~с-9=У(х) (О =х(1), сс! -о=о(С), сс~„=с=ос(С). (62) 647 9 99. уРАВнение теплопРОВОдности 9191 Эти условия сводятся к заданию функции п(х, 1) на части у контура О. Мы считаем, что эти граничные значения представляют собой непрерывную функцию на всем контуре О, включая и точки О и А, т. е.
9»(0)=г"(О) и м1(0)=~(7). Пусть при условиях (62) сушествуют внутрн О два решения и,(х, 1) и пе(х, 1) уравнения (60), непрерывных вплоть до контура О. При этом их разность и(х, 1)= =л,(х, Е) — пе(х, 1) есть решение уравнения (60), равное нулю на Х Из доказанной выше теоремы непосредственно следует, что и Рис. 136. равно нулю везде внутри О, т. е. п,(х, 1) совпадает с пе(х, Е).
Отметим, что теорема единственности сохраняется, если не требовать непрерывности п(х, Е) в точках О и А, но потребовать ограниченности этой функции в окрестности указанных точек. При этом и граничные значения не должны быть непрерывными в этих точках. Для безграничного стержня решение дается формулой (12). Предположим, что заданная функция У(х) непрерывна и обрашается в нуль зне некоторого отрезка ( — Ь, + Ь), так что +9 (1-е)» (- О= —, ~У(() '' 69 Пользуясь этой формулой, нетрудно показать, что п(х, 1)-» 0 равномергю относительно г при х -» + со или х » — со, т.
е. при любом ззданном положительном е сушествует такое положительное число Ф, что 1и(х, 1)((е при (х!)Ф и любом положительном Е. Докажем, что сушествует только одно решение с таким свойством при заданном начальном условии (6). Как и выше, достаточно показать, что и(х, Е) принимает наибольшее и наименьшее 648 Гл. чп. уРАВнения мАтемАтическои Физики !2!9 значение иа оси х. Доказываем от обратного. Пусть и(х, !) принимает наибольшее значение М в некоторои точке С(х„г!), причем 1!)О, т. е.
У(х)(М в промежутке — ОО(х(+со. Принимая во внимание, что у(х) =0 вне промежутка ( — Ь, Ь), можем утверждать, что М .ь0. Проведем две прямые х=г( и х= — г(, выбрав г( настолько большим, чтобы на указанных прямык имело место неравенство (и(х, С))(М, и построим прямоугольник Н, образованный указанными прямыми, осью х и прямой, параллельнои этой оси и проходящей через точку С (рис. 136). Значение функции и(х, !) в точке С больше, чем ее значение на части / контура Н, образованнон тремя сторонами: х=!г', х= — г( и г=0. Таким образом функция п(х, !) достигает в прямоугольнике Н наибольшего значения или внутри Н, или внутри стороны, проходящеи через точку С, а это, как и выше, приводит к противоречию. Таким образом единственность решения задачи с указанным выше свойством при сделанных относительно г(х) предположениях доказана.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелева суммируемость рядов 610 Абеля задача 249, 273 Абсолютная непрерывность интеграла 324 — сходимость несобственных интегралов 263, 275, 277 Автономная система 165 Аддитивность интеграла полная 324 — меры 294 — — полная 313 Асимптотическое направление 416 Бесселя неравенство 458, 461, 466 — уравнение 131, 134 — функции 132 в 134, 560 †5 Бернулли уравнение 27 — числа 448 Бесконечное множество 284 Бинормаль 397 Буняковского неравенство 462 Вариация злемента площади 425 Вейерштрасса теорема 483 Вектора дифференцирование 351 Векторная величина 339 — диаграмма 573 — линия 357 Векторное поле 353, 357 — произведение 345, 347 Величина векторная 334 — скалярная 339 Винтовая линия 402 Вихрь вектора 359 Внешняя задача Дирихле 593 — мера 292, 308 Внутренняв задача Дирихле 593 — мера 292 — точка множества 284 Волна плоская 513 — прямзя и обратная 520 — стоячая 532 — цилиндрическая 545 Волновое уравнение 372, 513 — — неоднородное 549 Волновое уравнение, решение в случае струны М8 — —, — в плоском случае 545 — †, — для трехмерного случая 541 — †, — — я-мерного случая 549 — — обобщенное 590 Вронского определитель 76, 82 Вторая теорема о среднеи 474 Вынужденные колебанив мембраны 559 — — системы с одной степенью свободы 98 в 102 — — струны 515, 534 Гармоника 436, 532 Гармонические функции 593, 599 Гармонический анализ 439 Гармоническое колебание 96 Гаусса дифференциальная формз вторая 409 — — — первая 408 — кривизна поверхности 4!8, 425 Геодезические линии 404 Гидродинамики уравнения для идеальной жидкости 371 Гиперболическая точка поверхности 413 Главная нормаль 397 Главные направления 416 — радиусы кривизны 416 Градиент скзлярного поля 355 Граница множества 285, 286 Граничное условие 103 Графическое интегрирование дифференциальных уравнений 28,48 — 50 Грина форл~ула 223, 594 — функция 614 — 616 Гюйгенса принцип 524 Даламбера решение уравнения колебаний струны 517 в 519 Двойной интеграл 177 Двукратный интеграл !77 Диаграмма векторная 573 650 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЫ Дпачетр л1ножества 288 Дивергенция 358 Дпрвхле задача 593 — —, решение для круга 603 — 606 — †, — — полупространства 616, 617 — —, — — сферы 6!Π— 614 — интеграл 477 — теорема 441, 450, 481 — головне 440 — формула 249 Дифференциальная форма вторая 409 — — первая 408 Дифференциальное уравнение 9 — — Бернулли 27 — — Бесселя 131, 134 — — в полных дифференциалах 238, 243 — — высшего порядка 46 — 56 — — — —, допускающее понижение 52 — †, графический метод решения 28, 48 — 50 — †, интеграл 32 — †, интегрирование 10, 46 — —, — с полшщью рядов 124 — 136 — — Клеро 37 — — Лагранжа 39 — — линейное высшего порядка 8! — — — с постоянными козффициентами 92, 93, 109 — 117 — — — неоднородное второго порядка 79 — — — — — — с постоянными коэффициентами 85 — 88 — — — однородное второго порвдка 75 — — — — — — с постоянными коэффициентами 82 — 85 — — — первого порядка 23 — — пе решенное относительно производной 34 — —, общий интеграл 1О, 32 — — обыкновенное 9 — — однородное 19 — —, особое ре|пение 34, 48 — — первого порядка 9 — 46 — †, порядон 9 — †, приближенный метод решения с помощью рядов 30 — —, — — — Эйлера — Коши 28, 153 — 156 — —, решение 1О, 46 — — Риккзти 27 — — с отделяющимися переменными 13 Дифференциальное уравнение с ча стными производными 9, 66 — 74 — †, символический метод решения 106 — 121 — —, теорема с> шествования и единственности решения 13, 47, 136— 153, 566, 64о — —, частное решение !Π— — Эйлера !15 Дифференциальных уравнений системы линейных с постоянными коэффициентами !! 7 — 121 — — — обыкновенных 56 — 66 Дифференцирование вектора 351 — по параметру интеграла 252 Диффракции интегралы 267 Диффузия волн 547 Дополнительное множество 285, 289 Дюпена индикатриса 4!4 — теорема 422 Егорова теорема 319 Единичные векторы 343 Естественное уравнение кривой 396 Жордана мера 283, 291 — 293 Закругления точка 417 Замена переменных в двукратном интеграле 184, 246 — в трехкратном интеграле 192, 194, 196 — — в и-кратном интеграле 305 Замкнутая область 285 Замкнутое множество 284 Замкнутости уравнения 456, 458, 459, 461, 466 Замкнутые системы функций 458, 461, 467 Замыкание множества 285 Запаздывающее значение функции 625 Запаздывающий потенциал 552 Затухающие колебания 96 Звука распространения уравнение 37! Изменения произвольной постовнной Лагранжа 23, 80 Измеримзя фуйкция 315 Измеримое ллйожество 309 Изогональные траектории 44 Изоклины 36 Изолированная точка множества 285 Индикатриса Дюпена 414 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 651 Интеграл двукратный (двотсгсай) 177— 186, !97, 198, 299 — Дйрихле 477 —, зависящий от параметра 247 — 260 — кратный 304 — криволинейный 211 — 236 — Лапласа 248 — Лебега 284, 320, 323 — 327, 337 — несобственный 260 в 274 — — кратный 274 — — от разрывной ф>ннцни 260 — — с бесконечным пределои интегрирования 263 — общий 10, 32, 47, 57 — первый 57 — повторный 175 — по поверхности 201, 205 — Пуассона 606 — равномерно сходящийся 267 — Римана 176, 284 — системы дифференциальных уравнений 57, 66 — трехкратный (тройной) 186 — 198 — Френелн 267 — Фурье 502, 569 Интегральная кривая 1О Интегральное уравнение Абеля 250 — — Фурье 506 Интегрирование по параметру под знаком интеграла 247 — с помощью схепенных рядов линейных дифференциальных уравнений 124 — 136 Интегрируемые функции 299 Интегрирующий множитель 238, 243 Источник точечный 553 Касательная к кривой на поверхности 407 — пло"кость к поверхности 406 Касательной единичный вектор 389, 397 Квадрзтпчная погрешность средняя 451 Квадрируемое лсссомсество 293 Квазппотенцпальное поле 361 Кпрхгофа формула 626 Класс бл 4а!, 465 Клеро уравнение 37 Колебания меыбраны 554 †5 — системы с одной степеныа свободы, вынужденные 98 — вызвзнные синусоидальной внешней силой 98 — — собстве>шые 96 — струны свободные 5!3 — 534 Колебания струны, вызвзнные сосредоточенной силой 537 †5 — — вынужденные 534 — 536 — тока в цепи, свободные 584 †5 Колеблющееся решение 90 Колшланарность векторов 342 Конечное множество 234 Координатные линии 18а, 379, 406 — поверхности 378 Координаты криволинейные 183, 191, 193 — — ортогональные 408 Коши признак абсолютной сходпмости интегралов 261, 263 Коши — Римана уравнение 237 Кратный интеграл 304 Кривая плоская 380 — простая 295 — пространственная 396 Кривизна вторая 398 — Гаусса 418, 425 — кривой 389, 397 — линии на поверхности 41! — средняя 4!8, 425 Кривизны вектор 389, 397 — линии 4!8 — радиус 389, 397 — — главный 416 — центр 390 Криволинейные координаты 182, 195, 379 Криволинейный интеграл 211 †2 Круглая мембрана 559 Кр>кение кривой 397, 398 Лагранжа способ изменения произвольных постоянных 23, 80 — тождество 346 — уравнение 39 Лапласа оператор 365, 592, 598 — — в ортогональных координатах 381 — — — сферических коордннатах 381 — — — цилиндрических координатах 382 — уравнение 281, 370, 374, 381, 592 †6 Лсбега интеграл 284, 320, 323 †3 — мера 284, 309 — подразделение 322 — сумма 322 Линейная зависимосхь решений 77, 81 Линейное дифференциальное уравнение второго порядка 75, 79 — — — — — с посхоянными козсрфициентами 82 — 88 652 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ' Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка 81 — — — — — с постоянными коэффициентами 92, 93, 109 в 117 — — — первого порядка 23 Лппшнца неравенство (условне) 145 Логарифиическпй декремент затухания 577 Лозинского теорема 152 Локальная производная 383 Лузина теорема 3!9 Максвелла уравнения 376 Мембраны колебания 554 — 566 Менье теорема 412 Мера внешняя 292, 308 — внутренняя 292 — Жордана 283, 291 — 293 — Лебсга 284, 309, 327, 337 — л~ножестаа 293, 309 Меры теория для плоскости 283 — — — п-мерного пространства 298 Минимальная поверхность 427 Мнагосвязнзл область 234 Множества граннца 285 — диаметр 288 Множество бесконечное 284 — дополнительное 285, 289 — замкнутое 284 — измеримое 309 — квадрируемос 293 — конечное 284 — меры нуль 293, 310 — ограниченное 284 — открытое 284 — предельное 3!4 — производное 285 — пустое 289 — счетное 288 Момент вектора 350, 351 Моменты системы точек относительно плоскости, оси и точки 207, 208 Направление асимптотическое 416 — глазное 4!6 — обхода кривой 222, 226 Направлений поле 12 Направленный злемент поверхности 363 Напрнжение векторной трубки ЗЬ2 Начальная ампдитуда 96 — фаза 96 Начальное условие 11, 47, 56, 517, 555, 623 Независимость криволинейного интеграла по пути 227, 234 Независимые интегралы системы дифференциальных уравнений 59 Неймана задача 594 Неколеблющееся решение 90 Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 79, 81, 85, 92, 112 Непрерывности уравнение 369 Несжимаемости условие 237, 370 Несобственный интеграл 260 †2 Нормаль главнан 397 — к поверхности 407 Нормальное сечение поверхности 41! Область 284 — замкнутая 285 — квадрируемая 293 — многосвязная 234 — открытая 151, 284 — связная 285 Обобщенная сумма расходящегося ряда 609 Обобщенное решение 5!9 Общий интеграл дифференциального уравнения 10, 32, 47, 5? Объем 173 Обыкновенное дифференциальное уравнение 9 Олибающая семейства кривых 4! — — — в пространстве 428 — — нормалей 391 — — поверхностей 428 Ограниченная функция 315 Ограниченное ыножество 284 Однородная фуннция 19 Однородное дифференциальное уравнение 19 — — — линейное второго порндка 75, 82, 85 — — — — высшего порядка 81, 92, 109 — !12 Оибилическая точка 41? Оператор Лапласа 365, 377, 592, 599 Определитель Вронского 76, 82 — функциональный 84, 305 Определяющее уравнение 130 Ортогональность системы тригонометрических функций 437 Ортогональные координаты 379, 408 — системы фуннций 456, 563 — траектории 44 АЛФАВИТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ 653 Ортонормированная система функций 457, 461, 465 Орты 343 Особая точка 157 — — регулярная 129 Особое решение дифференциального уравнения 34, 48 Остроградского формула 204 Открытая область 151, 284 Открытое множество 284 Параболическая точка поверхности 413 Первый интеграл системы дифференциальных уравнений 57 Период колебаний 96 Плато задача 426 Плоская волна 513 Площадь, вычисление криволинейным интегралом 219 †, определение 291 — поверхности 198 Поверхности координатные линии 406 — минимальные 427 — параметрическое уравнение 405 — развертывающиеся 433 — уровня 355 Поглощение волны 580 Погрешность средняя квадратичная 451 Подразделение 320 — Пебега 322 Полон точка 165 Поле векторное 353, 357 — квазнпотенциальное 361 — направлений 12 — потенциальное 360 — скалярное 340, 353 — соленоидальное 362 Полнота системы функций 468 Поля теория 351 †3 Поперечные колебания 513 Порядок дифференциального урзвненив 9 Последовательных приближений вгетод 136, 144 Потенциал 280, 356 — запаздывающий 552 — объемных масс 280, 617 — 621 — простого слоя 283 — сил 61 — скорости течения 237, 370 Потенциальное поле 360 Поток поля 358 Предельная задача 103 — точка множества 284 Предельное множество 3!4 — условие 703, 5!7, 555, 571, 628 Предельный цинл 166 Продолжение подразделений 321 Произведение множеств 289 — подразделений 321 Производная локальная 383 — по направлению 354 — субстанциональная 383 Производное множество 285 Простая кривая 295 Прямоугольная мембрана 555 Псевдоскаляр 348 Пуассона интеграл 606 — уравнение 283, 621 — 625 — формула 544, 624 Пустое множество 289 Пучность 532 Работа силового поля 2!5 Равного уклона линии 36 Равномерная сходимость несобственного интеграла 267, 278 Радиус кривизны 389, 397 — — главный 416 — кручение 398 Развертывающаяся поверхность 433 Разность множеств 289 Расстояние межлу множествами 286 Расходимость 358 Регулярная особая точка 129 Резонанс 102, 538 Риккатн уравнение 27 Римана интеграл 176, 284 Рисса — Фишера теорема 466 Родрига формула 420 Ротор 359 Свободные колебания мембраны 555, 559 — — струны 515 Свободный вектор 340 Связная область 285 Седло 160 Символического множителя метод !06 — 121 Скаляр 339 Скалярная величина 339 Скалярное поле 340, 353 — произведение 343, 347 Собственные значения 104 — колебания системы с одной степенью свободы 96 — функции 104 654 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ' Соленоидальное поле 362 Соприкасающаяся плоскость 401 Средняя квадратичная погрешность 451 — кривизна 418, 425 Стокса формула 226 Стоячая волна 532 Стоячих волн способ 533 Струна, вывод уравнение колебаний 5!3 — неограниченная 516 — 524 †, обобщенное уравнение колебаний 580 — ограниченная 524 †5 Субстанциональная производная 383 Сумма Лебега 322 — множеств 289 Суммирусмая функция 329 — 331, 337 Суммируемость рядов по Абелю 610 Существования решения теорема 13, 46, 126 — 153 Сферические координаты 193, 381 Сходимость в себе 463 Счетное множество 288 Таутохронная кривая 251 Телеграфное уравнение 377, 57! †5 — — дая неограниченной цепи 584 — — — ограниченной цепи 586 Телесный угол 195 Теплопроводности уравнение 373, 628 в 648 — — для неограниченного стержня 629 — — — стержня, ограниченного с одного конца 634 — — — †, — — обоих концов 639 — — обобщенное 641 Тон 532 Точечный источник 553 Траектории изогонзльные 44 — ортогональные 44 Трехкратный интеграл !88 Тригонометрический полипом 435, 451 Триэдр 397 Трубки векторные 358, 362 Тяготения поле 279, 356 Углован мгновенная скорость 350,366 Узел 159, 162 — гармоники 532 Узловзя точка 15 Укловенце наибольшее 451 Уровня поверхности 355 Условие граничное 103 — начальное 11, 47, 56, 516, 555, 628 — предельное 103, 617, 555, 571, 628 Устанавливающнеся процессы 574 Устзновившиеся процессы 572 Устойчивое решение 63 Фокус !61 Френе формулы 400 Френеля интеграл 267 Фубини теорема 334 Функциональный определитель 184, 305 Фурье интеграл 502, 569 — интегральное уравнение 506 — козффицненты 439, 457, 461, 466 — ряды 439, 466 — — в комйлексной форме 509 — — кратные 510 — — обобщенные 457 — †, характер сходимости 490, 495 — способ 529, 555, 559, 586, 603, 629, 639, 643 — теорема 502 — формула 502, 507 Характеристики 522 Характеристическое уравнение 83 Хладнисвы фигуры 559 Центр !62 — кривизны 390 Цикл 166 — предельный 166 Циклические постоянные функции 234 Цилиндрическая функция 132, 133 11иаиндрические волны 645 — координаты 191, 382 !1иркуляция 234, 360 Частное решение дифференциального уравнения 10, 47 Частота колебаний 532 Чисто гармоническое колебание 96 Штурма теорема 90 Эвольвента 394 Эволюта 390, 392 Эйлера дифференциальное уравнение 115 дледвитныи нклзлтель 655 Эйлера форма уравнений гндродинамикп 371 — формула 416 — числа 449 Эйлера — Коши способ приближенного пострвения интегральных кривых 28, 153 — 156 Элемент объема в криволинейных координатах 195 — — — прямоугольных координатах !90 — — сферических координатах 194 Элемент объема в цилиндрических координатах !92 — площади в криволинейных координатах 183 — — — полярных координатах 181 — — — прямоугольных координатах 180 — — направленный 363 — — поверхности 200 — — — сферы !95 Эллиптическая точка поверхности 4!3 Эллиптические координаты 423 Владимир Иванович Смирное Курс высшей ивтематики том второй М., !974 ги ббй стр, с илл, Релвктор Ю.
А. Гор~кое Техн. редактор С. Я. Шкллр Корректор 3. В. Аетоиееео Печвть с матриц. Подписано к печати 14/Н 1974 г, Бумага ббх90'Ьт. тип. № 2. Физ, печ. л. 41. Условн, псч. л. 4!. У«.-изд. л. 29,2. Тнрзж 66 000 зкз, Пене книги 1 р. 26 к. Заквз № !276. Излвтельство кНзука» Главная релакция физико-математической литератуРы, 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 16 Ордене Трудового Красного Знамени Ленинградская типографии № 1 «Печатный Двор» имени А.
М. Горького Союзполиграфпрома при Государетвеннам комитете Совета Министров СССР по Лелем излзтельств, полиграфии н книжной торговли. !97!26, Ленийгрвд, П-136, Гатчинская ул„26, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
